第06章电力系统次同步振荡和励磁分析

δ = ∑ qiδ i'
i =1
N
(6-8)
式(6-8)说明,每一质量块的角度(包括角速度和角加速度)变化将包含所有自然扭振频率的振荡分量。
Kq1 。代入式(6-1)中的矩阵 K 后,可 ' 以看出 q1 的各元素彼此相等。而由式(6-8)可见, δ 中与此零特征值相对应的成分为 q1δ 1 ,说明各质量
其中 α
= arctg
ψ q 0
(6-17) 。 ψ d0

相应地, ∆ub 和 Leabharlann Baiduuc 可在式(6-17)中将 α 分别换成 α
− 2 π 3 和 α + 2 π 3 而得。式(6-17)表明,
6.5
当轴系机械运动中出现频率为 ω m 的振荡分量时,在发电机定子中将引起次同步频率 (1 − ω m ) 和超同 步频率
对角矩阵 Λ ,而且其元素为实数。 另外,对于一般轴系来说,矩阵
J −1 / 2 KJ −1 / 2 为非负定矩阵,它的特征
值即 Λ 的对角元素,除了一个等于零外其余都是正数,而零特征值的存在是因为式(6-1)中的矩阵 K 为 奇异矩阵。 由式(6-5)可见,
Λ 也是矩阵 J −1 K 的特征矩阵,而 Q 则是由各个右特征向量 qi 所组成的矩阵,即 Q = [q1 , q2 , K q N ] (6-6)
1
Model 4 32.3Hz
-1
1
Model 5 47.5Hz
-1
1
2
3
4
5
6
HP
IP
LPA
LPB
GEN
EX
图6.2
轴系的振型
每个自然扭振频率振荡分量称为一个模式。对于模式 i 的特征值 λi 及其特征向量 qi 中相应的成 分由式(6-8)可知为 qiδ i ,这说明 qi 中的各元素反映了各元素块角度中该模式成分的相对大小。 对各个
'
模式,图 6-1 画出了表 6-1 的轴系由其特征向量中各元素所连成的折线(分别以特征向量中的最大元素 为基准),它们被称之为振型。 图中的模式序号按频率由低至高排列。 可以看出,序号的大小也正好是振 型中相位改变的次数,如,模式 1 的相位改变一次。 振型清晰地描绘了各模式下轴系的扭转情况,如对模 式 4,轴段 LPB-GEN 扭转最为严重。
表 6.1
3 2 1.5 0.5
0.1
0.2
p'
0.3
p
0.4
0.5
0.6
0.7
图6.1
= f ( k ) 的图形
可见补偿度越高,稳定极限提高越显著。但是随着补偿度的提高,负面影响也越来越大。这主要是 在一定条件下,会产生次同步谐振和自励磁。
6.1
由于大型汽轮发电机转子轴系具有显著的弹性,在一定的条件下因机械和电气的相互作用而产 生自发振荡,其频率低于同步频率,并与轴系的固有振荡频率有关。这种现象最先发生在具有串联电容 的补偿系统中,随后又发生在高压直流输电系统中,并可能由静止无功补偿装置的控制设备和电力系 统稳定器(Power System Stabilizer,PSS)所引发。上述现象称之为电力系统次同步谐振(Subsynchronous Resonance),简称 SSR,有的称为次同步振荡(Subsynchronous Oscillation),简称 SSO,也有称为轴系扭(转) 振(荡)(Torsional Oscillation),简称 TO。 出现次同步谐振后,由于轴系中产生很大的扭矩,在严重情况下可能导致大轴出现裂纹甚至断裂, 或者因反复承受较大的扭矩而造成疲劳积累,,使轴系寿命降低。因此,不但须对 SSR 进行分析计算,还 应采取监视、保护和抑制等措施。 和串联电容相联的同步电机,在同步转速时,或在异步起动过程中(同步电动机)可能发生自励磁 (Self-excitation)。这时机电能量互相交换,形成参数共振,除有工频电流外还有自激电流,使电机的励磁 电流的调节不能控制同步电机的电流和电压,电机和电力系统 的电流不断增长或不能正常运行。 因此, 须对自励磁进行分析和计算,还应采取监视、保护和抑制等措施。
EU sin δ xL (1 − K )
P′ = P
1 1− K P′ 1 = P 1− K
’
,P' 为补偿后的传输功率
表 6.1 列出 P /P=f(k)的变化，图 6.1 描述了图形。
P′ 1.11 1.25 1.33 P
k
0.1
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.5
1.43 1.54
1.66 2
或简写成
δ 1 δ 2 δ 3 δ 4 K12 0 ... − K 23 ... ... ... 0 ... ...
