二项式定理优质课课件

一、问题引入
什么是二项式，二项式定理研究的是什么？
二项式
对于a＋b，(a＋b)2，(a＋b)3，(a＋b)4，(a＋b)5等
代数式，数学上统称为二项式，其一般形式为：
(a＋b)n（n∈N*） 由于在许多代数问题中需要将二项式展开，因此，
二项式定理研究的是(a＋b)n展开后的表达式的一般结构。
那么(a＋b)n 的展开式是什么呢？
5
典例导航
1 5 例1 在( 2 x ) 的展开式中 x （1）请写出展开式的通项。 （2）求展开式的第4项。 （3）请指出展开式的第4项的系数，二项式系数。 3 （4）求展开式中含 x 的项。
注意：区别二项式系数与项的系数的概念
二项式系数为
项的系数为：二项式系数与数字系数的积
巩固练习
在(1 2 x) 的展开式中
即（1）二项式系数: C , (k 0,1,2,3n)
k n
式中
C a
k n
n k
b
k
叫做二项展开式的通项，
为展开式的第k+1项，用
Tk 1 表示
k n n k
即（2）二项展开式的通项:
Tk 1 C a
b
k
二项式定理，又称牛顿二项式定理， 由艾萨克· 牛顿于1664-1665年间提 出．
即T
a b C r Z , 且0 r n r 1
r nr n
二项式定理
(a b) C a b C a b C a b C a b
n 0 n 0 n
1 n 1 n
1.项数规律：
2.二项式系数规律：
0 n
(n N )
展开式共有n+1项
2
T3 T21 1 2 C x
2 2 2 4
2 2
3 2
四、理论迁移（二）
例2
n 1 n－ 1 2 n－2 化简： C0 ( x ＋ 1) － C ( x ＋ 1) ＋ C ( x ＋ 1) －…＋ n n n n－k (－1)kCk ＋…＋(－1)nCn n(x＋1) n.
体现的是整体思想．注意分析已知多项式的 特点，向二项展开式的形式靠拢．
活学活用（二）
化简(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)．
[解]:
5 1 4 2 3 3 2 原式＝ C0 ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ C ( x － 1) ＋ 5 5 5 5 5 5 5 5 C4 ( x － 1) ＋ C － C ＝ [( x － 1) ＋ 1] － 1 ＝ x －1. 5 5 5
请用分步乘法计数原理
解释一下？ 问：合并同
2
项的形式： a
3
0 3
a b
C
1 3
2
ab
C
b
3
3 3
C 项的系数：
2 3
C
1 3
类项后的展 开式中，共 有几项？
每项的次数 为几次？ 展开式项的 排列方式如 何？（按照a 的降次幂还 是升次幂排 列的？）
2
分析a 2b (a b)(a b)(a b)
二项式定理在组合理论、开高次方、 高阶等差数列求和，以及差分法中 都有广泛的应用．
定理应用， 初步体验
(a b) C a C a b C a b C b
n
练习： (2 x)
0 5 5 1 5 4
0 n n
1 n 1 n
2 5 3
k nk k n
, 字母b按升幂排列，次数由0递增到n .
字母a按降幂排列，次数由n递减到0
二项式定理:
n 0 n n
一般地，对于nN*，有：
1 n 1 n k n nk k n n n
(a b) C a C a b C a b C b
把各项的系数
k Cn , (k 0,1,2,3n) 叫做二项式系数
C
0 2
C
1 2
C
2 展开式项的排列方式如 2 何？（按照a的降次幂
分析ab
(a b)(a b) (a b)(a b)
C
还是升次幂排列的？） 1 2
展开式：
0 2 1 2 2 (a b)2 C2 a C2 ab C2 b
探究2
3
推导 (a b) 的展开式.
3
(a b) (a b)(a b)(a b)
7
求第4项，并指出它的二项式系数和系数是 什么？
（1）令a=1，b=x：
1 x
n
C x C x C x C x C x
0 0 n 1 n 2 2 n r n r
n n n
（2）令a=1，b=1：
(1 1) C C
n 0 n 1 n
C
r n
[解]:
n 1 n－1 2 n－ 2 2 原式＝C0 ( x ＋ 1) ＋ C ( x ＋ 1) ( － 1) ＋ C ( x ＋ 1) ( － 1) ＋… n n n n －k n n n ＋Ck (－1)k＋…＋Cn n(x＋1) n(－1) ＝[(x＋1)＋(－1)] ＝x .
总结：逆用二项式定理可以化简多项式，
(a b)(a b)(a b) (a b)(a b)(a b)
3 0 3 3
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C
1 2 3
展开式： (a b) C a C a b C ab C b
2 3
3 3 3
探究3
2
仿照上述过程,推导(a b) 的展开式.
4
0 2 1 2 2 (a b) C2 a C2 ab C2 b
C
n n
（二项式系数和公式）
（3）用-b代替b ：
a b
n
C a b C a bC a
0 n n 0 r 1 n 2 n
n 1 r
n2 2 n n
b
0 n
1 C a
r n
nr
b C a b
四、理论迁移（一） 7 1 例1 （1）求 x 的展开式. x
分类计数原理：由于b选定后,a也随之确定，因此：
第一类，两次都不取b（即两次都取a），有
0 C2 1种取法， 第二类，任一次取b（即另一次取a），有 1 C2 2种取法； 第三类，两次都取b（即两次都不取a），有
C 1种取法。
1 2
共4种.
问题2：请将(a+b)(a+b)逐项展开并整理
二、讲授新课 问题1：有2个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个 小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球，共 有多少种不同的取法？ 请分别用列举法、分类计数原理进行分析。
问题1：有2个口袋，每个口袋都同样装有a,b两 个小球，现依次从这2个口袋中各取出一个小球， 共有多少种不同的取法？ 列举法：aa，ab，ba，bb 共4种.
法一：直接展开
法二：先化简通项，后展开
1 （2）求 x 的展开式的第4项的系数. x
1 （3）求 x 的展开式中x的二项式系数. x
7
7
注：一个二项展开式的某一项的二项式系数与
这一项的系数是两个不同的概念。
活学活用（一）
求
x－
1 2
4 的展开式，并求该展开式的第 x
3 0 3 3 1 2 3 2 3 2
3 3 3
a 3a b 3ab b
3 2 2
3
4 练习：谁能快速写出将 （a b） 展开后的多项式?
(a b) C a C a b C a b C ab C b
4 0 4 4 1 3 4 2 4 2 2 3 4 3
4 4 4
n 0 n 0 n
1 n 1 n
r nr r n
(n N )
；
n 0 n n
1)公式右边的多项式叫做(a+b)n的 二项展开式 ，
其中 Cr （r=0,1,2,……,n）叫做 n 2)
二项式系数
Ca b
r n
nr r
叫做二项展开式的通项，用Tr+1表示， 项.
r
该项是指展开式的第 r+1
r 4
3 项.
解： Tr 1 C
x
4
4r
1 1 r r r 2r 1 2 C x 4 2 x
r
r
1 x 2 x 2 1 1 2 2 3 3 1 4 4 2 x 2 C4 x 2 C4 2 C4 x 2 C4 x 3 1 1 1 2 x 2x x x 2 2 16
(a b) C a b C a b C a b C a b
n 0 n 0 n
1 n 1 n
r nr r n
n 0 n n

