混沌理论学习的总结

预测模型：
1、最大 Lyapunov 指数的预测步骤为： ⑴ 对时间序列{x(ti).i=1,2,…,N}进行FFT变换，计算平均周期P。 （PS：这个建议使用平均法） ⑵ 用C—C方法同时计算出嵌入维数m和时间延迟τ 。 ⑶ 根据时间延迟τ 和嵌入维数m重构相空间{Yi,i=1,2,…,M}( M=N- (m+1)τ) ⑷ 找相空间中每个点Yj的最近邻点Yl，并限制短暂分离。 （保证了邻近点的变化趋势与中心点 的变化趋势有较高的一致性）
Pi e ( ( di d min ))
2
(2) (3)
Байду номын сангаас
e
i 1
K
( ( d i d min ))
式中，α为权重调节系数，一般可取α=1。 （3） 进行计算预测。加权一阶局域法线性拟合为： (4) 其中 ；XM1+1是XM1的一步演化后的相点，ɑ和b为待求的拟合参数。鉴于大多数
文献中ɑ、b计算式冗长、不易理解，本文给出ɑ、b的矩阵表达式[8]，使其便于理解且易于 编程。设线性方程组(4)的矩阵表达式为： Y Ax (5) 其中 , ,x 。
若定义目标函数为：
f ( x) ( Ax Y )T P( Ax Y )
f 2 AT P ( Ax Y ) 0 x AT PAx AT PY
嵌入空间维度 m 的选择 为了保证准确计算各种混沌不变量，又尽量降低运算量和噪声的影响，需要选择合适的 嵌入维数 m。如果 m 取值过小，吸引子会发生折叠甚至在某些地方会出现自相交，重构吸引 子的几何形状和原始状态吸引子可能完全不同；如果 m 取值过大，吸引子的几何结构会完全
打开， 混沌不变量计算精度提高， 这在理论上是可行的， 但会增加计算量 （关联维数和 Lyapunov 指数） ，也放大了噪声的影响。 目前，嵌入维数的确定方法很多，如饱和关联维数法、邻近点维数法、虚假邻近点法、 奇异值分解法、 累积局部变形法、 轨道扩张法等。 这些方法确定最佳嵌入维的原理大致相同， 都是依据随嵌入维数 m 升高而逐步收敛的情况，或利用预测效果来确定最优嵌入维数。本文 选用上述方法中最为常用的饱和关联维数法和虚假邻近点法对供水系统的最优嵌入维数 m 进 行研究。 时间延迟 τ 的选择 如果延迟时间τ 取值太小，那么在相空间中各向量的分量间几乎不包括新信息，从而会低 估关联维数（会增加运算量，延迟运算时间） 。相反，如果延迟时间τ 取值太大，相空间重构 的相关有效信息会遗漏，这样会高估关联维数。只有在最小的嵌入相空间内能够对相邻轨道 实现最优分离的延迟时间τ 才是重构相空间的最佳延迟时间。 目前，确定延迟时间的方法很多，其中由于计算简单，自相关函数法使用最为广泛，而 Fraser 和 Swinney 认为自相关函数法对非线性系统的分析可能并不适合，因为自相关法测量 的是连续的时间序列之间的线性依托关系，而互信息法则能提取时间序列的非线性特征，通 过重构相空间来定量地分析吸引子动力学特征，所以建议选用互信息法来确定延迟时间。 当然有些学者认为，m 和 τ 的取值是相互关联的，C-C 算法就可同时求出 m 和 τ。
(i 1,2, N (m 1) )
(1)
式中 τ 为时间延迟，m 为嵌入维数。 （2） 选取邻近点。设中心点 XM 的 K 个邻近相点为（XMi=1,2…,K） ，到中心点 XM 的欧式距 离为 d i ，设 dmin 是 d i 中最小值，定义 X Mi 的权值为 Pi ，则
di X M X Mi
(6)
其中 P 为权重系数矩阵；依据多元函数的极值理论，目标函数取得最小解的充要条件是： (7)
则可得参数 ɑ、b 的矩阵表达式：
