一阶贝塞尔函数广义积分的数值计算

一阶贝塞尔函数广义积分的数值计算
莫平华
(中南大学数学科学与计算技术学院,长沙,410083)摘　要　物理勘探中,需要计算含一阶贝塞尔函数的广义积分.一种传统的方法是在贝塞尔函数零点之间一次应用一般积分法则积分,最后求和,这种方法收敛比较慢,特别在贝塞尔函数中r 值很大的时候.另一种应用广泛的方法是数字滤波技术,该法比第一种方法快,但要求核函数迅速衰减.本文给出了一种新的计算方法,能处理核函数衰减很慢且r 很大的问题,方法简单,高效率,精度高.
关键词　物理勘探　贝塞尔函数　数值计算
The Numerical Computation of 1th Bessel Function
Generalized Integration
Mo Pinghua
(Schoo l o f M a th.Sciences and Co mputing T echnolog y ,Central So uth U niv er sity ,Cha ng sha ,410083)
Abstract In phy sica l pro specting ,we need to ca lcula te the integ rals of 1th Bessel func tio n.O ne tr aditio na l method is to integ ra te a cro ss zero s of Bessel function,but it is slo w to use it when r is la rg e.Ano ther widely used m etho d is the sta ndard digita l filter technique ,but it has low accuracy .when the kernel function deca y fast.A new method is pro po sed to ev aluate th e integ ra ls inv olving 1th Bessel function.It ca n dea l with the pro blems arising in th e fo r mer tw o methods a nd it is a simple,efficient method with hig h accur acy.
Keywords ph ysical pr ospecting bessel functio n
　numerica l co mputa tion
1　引　言
在电磁测探领域,若用频谱法进行一维瞬变电磁测探正演计算时,我们经常会遇到如下
(1)式的一阶贝塞尔函数广义积分.
E (r )=∫∞0f (λ)λJ 1(r λ)d λ(1)通常情况下,用传统的数值积分方法计算(1)式是非常困难的,因为(1)式含有振荡的贝塞尔函数.因此人们多采用数字滤波技术计算该积分,如FHT 方法,近年来为了获得积分的高精度,人们也尝试利用数值积分求积.最常用的就是寻找贝塞尔函数的零点分布,依次在相邻零点之间采用高斯积分,再求和,其间应用了一些加速积分收敛的技术.采用FHT 方法缺陷在
第27卷第1期
2007年3月 数学理论与应用
M A THEM ATICAL T HEORY AND APPLIC ATION S Vol.27No.1 M ar.2007
蔡海涛教授推荐　收稿日期:2006年12月5日
于它不能很好处理核函数衰减很慢的情况,而仅采用高斯积分求和收敛速度较慢.[1,2]提出了在有限区间Bessel 积分另外两种高效方法,它随r 取值的增大而积分精度增大,作者分析了其算法本质,并结合实际应用领域中核函数给出了计算(1)式的新的计算方法.
2　算　法
对于核函数衰减很慢的情况,数字滤波技术尝试通过修正核函数[6]使之满足其衰减加快的条件.因为应用领域中大部分核函数具有,当λ→∞时,函数值趋于一个常数的性质,而对于一阶贝塞尔变换,如下(2)式,参考[6]
∫∞0xe -d x J 1(a x )dx =a (a 2+p 2)3
(2)是可以求出来的.因此改进的数字滤波技术通过减去一个常数来满足衰减很快的条件.但是遗憾的是,对于一些核函数,即使通过这样的处理,核函数仍然是衰减很慢.比如:对于核函数1+0.4e -2λ1-0.4e -2λλ,通过减去一个常数1,得到0.8e -2λ
1-0.4e
-2λλ衰减仍然是缓慢的.如图1,图中x 对应于λ.可见0.8e -2λ
1-0.4e 2λ
λ
衰减非常慢.因此我们可以得出这样一个结论,即对于(1)的积分将会包含大于1的很大一部分积分区间.图1　核函数随x 变化情况
对于此种情况,改进的数字滤波技术精度必将受到影响,此时可以选择基于高斯积分的方法,但是,当r 很大时,用高斯积分法的收敛速度很慢.
下面给出一种新的计算方法,该法在核函数衰减很慢,r 很大情况下,是计算式(1)的一个高效算法.
考虑到在很多实际应用中,(如电测探领域),当λ→∞时,f (λ)→c ,f (λ)λ→0.
这里,我们用与改进数字滤波方法类似技巧,我们把(1)式化为
F (r )=∫∞0(f (λ)λ-c λ)J 1(r λ)d λ+∫∞0c λ
J 1(r λ)d λ=∫∞0(f (λ)λ-c λ)J 1(r λ)d λ+c λ2(3)再鉴于对图1分析原因,作者把(3)式右边第一式化为下面两个积分.
66数学理论与应用 第27卷　
I 1=∫1
0(f (λ)λ-c λ)J 1(r λ)d λ(4)
I 2=∫∞
1(f (λ)-λc λ)J 1(r λ)d λ(5)对于(4)式,可以利用高斯求积法则,不再详述.本文将重点置于(5)式.
下面把(5)式写成一般形式
I =∫∞1f (λ)J 1(r λ)d λ(6)令F (λ)=(0,f (λ)),W (λ)=(J 0(r λ),J 1(r λ)).
根据贝塞尔函数性质(7),有
W ′(λ)=
0　-r r
-1/λW (λ)(7)令B (λ)=0　-R r -1/λ
-1Γ,F 1(λ)=F (λ),F i +1(λ)=d dx (B (λ)F 1(λ)),　i >1利用(7)式,对(6)式分部积分,最终可以得到:
I ≈∑s
i =1(-1)i (B (1)F i (1) W (1))(8)
可见,(5)式积分最终只需要计算(8)式即可得,较之传统数值积分,它不再需要寻找贝塞尔函数的零点,且当r 很大的时候,利用在零点之间积分的方法速度也会受到很大的影响.而当今符号计算软件Ma tlab 对(8)式计算提供了很好应用工具.因此,应用(8)式计算积分是高效的.
3　结　论
贝塞尔函数积分的计算广泛在于物理勘探领域,但是贝塞尔函数本身的振荡特性,大大的增加了其积分计算时间和计算精度.通过以上算例可以看出,本文提出的算法用于振荡贝塞尔函数积分时,在核函数衰减较慢,r 了以值很大时,加快计算贝塞尔函数的广义积分是有效的,精度是可靠的.
本文算例结果应用M ATLAB 符号运算功能编程得出.
参考文献
[1]　Shuhua ng Xia ng ,On quadra ture of Bessel tr ansfo r ma tio ns ,J .Comp .Appl .M ath .2005,177:231-239.
[2]　Shuhua ng Xiang ,Pingh ua M o a nd Weih ua Guin.umerical Q uadra ture fo r Bessel T ransfor matio ns.中南大学科技报告,2006.67
　第1期 一阶贝塞尔函数广义积分的数值计算。