Jp 2δ + Kδ = 0
现在,取非奇异矩阵 Q 对 δ 进行坐标变换,即令
２
ｔ ｄ２ ｄ
0 0 ...
0 ... − K N −1, N
δ 1 0 0 δ 2 0 = ... δ 3 M K N −1, N δ 4 0 0
2 π ∆ib = ∆I sin (1 − ω m )t + a − 3 ∆ic = ∆I sin (1 − ω m )t + a + 2π 3 1 − ω A 2 2 m ∆I = ψ q 0 + ψ d 0 × × 2 R ∆ia = ∆I sin[(1 − ω m )t + a ]
(1 + ω m ) 的电压分量。
如果输电线路采用串联电容补偿,而且定子回路中的电感和电容的谐振频率正好是 (1 − ω m ) ,则 定子回路中频率为 (1 − ω m ) 的电流分量与式(6-17)中频率为 (1 − ω m ) 的电压分量相位相同,即这一 电流分量可以表示为
其中
式中:R 为定子回路的电阻。不难看出,式(6-18)中的三相电流在空间将形成转速为 (1 − ω m ) 的旋转磁 场。为了求得由它所引起的电磁转矩,先导出对应于式(6-18)中三相电流分量的 d、q 分量,即
第六章 电力系统的次同步谐振和自励磁分析
6.1 概述
为了改善电力系统的稳定性,高压输电线采用串联电容补偿装置。若串联电容为 x c ,线路电抗为
x L ,定义补偿度为 K= xc / x L 。
补偿前,线路静态稳定极限
P=
EU
x
sin δ
L
补偿后,,线路静态稳定极限为
P=
EU sin δ = x L − xC
考虑到现在所关心的是定子电压、 电流因 ∆θ 和 ∆ω 而产生的变化,故略去式(6-16)中不直接与 ∆θ 和
∆ω 有关的最后一项,然后将式(6-9)和(6-10)代入,经适当推导后可得 A 2 2 A ∆ua = ψ q 0 + ψ d 0 (1 − ω m ) sin[(1 − ω m )t + α ] − (1 + ω m ) sin[(1 + ω m )t + α ] 2 2
udo = −ψ qo , u qo = ψ do
将式(6-12)和式(6-13)代入式(6-11),可得
(6-13)
∆ud = − ∆ψ q − ψ qo ∆ω ∆u q = ∆ψ d + ψ do ∆ω
(6-14)
可将 Udq 转换为 Uabc。以 a 相为例,有(为简单起见,认为 t=0 时 d 轴与 a 相绕组磁轴重合) ua = uao + ∆ua = cos θ (udo + ∆ud ) − sin(u qo + ∆u q ) (6-15) 其中 cos θ
6.2
次同步谐振的基本概念
6.2.1 轴系的固有振荡频率和振型
轴系的固有振荡频率是指无外施转矩时轴系本身的自由振荡频率。为一般起见,考虑轴系为由 N 个质量块所组成的质量－弹性系统,当忽略阻尼影响且外施转矩等于零时,其运动方程可改写为二阶 齐次微分方程如下:
J1 0 L 0 0 J L 0 2 O M M 0 0 L J N K12 − K ( K + K ) 12 12 23 + ... 0
(6-1) (6-2)
δ = Qδ ′
6.2
(6-3)
从而得出新的角度向量 δ ′ 。将式(6-3)代入(6-2)得
p 2δ ′ + Q −1 J −1 KQδ ′ = 0
可以证明,总能找到矩阵 Q,使之满足 由于
(6-4)
Q −1 J −1 KQ = Λ = diag{λ1 , λ2 , L λN }
= cos(θ 0 + ∆θ ) = cos(t + ∆θ ) ≅ cos t − ∆θ sin t sin θ = sin(θ 0 + ∆θ ) = sin(t + ∆θ ) ≅ sin t − ∆θ cos t