a （AT PA) 1 AT PY b
(8)
（4）预测计算；将求解的参数 ɑ、b 带入式(4)，则能计算下一步预测点 XMi+1，i , ,…K。 缺点： 虽然混沌理论相对比较成熟，预测模型也具有一定的合理性，在实践中也取得了一些初 步成果，但仍然存在许多缺点与不足： 1）利用混沌理论在用水量预测方面的研究相对比较少； 2）要求非常恰当的重构系统相空间； （m 与 τ 要合适） 3）模型没有学习能力； 4）对历史数据代表性要求较高； 5）大样本情况下才能保证较高的预测精度。 在实际工程中，当时间序列的非线性非平稳性特征较强、噪声较大时，即便是混沌理论 预测模型也可能得不到满意的结果。
判断系统是否具有混沌特征（需先求出 τ 和 m） 常用表征系统是否具有混沌特征一般有两类方法：定性方法（功率谱）和定量方法（最 大Lyapunov指数） 。利用Fourier分析法求出时间序列的功率谱，从而可以识别该时间序列表征 的动力系统的规则性态与不规则性态。若时间序列具有混沌特征，则其功率谱具有连续性、 噪声背景和宽峰特征等图形特征；若时间序列是确定性的周期系统，则其功率谱是仅包含有 基频和其谐波或分频的离散波形；若时间序列是确定性的准周期系统，则其功率谱是包括不 同层次频率的离散波形，但谱线并不像周期运动那样以某间隔的频率分离。 最大Lyapunov指数是评判和表征非线性时间序列混沌特性的重要参数，是一个非常关键 的混沌不变量。Lyapunov指数是用来描述混沌系统内部相邻相点间辐散的平均速率（其中正 Lyapunov指数值（ Lyapunov指数＞0）评判两个相邻轨道的平均指数分离程度，负 Lyapunov 指数值（Lyapunov指数＜0）评判两个相邻轨道的平均指数靠拢程度） 。如果一个非线性系统 是离散的，那么正Lyapunov指数则是衡量系统是否混沌的一个重要指标。 （PS：Lyapunov指数 的倒数就是有效预测步数！ ） 从时间序列的角度来研究混沌，我们知道对于决定系统长期演化的任一变量均包含了系 统所有变量长期演化的所有信息。因此，我们可以通过决定系统的长期演化的任一单变量时 间序列来研究系统的混沌行为，于是帕卡德（Packard）等人提出的重构相空间理论。 相空间的重构： 混沌动力学系统分析的第一步是相空间重构。由 Takens 定理可知系统中任意一个分量的 演化均是由与它相互作用的其它分量所决定的。所以，这些相关分量的数据信息隐含在任意 一分量的变化过程中，系统相空间的重构只需要考察其中的一个分量，再通过某些延时点上 的观测数值找到如 Y={x(i),x(i+τ),…,x(i+(m-1)τ},x(i+ (m-1)τ)}所示的 m 维向量，就能重构出一 个等价的相空间用于恢复原有的动力学系统。 从 Y 中可以看出， 未知参数只有 m 和 τ， 所以， 如何选择适当的嵌入维数 m 和延迟时间 τ 是相空间重构的主要研究内容。 举例： 设时间序列为 X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20}，假设算出此时间序 列的 τ=3，m=5。则相空间重构有：M=N-（m-1）τ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
Logistic 混沌吸引子图
Lorenz 吸引子图
