组合数学(第2章2.2)

其他形式
如果n个物体放入k个盒子，至少有一个盒 子包含至少[n/k]个物体。 注：[n/k]表示n/k的整数部分。
特别情形
初等数学叙述。 平均原理
m1 + m 2 + L m n > r −1 n
至少存在一个mi大于或等于r.
应用例子1
例1. 一篮水果装有苹果、香蕉和橘子。为 了保证或者至少8个苹果，或者至少6个香 蕉或者至少9个橘子，则放入篮子中的水果 的最少件数是多少？
提示： 设存在选出的100个整数互不整除。
(1) M={ 2 ⋅ ai | a1=1, a2=3,…, a100=199 }; 令A={1, 3, 5,…, 199} (2) 存在2k·b<16, 2k·b∈M, b∈A，有 3k·b≤27 （分别考查k和b几种情况可证） （3）注意到b是奇数， 3k+1·b≤81, 因此 31·b∈A, 32·b∈A,…, 3k·b∈A, 3k+1·b ∈A 存在 r1, r2,…, rk, rk+1,使得 2k·b∈M rk k r1 1 r2 2 2 ·3 ·b∈M, 2 ·3 ·b∈M,…, 2 ·3 ·b∈M, 2rk+1·3k+1·b ∈M 若互不整除则有k >r1>r2>…>rk >rk+1≥0, 产生矛盾。
大碟子不动，转动小碟子，转完一圈， 分析： 回到原位，每个扇形匹配颜色次数均为4 分析
8 7 6 5
1 2 3 4
200
1
i1
2
3
…
200
∑a
i =1
= 100
S1 S2 S3 …
a1,1 a2,1 a3,1 …
a1,2 a2,2 a3,2 …
a1,3 a2,3 a3,3 …
… a1,200 … a2,200 … a3,200 … … … a200,200
ki
习题讲解
P.25, 7. 证明：对任意给定的52个整数，存在两个整数， 要么两者之和能被100整除，要么两者之差能被 100整除。 100 思路（1）先证明：若条件加强为52个小于100的 非负整数。 （2）运用余数定理将问题归结为（1）情况。
作业
2.4 练习题 14) 一只袋子装了100个苹果、100个香蕉… 15)证明，对任意的n+1个整数a1, a2, …, an+1存在两个整数 ai和aj，i≠j, 使得ai−aj能够被n整除。 18) 证明，从边长为2的正方形中任选5个点，他们当中存 在2个点，其距离至多为
2
200
∑a
i =1
i2
= 100
S200
200
a200,1 a200,2 a200,3
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∑a
i =1
ik
= 100 对 ∀k
应用例子3
例3. 证明每个由n2+1个实数构成的序列a1, a2, …, a n +1, 或者含有长度为n+1的递增子序
2
列，或者含有长度为n+1的递减子序列。 子序列定义。
解题思路
m k1 = m k 2 = L = m k n +1
其中，1≤k1< k2<…< kn+1≤n2+1 我们说： a k i ≥ a k i +1 ？
即我们已经找出了长度为n+1的递减子序列
a
k1
,a
k
2
,L , a
k
n +1
习题讲解
P.25, 2. 证明从1, 2,…, 200选出100个整数，其中一 个小于16，则存在两个数，其中一个被另 一个整除。
鸽巢原理加强形式简单应用。
苹果 ≥8
或
香蕉 ≥6
或
橘子 ≥9
8＋6＋9－3＋1＝21 件
应用例子2
两个大小不一被分成200个相等扇形的碟子， 在大碟子中任选100个扇形涂成红色，其余 的涂成蓝色。小碟子中，每一个扇形随机 地涂成红色或者蓝色。将小碟子与大碟子 中心重合，证明：能够通过适合旋转，使 得两个碟子相同颜色重合的扇形数至少是 100个。
(1) 假设不存在长度为n+1的递增子序列， 构造一个长度为n+1的递减子序列。 (2) 设mk以是以ak为起始的最长递增子序列 长度，k=1, 2, …，n2+1. 显然对∀k有 1≤mk≤n 那么，对序列m1, m2, …, m n 理加强形式。
2
+1
运用鸽巢原
等价将n2+1个物体放入n个盒子，即其中 存在n+1个相同数：
第二章 鸽巢原理加强形式
主要内容
鸽巢原理加强形式 应用例子
鸽巢原理：加强形式
定理2.2.1 令q1, q2, …,qn为正整数.若将 定理
q1+q2+…+qn–n+1
个物体被放进n个盒子内，那么，或者第一个 盒子至少含有个q1物体，或者第二个盒子至少 含有个q2物体，…，或者第n个盒子至少含有个 qn物体。 证明: 若第i个盒子都少于qi，那么，物体总数 (q1–1)+(q2–1)+…+(qn–1)=q1+q2+…+qn–n