模糊数学方法及其应用(第3版)第四章答案

%
因此 f ( A)( y ) = {1 + x / 3 | −1 ≤ x ≤ 0} ∨ {1 + x / 3 | −2 ≤ x ≤ −1} = {1 + x / 3 | −1 ≤ x ≤ 0}
%
Leabharlann Baidu
= 1 + [( y − 1 − 1) / 3],1 ≤ y ≤ 2
2 ≤ f ( x ) ≤ 5 时 0 ≤ x ≤ 1 或 者 −3 ≤ x ≤ −2 ， 但 是 当 0 ≤ x ≤ 1 时 , A( x ) = 1 − x 得 的 值 比 %
解：解法 1.根据第一章的扩张原理知
f ( A)(a) = ∨ ( A( x1 ), A( x2 ), A( x3 )) = 1 % % % % f ( A)(b) = ∨ ( A( x4 ), A( x5 )) = 0.4 % % f ( A)(c) = ∨ A( x6 ) = 0.7 % % f ( A)(d ) = 0 % 1 0.4 0.7 0 即 B = (1, 0.4, 0.7, 0) = + + + % a b c d f −1 ( B)( x1 ) = f −1 ( B)( x2 ) = f −1 ( B)( x3 ) = B(a ) = 1 % % % % f −1 ( B)( x4 ) = f −1 ( B)( x5 ) = B(b) = 0.4 % % % f −1 ( B )( x6 ) = B(c) = 0.7 % % 1 1 1 0.4 0.4 0.7 即 f −1 ( B ) = (1,1,1, 0.4, 0.4, 0.7) = + + + + + % x1 x2 x3 x4 x5 x6
4.设 X = {x1 , x2 } ，Y = { y1 , y2 , y3 } ，R = ⎜ 试求 TR ( A) ， TR ( B) 解：利用模糊线性变换的内容知： 即 TR ( A) = (1, 0,1,1)
⎛ 0.1 0.2 0.7 ⎞ 0.1 0.6 ， + ⎟ ， A = {x1 , x2 } ，B = % x1 x2 ⎝ 0.3 1 0.1 ⎠
0.41⎞ ⎛ 1 R (1) = ⎜ ⎟ ⎝ 0.59 1 ⎠
行最小值中的最大值 0.59 位于第二行，因此 b 为第二优越对象。则最后一个 a 为第三优越 对象。 则与图像（ z ）最相似的对象按优越程度从大到小顺序为 c ， b ， a 。因此识别（ z ）是 c 。
⎛1 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ 3. 设 X = {x1 , x2 , x3 } ， Y = { y1 , y2 , y3 , y4 } ， R = 0 1 0 0 ， A = {x1 , x3 } ， ⎜ ⎟ ⎜0 0 1 1⎟ ⎝ ⎠
f 的波达数为 1× 2 / 31 + 3 × 4 × 6 / 31 + 2 × 2 × 4 / 31 + 5 ×10 / 31 = 140 / 31
加权后的排序为 d , e, c, f , b, a 2.排序 手写英文字母 a, b, c 的模糊识别。设论域 X = {a, b, c} 及待识别图像（ z ）如图所示，为了 方便，设 a, b, c 依次为 x1 , x2 , x3 。考察他们与待识别图像（ z ）是否相似。若 a 与 b 比较，
《模糊数学方法及其应用》 （第三版）谢季坚，刘承平。华中科技大学出版社
第四章 模糊决策习题解答
1.排序 某单位按下列条件（现实表现、管理水平、教学水平、教学奖、荣誉证、科研水平、科研奖、 论文数）对六位同志晋升高一级职称的条件进行评价。由于各人情况不同，名额又有限，拟 请专家 8 人对 6 位同志 a, b, c, d , e, f 进行排序，所得结果如表所示。试用模糊意见集中决 策，确定 6 位同志的先后排序。 意见 1 2 3 4 5 6 7 8 名次 1(10 分) b b e e d c f d 2(8 分) a e d d e d d c 3(6 分) d f f c c f a f 4(4 分) c a c f f a c a 5(2 分) f d a b b b b e 6(1 分) e c b a a e e b
