高中数学 第三章 导数及其应用章末复习课 新人教A版选修1-1

【金版学案】2016-2017学年高中数学第三章导数及其应用章末复

习课新人教A版选修1-1

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1．关于切线的注意点

在确定曲线在某点处切线的方程时，一定要首先确定此点是否为切点，若此点是切点，

则曲线在该点处切线的斜率即为该点的导数值，若此点不是切点，则需应先设切点，再求斜率，写出直线的方程．

2．求函数单调区间的两个关注点

单调区间的求解过程中，应关注两点：(1)不要忽略y＝f(x)的定义域；(2)增(减)区间有多个时，用“，”或者用“和”连接，切不可用“∪”连接．

3．函数单调性与导数的关系的注意点

若函数f(x)可导，其导数与函数的单调性的关系现以增函数为例来说明．f′(x)＞0与f(x)为增函数的关系：f′(x)＞0能推出f(x)为增函数，但反之不一定．如函数f(x)＝x3在(－∞，＋∞)上单调递增，但f′(x)≥0，所以f′(x)＞0是f(x)为增函数的充分不必要条件．4．可导函数的极值与导数的关系的注意点

x0为极值点能推出f′(x0)＝0，但反之不一定．f′(x0)＝0是x0为极值点的必要而不充分条件．x0是极值点的充要条件是f′(x0)＝0，且x0点两侧导数异号．

5．函数的最值与极值的注意点

(1)函数的最值是比较整个定义区间的函数值得出的，函数的极大值、极小值是比较极值点附近的函数值得出的．函数的极值可以有多个，但最大(小)值最多只能有一个．

(2)在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进行比较，不可直接用极大(小)值替代最大(小)值．

专题一 导数的运算与导数的几何意义

在导数的运算中，要熟练掌握基本导数公式和运算法则．由于函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，其切线方程为y －f (x 0)＝f ′(x 0)(x －x 0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．

[例1] (1)在平面直角坐标系xOy 中，若曲线

y ＝ax 2＋

b x

(a ，b 为常数)过点P (2，－

5)，且该曲线在点P 处的切线与直线7x ＋2y ＋3＝0平行，则a ＋b 的值是________．

(2)若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标为________． 解析：(1)由曲线y ＝ax 2＋b x

过点P (2，－5)，

可得－5＝4a ＋b

2

.①

y ′＝2ax －b x 2，则曲线在点P 处的切线斜率为4a －b 4，由题意可知4a －b

4＝－7

2.②

由①②解得a ＝－1，b ＝－2，所以a ＋b ＝－3.

(2)设P (x 0，y 0)．因为y ＝x ln x ，所以y ′＝ln x ＋x ·1

x

＝1＋ln x ．所以1＋ln x 0＝2，解

得x 0＝e ，所以y 0＝eln e ＝e.所以点P 的坐标是(e ，e)．

答案：(1)－3 (2)(e ，e)

归纳升华

1．函数y＝f(x)在点x0处的导数为f′(x0)就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，因此关于曲线的切线问题可尝试用导数的方法解决．

2．求曲线y＝f(x)过点P(x0，f(x0))的切线方程：设切点Q(x1，f(x1))，则切线方程为y －f(x1)＝f′(x1)(x－x1)，把点P的坐标代入切线方程解得x1，再回代到切线方程中．[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标．

解：(1)点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．

因为f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，

所以f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.

所以切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，

即y＝13x－32.

(2)设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x20＋1，所以直线l的方程为y＝(3x20＋1)(x－x0)＋x30＋x0－16.

又因为直线l过点(0，0)，

所以0＝(3x20＋1)(－x0)＋x30＋x0－16，

整理得x30＝－8，

所以x0＝－2，

所以y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，

k＝3×(－2)2＋1＝13，

所以直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．

专题二利用导数研究函数的性质

把导数作为数学工具，求解单调区间，研究函数的极大(小)值，以及求在闭区间[a，b]的最大(小)值是本章的重点．

利用导数求函数的单调性是基础，求极值是关键，学习时一定要熟练它们的求解方法．

[例2] 设函数f(x)＝2x3－3(a－1)x2＋1，其中a≥1.

(1)求f(x)的单调区间；

(2)讨论f(x)的极值．

解：由已知得f′(x)＝6x2－6(a－1)x＝6x[x－(a－1)]．

令f′(x)＝0，解得x＝0或x＝a－1.

(1)当a＝1时，f′(x)＝6x2，令f′(x)＝0，得x＝0，列表如下：

↗↗

因为f(x)

当a＞1时，f′(x)＝6x[x－(a－1)]，f(x)与f′(x)随x的变化情况如下表：

↗↗

a－1)．

(2)由(1)，知当a＝1时，函数f(x)没有极值；当a＞1时，函数f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，在x＝a－1处取得极小值f(a－1)＝1－(a－1)3.