万有引力计算公式证明

球体间万有引力计算的探究

南京市第12中学 杨伟

高中物理中关于万有引力定律是这样叙述的“自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量m 1和m 2的乘积成正比，与它们之间距离r 的二次方成反比。”这种表达是很不严密的。因为距离应该是两个点之间的，当物体可视为质点时没有问题，但当物体不能看成质点时就为难了。对此人教版普通高中课程标准实验教科书物理必修2 P70上有这么一段说明：““两个物体间的距离”到底是指物体哪两部分间的距离？对于可以看做质点的物体，当然就是这两个点间的距离。如果是地球，月球等球体，牛顿应用微积分的方法得知，这个距离应该是球心间的距离。”（其中加下划线的三个“间”是本人加上去的）

牛顿是怎样用微积分的方法得知的，我们都不得而知，所有的教参上也都没有提到。我想做一件被大家忽略的事或许会有点意思。于是就有了下文，我用两种方法来证明“对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。”

方法一：微积分方法。这种方法比较复杂，为了简化，我用命题1和命题2做铺垫。

命题1。 质量分布均匀的圆环对在其轴线上的质点的万有引力。

设环质量为m 1 ,质点质量为m 2 ,环半径为r , 环中心到质点的距离为x ,把环分成许多小段, 任取一小段可视为质点,其质量为d m ,它对质 点的引力为d F ,再把其分解为沿轴和垂直于轴 的两个分量d F1和d F2 ,由于质量分布均匀,由

对称性可知环上所有d m 对质点引力的d F2分量的矢量和为零,所以环对质点的引力为: F=

1

1m dF ⎰

,

而d F1=d F cos ө

=()

2121

21

3

2222

2

2

2

cos Gm dm Gm dm Gm xdm r x r x

r

x

θ=•=

+++ .

所以

()

1213

1

2

2

2

F m Gm m x

F d r

x

==

+⎰ .

命题2: 质量分布均匀的圆面对在其轴线上的一个质点的万有引力.

设圆面质量为M 1 ,质点质量为m 2 ,圆面半径为R, 圆心到质点的距离为x , 在圆面内任取一半径为r 宽为d r 的同心圆环,则由命题1得此圆环对质点m 2的 引力为

()

()12212332222222

22r r F M G rd m x

GM m xrd R d r x R r x ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭==++

()()()()

()12320

0222

22123202221

2

2122

2

1212222

2121R

R R R

GM m x r F dF dr R

x r GM m x d x r R

x r GM m x x r R GM m x R x R -==+=++⎡⎤=

-+⎢⎥⎣

⎦⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦

⎰

⎰⎰

正题: 质量分布均匀的球体对其外的一个质点的万有引力.

设球的质量为M,质点的质量为m, 球心到质点的距离 为L,球半径为r.为了计算球对质点的引力,可以在球中截取

一半径为R 厚度为dx 并且其轴线与球心和质点的连线重合的圆片,设此圆片的中心到质点m 的距离为x. 则由命题2可得该圆片对质点的引力为:

为了计算

()()()

()()()23

12222

132222

22132221322213222243131231223122322L r L r L r L r M G R dx m r x dF R x R GMm x dx r x R R r L x GMm x dF dx r

r L Lx GMm x F dx r r L Lx GMm x dx d r r L Lx ππ+-+-⎛⎫

⎪ ⎪⎡⎤ ⎪⎢⎥⎝⎭=-⎢⎥⎢⎥+⎣⎦

⎡⎤

⎢⎥=-⎢⎢⎥

+⎣⎦

=--⎡⎤⎢⎥

∴=-⎢⎥⎢⎥-+⎣⎦

⎡⎤

⎢⎥=-⎢

⎥⎢⎥

-+⎣⎦

=+-+⎰⎰2L r L r L r

L r

x dx r

+-+-⎡⎤

⎢⎥

⎢⎥⎢⎥⎣⎦=⎰⎰

()

12

22

2L r

L r

x

dx

r

L Lx +--+⎰

所以

32222(2).

3r Mm r r G L L

⎡⎤--=⎢⎥⎣⎦33GMm F=2r

这说明：对于质量分布均匀的球体，在计算万有引力时，可以把其看成质量都集中在球心的质点。

方法二：类比法，为了数学形式的对称，我引入了万有引力场强度和万有引力通量着两个概念，不知是否恰当，请专家指点。

2211.44Qq Mm F r r r r πεπε=

⋅=⋅引电库仑定律： 万有引力定律:F 1

)4G πε=（令

电场强度：

F E q =

电电 。 万有引力场强度：

F E m =引

引 。

电通量：d E ds Φ=⋅电 万有引力通量：d E d s φ=⋅引 .

()

()()()()()

()()()()()()()()()()

2211

2

2

2

2

11

22212

1

22

2

31

22221

221

22222212

2

2

22111

2232

231

232r L a L b x

x

dx dx a bx r

L Lx a bx a d a bx b

a bx a bx a a bx d a bx d a bx b

b a bx a

a bx a bx C

b b

a bx bx a C b

r L Lx r L Lx C

L

x

r

L Lx -===+-+⎡⎤+⎢⎥=-+⎢⎥++⎢⎥⎣⎦=++-

++=+-++=+⋅-+=--+⋅--+∴-+⎰

⎰

⎰⎰⎰

令 ，则

还原()()1

22

22223212322.

3L r

L r

L r

L r dx r L Lx r L Lx L r r L ++--⎡⎤=--+⋅--⎢⎥

⎣⎦=-⎰