将式(6-14)和式(6-13)代入式(6-15),可得 a 相电压的增量为
∆ua = (ψ q 0 sin t − ψ d 0 cos t ) ∆θ − (ψ q 0 cos t − ψ c 0 sin t ) ∆ω − ( ∆ψ q cos t − ∆ψ d sin t ) (6-16)
ud = −ωψ q u q = −ωψ d
令
(6-11)
ud = udo + ∆ud , u q = u qo + ∆u q
ψ d = ψ do + ∆ψ d ,ψ q = ψ qo ω = ω 0 + ∆ω = 1 + ∆ω
+ ∆ψ q
(6-12)
式中:带下标 0 的为稳态运行情况下的量。显然有
块对应于这一运动分量的角度变化情况完全相同。因此,该运动分量代表的是轴系作为刚体时的运动 情况。这样,在含有 N 个质量块的轴系中,实际上只有 N－1 个自然扭振频率。 表 6-1 给出了图 6-1 所示 6 质量块的某汽轮发电机组的惯性常数和弹性常数,经计算可得其自然 扭振频率分别为 15.7、20.2、25.5、32.3、47.5Hz。
(6-5)
Q −1 J −1 KQ = ( J 1 / 2Q ) −1 ( J −1 / 2 KJ −1 / 2 )( J 1/ 2Q ) ,并由式(6-1)可知 K 为对称矩阵,因此, J −1 / 2 KJ −1 / 2 也为对称矩阵。于是必然存在矩阵 J 1 / 2Q ,用它对 J −1 / 2 KJ −1 / 2 进行相似变换后可得到
对于 Λ 中的零特征值,对应的特征向量(设为 q1)应满足 J
−1 / 2
表 6-1 某汽轮发电机组的惯性常数和弹性常数 质量块 高压缸(HP) 中压缸(IP) 惯性常数 J(s) 0.185794 0.311178 HP-IP 19.303 轴段 弹性常数 K(标么值)
低压缸(LPA)
1.717340
IP-LPA
34.929
6.3
低压缸(LPB)
1.768430
LPA-LPB
52.038
发电机(GEN)
1.736990
LPB-GEN
70.858
励磁机(EX)
0.068433
GEN-EX
2.822
1
Model 1 15.7Hz
-1
1
Model 2 20.2Hz
-1
1
Model 3 25.5Hz
-1
6.4
6.2.2
次同步谐振的机理
假定在某一稳定运行情况下,机组轴系上遭受一微小扰动,使发电机转子块产生绝对角位移增量,即 ∆θ = A sin ω m t (6-9) 式中:
ω
m
为轴系某一自然扭振频率的标么值。相应的角速度增量为
∆ω = Aω m cos ω m t
(6-10)
现在来分析由于这一扰动,在发电机定子电压、 电流和电磁转矩中所引起的变化。 为便于理解 SSR 发生的机理,忽略定子回路的电磁暂态过程和定子电阻。 在此种情况下,发电机定子电压方程为(三相对 称无零序分量)
将式(6-5)代入式(6-4),得
p 2δ ' + Λδ ' = 0
的振荡分量,振荡频率分别为 ω1 频率,或称自然扭振频率。 将式(6-6)代入式(6-3),得
(6-7)
式(6-7)说明,新角度变量的自由运动方程为解耦的二阶齐次微分方程,各变量为相互无关且幅值不变
= λ1 , ω 2 = λ2 , K , ω N = λ N 。这些频率便是轴系的固有振荡
[ [
] ]
(6-18)
∆id = − ∆I sin(ω m t − α ) ∆iq = − ∆I cos(ω m t − α )
然后可得出
∆Te = ψ d 0 ∆iq − ψ q 0 ∆id = − ψ q 0 + ψ d 0 ∆I cos ω m t
2 2
(6-19)