解：利用波达数的计算方法可知：
a 的波达数为 4 + 2 + 1 + 0 + 0 + 2 + 3 + 2 = 14 b 的波达数为 5 + 5 + 0 + 1 + 1 + 1 + 1 + 0 = 14 c 的波达数为 2 + 0 + 2 + 3 + 3 + 5 + 2 + 4 = 17 d 的波达数为 3 + 1 + 4 + 4 + 5 + 4 + 4 + 5 = 30 e 的波达数为 1 + 4 + 5 + 5 + 4 + 0 + 0 + 1 = 20
则根据第一章的扩张原理 P27 知
f ( A)( y1 ) = A( x1 ) = 1 f ( A)( y2 ) = A( x2 ) = 0 f ( A)( y3 ) = ∨ ( A( x1 ), A( x3 )) = 1 f ( A)( y4 ) = A( x3 ) = 1
% f ( B)( y1 ) = B( x1 ) = 0.7 % % f ( B)( y2 ) = B( x2 ) = 0.2 % % f ( B)( y3 ) = ∨ ( B( x1 ), B( x3 )) = 0.7 % % % f ( B)( y4 ) = B( x3 ) = 0 % % 即 TR ( B) = (0.7, 0.2, 0.7, 0) % %
加权后的结果为
a 的加权波达数为 4 × 8 / 31 + 2 × 3 × 4 / 31 + 1× 2 / 31 + 0 × 2 ×1/ 31 + 3 × 6 / 31 = 76 / 31 b 的波达数为 5 × 2 ×10 / 31 + 1× 4 × 2 / 31 + 0 ×1/ 31 = 108 / 31 c 的波达数为 2 × 3 × 4 / 31 + 0 ×1/ 31 + 3 × 2 × 6 / 31 + 5 ×10 / 31 + 4 × 8 / 31 = 142 / 31 d 的波达数为 3 × 6 / 31 + 1× 2 / 31 + 4 × 4 × 8 / 31 + 5 × 2 × 10 / 31 = 244 / 31 e 的波达数为 1× 2 × 2 / 31 + 4 × 2 × 8 / 31 + 5 × 2 ×10 / 31 + 0 × 2 ×1/ 31 = 168 / 31
试求 f ( A)
%
解： 当 −2 < x ≤ 0 时， 函数 y = f ( x) = 1 + ( x + 1) 是偶函数， 因此 1 ≤ f ( x ) ≤ 2 时 −1 ≤ x ≤ 0
2
或者 −2 ≤ x ≤ −1 ，但是当 −1 ≤ x ≤ 0 时, A( x ) = 1 + x / 3 较大
f ( x1 ) = (1, 0,1, 0) ， f ( x2 ) = (0,1, 0, 0) ， f ( x3 ) = (0, 0,1,1)
⎧ y1 , x = x1 ⎪y , x = x ⎪ 2 2 也即 f ( x) = ⎨ ⎪ y3 , x = x1 , x3 ⎪ ⎩ y4 , x = x3
f 的波达数为 1 + 3 + 3 + 2 + 2 + 3 + 5 + 3 = 22
排序为 d , f , e, c, （ a , b 并列） 考虑了名次的权重 名次 权重 1(10 分) 5 10/31 2(8 分) 4 8/31 3(6 分) 3 6/31 4(4 分) 2 4/31 5(2 分) 1 2/31 6(1 分) 0 1/31
a 与（ z ）的相似程度为 0.32，则 b 与（ z ）相似程度为 0.46； b 与 c 比较， b 与（ z ）的 相似程度为 0.4，则 c 与（ z ）相似程度为 0.64； c 与 a 比较， c 与（ z ）的相似程度为 0.46， 则 a 与（ z ）相似程度为 0.54；试用模糊优先关系定序法按与图像（ z ）最相似特性确定 x1 , x2 , x3 的次序，从而识别（ z ）是哪个字母
⎛1 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ TR ( B) = B o R = (0.7, 0.2, 0) o ⎜ 0 1 0 0 ⎟ = (0.7, 0.2, 0.7, 0) % % % ⎜0 0 1 1⎟ ⎝ ⎠ ⎛1 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ 解法 2，由模糊关系矩阵 R = 0 1 0 0 知存在模糊映射 f ( x ) ，使得 ⎜ ⎟ ⎜0 0 1 1⎟ ⎝ ⎠