Chen 吸引子图 混沌理论与其它预测技术的不同： 传统的预测技术方法所基于的原理可归纳为惯性原理、相关原理、类推原理和概率推断 原理等，这些理论对非线性问题难以给出很好的解释，又由于传统预测模型多基于全局建模 的角度，缺失局部特征的代表性，例如回归分析法、指数平滑法、趋势外推法等，通常预测 精度较低，且存在模型参数确定困难及普适性较差等缺点。虽然传统预测技术方法的应用在 社会、经济和技术的发展中起了非常重要的作用，取得了积极的成果，但是对众多纷繁复杂 的技术经济现象，现有预测理论与方法还不能给予合理的解释和有效的预测，预测结果常常 与现实情况存在较大偏差。 而混沌理论是非线性理论的重要组成部分， 能够很好地描述非线性系统运动的变化规律， 从而为预测模型的研究开辟了新思路。 其对预测的影响不是对 “原有理论与方法的修修补补” ， 而是要求根本性的变革，即进行预测范式的转换。
⑸ 对相空间中每个点Yj,计算出该邻点对的i个离散时间的步后的距离dj（i)。
⑹ 对每个i，求出所有j的lndj(i)平均y(i)。
∆t为样本周期，q是非零dj(i)的数目，并用最小二乘法作出回归直线，该直线的斜率就是
最大Lyapunov指数λ1。 2、BP 网络的混沌时间序列预测的具体步骤为： ⑴ 建立网络，根据混沌时间序列计算出嵌入维数m，用m作为网络的输入个数 ⑵ 学习阶段，将N-l个数值序列顺序输人，通过前向过程得到一个输出结果，将该结果与目 标模型比较，如果存在误差，立即进行反向传播过程，并修正网络权值，以减小误差， 正向输出计算和反向权值修改交替进行，直到误差控制在允许范围内。 （这N-l个数值不 是单单的一个数字，也可能是一个单元） ⑶ 预测阶段，将第N个数值输人到神经网络中，此时的输出就是该序列的实际预测值。 3、加权一阶局域法 （1） 重构相空间；其基本思路是将一维混沌时间序列映射到高维的空间，目的是恢复有规 律的吸引子，从而使蕴藏在时间序列中的信息显露。设混沌序列 x1、x2、…xk、…，则 重构相空间为： Y={x(i),x(i+τ),…,x(i+(m-1)τ},x(i+ (m-1)τ)}
混沌理论学习的总结
刘年东 混沌的概念（名词解释） ：很难给出一个精确的定义，一般认为混沌就是指在确定系统中 出现的一种貌似无规则的， 类似随机的现象。 混沌不是简单无序而是没有明显的周期和对称， 但却是具有丰富的内部层次的有序结构，是非线性系统中一种新的存在形式。目前学者们一 致的观点是：混沌是物质科学、数学科学和系统科学等多学科交叉的边缘科学。混沌之所以 有如此大的吸引力，因为它是一种关于过程的科学，而不是关于状态的科学；是关于演化的 科学，而不是关于存在的科学，它使人们看到了运动演化中的生机和动力。 混沌的主要特征：⑴敏感依赖于初始条件 ⑵伸长与折叠（从 logistic 映射形成混沌的过 程可以看到，混沌具有伸长和折叠的特性，这是形成敏感依赖于初始条件的主要机制。伸长 是指系统内部局部不稳定引起的点之间的距离的扩大；折叠是指系统整体稳定所形成的点之 间距离的稳定的限制经过多次的伸长和折叠，轨道被扰乱了，形成混沌）⑶具有丰富的层次 和自相似的结构（混沌区内有窗口（稳定的周期解） ，窗口里面还有混沌，这种结构无穷多次 重复着，并具有各态历程和层次分明的特征。伸长和折叠使混沌运动具有大大小小的，无特 征的各种尺度，这些都被称为自相似的结构⑷非线性的耗散系统中存在混沌吸引子。 （这是总 体稳定和局部不稳定相结合的产物。 通常的混沌吸引子都有负的 （且无正的） Lyapunov 指数， 唯独混沌吸引子具有正的 Lyapunov 指数，而且混沌吸引子只能用分数维来表征。 ）混沌行为 最本质的特点是非线性系统对于初始-条件的极端敏感性。 吸引子在一个确定耗散系统里，不属于其他任何更大的极限集，而且无轨道。在耗散系 统里包含了拟周期吸引子、周期吸引子、混纯吸引子以及定常吸引子。 几种典型的混沌吸引子图：