(n N )
二项式定理
二项式定理：
(a b) C a b C a b C a b C a b
1 3 2 2 1 3
0 3
第三类，任两次取b, 其他一次取a, C C C 种，
2 3 1 1 2 3
3 第四类，全部取b, C3 种，
即共C C C C 8种
0 3 1 3 2 3 3 3
问题5:
3 请写出（a b） 展开后的多项式 .
(a b) C a C a b C ab C b

r nr r n
n 0 n n
C 、C 、C 、 、C
1 n 2 n
n n
3.指数规律： （1）各项的次数和均为n； （2）二项式的第一项a的次数由n逐次降到0， 第一项b的次数由0逐次升到n. 注意：公式中a,b可以是单项式、多项式、任意实数。
二项式定理:
n 0 n n
一般地，对于nN*，有：
3 4 5
n n n
5 5 5
5
2 3 5 2 4
C 2 C 2 x C 2 x C 2 x C 2x C x 2 3 4 5 32 80x 80x 40x 10x x
问：展开式中第四项为？第四项的系数为？ 第四项的二项式系数为？
那么对于 (2 x) 的展开式呢？ 5 5 析：(2 x) 2 ( x)
思考：问题2与问题1的处理过程之间有何异同点？
同：展开的过程就是取球的过程； 异：取球ab，ba属两种方法，展开式中的ab，ba
可合并同类项。
2 问题3：将（a b） 展开并整理后，各项的系数与取球
问题中有何联系？
整理后，各项系数为各项在展开式中出现的次数，
即取球问题中分类计数原理的各类结果数。
每项的次数为几次？
探究1
2
推导 (a b) 的展开式.
2
(a b) (a b)(a b) a a ab b a bb 2 2 问：合并同类项后的展 a 2ab b 开式中，共有几项？ 2 项的形式： a 2 b 每项的次数为几次？ ab
项的系数：
1 n 1 n k n nk k n n n
(a b) C a C a b C a b C b
这个公式叫做二项式定理，很显然二项式定理是研 n ( a b ) 究形如 的展开式问题。
二项展开式的结构特征：
①项数： ②次数： 共有n＋1项 各项的次数都等于n， ③展开式中项的排列方式如何？
即（a b） a 2ab b C a C ab C b
2 2 2 0 2 2 1 2
2 2 2
问题4：有3个口袋，每个口袋都同样装有a,b两个小 球，现依次从这3个口袋中各取出一个小球，共有多 少种不同的取法？
请用分类计数原理进行分析
第一类，三次都不取 b, C 种；
第二类，任一次取b, 其他两次取a, C C C 种，
a 4a b 6a b 4ab b
4 3 2 2 3
4
探究1
2
推导 (a b) 的展开式.
2
(a b) (a b)(a b) a a a b b a b b 2 2 a 2ab b
问： 合并同类项前的展开式中，共有几项？ 能利用分步乘法计数原理解释一下吗？
(a b) C a C a b C ab C b
3
0 3 3
1 2 3
2 3
2
3 3 3
(a b) C a C a b C a b C ab C b
4
0 4 4
1 3 4
2 2 2 4
3 4
3
4 4 4
(a b) ?
n
n 问题6: 将（a b） 展开并整理后的多项式 ？