'
0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1
0 0 0 0 0 1
0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
0 0 0 1 1 0 0 1 0 0
0⎞ ⎟ 0⎟ 0⎟ ⎟ = (1, 0.4, 0.7, 0) 0⎟ 0⎟ ⎟ 0⎟ ⎠
1 0 0 0
1 0 0 0
0 1 0 0
0⎞ ⎟ 0⎟ = (1,1,1, 0.4, 0.4, 0.7) 1⎟ ⎟ 0⎠
⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜1 解法 2，根据模糊映射 f ( x ) ，可以得到模糊关系矩阵 R = ⎜ ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜ ⎜1 ⎜1 则 B = f ( A) = TR ( A) = A o R = (1, 0.5, 0.8, 0, 0.4, 0.7) o ⎜ % % % % % ⎜0 ⎜0 ⎜ ⎜0 ⎝ ⎛1 ⎜ 0 f −1 ( B ) = TR' ( B) = B o R ' = (1, 0.4, 0.7, 0) o ⎜ ⎜0 % % % % ⎜ ⎝0
0.7 0.2 ，试求 TR ( A) ， TR ( B) B= + % % % % x1 x2
解：解法 1，利用第四章模糊线性变换的内容知：
⎛1 0 1 0⎞ ⎜ ⎟ TR ( A) = A o R = (1, 0,1) o ⎜ 0 1 0 0 ⎟ = (1, 0,1,1) % ⎜0 0 1 1⎟ ⎝ ⎠
0.46 ，同理，得到其他两两对比的优先选择比。 0.32 + 0.46
0.41 0.54 ⎞ ⎛ 1 ⎜ ⎟ 1 0.38 ⎟ 模糊优先关系矩阵 R = 0.59 ⎜ ⎜ 0.46 0.62 1 ⎟ ⎝ ⎠
找出每行最小值 0.41, 0.38, 0.46 ，其中最大值 0.46 位于第三行，因此 c 为第一优越对象。 将第三行和第三列划去得到 a 与 b 的模糊优先关系矩阵：
解：用模糊优先关系排序决策来进行排序，首先要建立模糊优先关系矩阵 R 。在计算 rij 时 要求 rij + rji = 1 。而根据题目， a 与 b 比较时， a 与（ z ）的相似程度为 0.32，则 b 与（ z ） 相似程度为 0.46 ，选择 a 对 b 的优先选择比为
0.32 ， b 对 a 的优先选择比为 0.32 + 0.46
⎧a, x ∈ {x1 , x2 , x3} ⎪ 5. 设 X = {x1 , x2 , x3 , x4 , x5 , x6 } ， Y = {a, b, c, d } 而 f ( x) = ⎨b, x = {x4 , x5 } ⎪ c, x = x 6 ⎩
1 0.5 0.8 0.4 0.7 −1 ，试求 B = f ( A) 及 f ( B) 。 A= + + + + % % % % x1 x2 x3 x5 x6
其中 R 是 Y 到 X 的模糊关系矩阵，是 X 到 Y 的模糊关系矩阵 R 的转置。
6 .设 X = R
f :R→R x |→ f ( x) = 1 + ( x + 1) 2
而 A 是 X 的子集
%
⎧1 + x / 3, −3 < x ≤ 0 ⎪ A( x) = ⎨1 − x, 0 < x ≤ 1 % ⎪0, others ⎩
%
% %
⎛ 0.1 0.2 0.7 ⎞ 0.3 1 0.7 + + TR ( A) = A o R = (1,1) o ⎜ ⎟ = (0.3,1, 0.7) = % y1 y2 y3 ⎝ 0.3 1 0.1 ⎠ ⎛ 0.1 0.2 0.7 ⎞ 0.3 0.6 0.1 + + TR ( B) = B o R = (0.1, 0.6) o ⎜ ⎟ = (0.3, 0.6, 0.1) = % % % y1 y2 y3 ⎝ 0.3 1 0.1 ⎠