高中数学任意角例题解析

任意角例题解析

一、重点、难点剖析

理解任意角的概念，任意角产生于用角表示圆周上运动的点P ，学会在平面内建立适

当的坐标系来讨论角。理解终边相同的角的概念，能在00到3600范围内，找出一个与已知角

终边相同的角，会判定其为第几象限角，能写出与任一已知角终边相同的角并用集合的语言准确地表示。

二、典型例题

例1、写出与下列各角终边相同的角的集合

S ，并把S 中在00720~360间的角写出来：60(1)21-(2)14

633(3)解：(1) Z k k S

，36060|S 中在-360°～7200间的角是：

-1×360°+60°=-280°；0×360°+60°=60°；1×360°+60°=420°．

(2) Z

k k S ，36021|S 中在-360°～720间的角是：

0×360°-21°=-21°；1×360°-21°=339°；2×360°-21°=699°．

(3) Z

k k S ，36014363|S 中在-360°～720°间的角是：

-2×360°+363o14’＝-356o46’；-1×360°+363o14’=3o14’；0×360°+363o14’=363o 14’．

例2、写出终边在y 轴上的角的集合（用00到3600

的角表示）。

解：∵在0°～ 360°间，终边在y 轴的正半轴上的角为90°，终边在y 轴的负半轴上的角为270°，∴终边在y 正半轴、负半轴上所有角分别是：

S 1={|=k 360+90,k Z}；S 2={|=k 360+270,k Z}

探究：怎么将二者写成统一表达式？

∵S 1={|=k 360+90,k Z}={|=2k 180+90,k Z}；

S 2={|=k 360+270,k Z}={|=2k 180+180+90,k Z}={|=(2k+1)180+90,k Z}；∴终边在y 轴上的角的集合是：

S=S 1S 2={|=2k 180+90,k Z}{|=(2k+1)180+90,k Z}

={|=180的偶数倍+90,k Z}{|=180的奇数倍+90,k Z}

={|=180的整数倍+90,k Z}

={|=n 180+90,n Z}

引申：写出终边适合下述条件的角的集合。

（1）终边在x 轴的正半轴、x 轴的负半轴及x 轴上的角的集合：

O x y O x y O x

y

{|=k 360, k Z} {|=k 360+180,k Z} {|=k 180,k Z}

（2）终边在y 轴的正半轴、y 轴的负半轴及y 轴上的角的集合：

O x y O x y O x

y

{|=k 360+90,k Z} {|=k 360+270,k Z} {|=k 180+90,k Z}

（3）终边在坐标轴、坐标轴的分角线及终边在坐标轴和坐标轴的分角线上的角的集合：

O x y O x y O x

y

{|=k 90, k Z} {|=k 90+45, k Z} {|=k 45, k Z}

例3、用集合的形式表示象限角

解：第一象限的角表示为{|k 360<

第二象限的角表示为{|k 360+90<

第三象限的角表示为{|k 360+180<

第四象限的角表示为{|k 360+270<

或{|k 36090<

例4、设角

,满足009090，则的范围是（ A ）A ．00

0180 B ．009090 C ．00180180 D ．00090解：

00,（1）又

00009090,9090而0000180180

,9090（2）由（1）、（2）可得：00

0180选（A ）例5、已知是第二象限角，问2是第几象限角？2是第几象限角？分别加以说明。解：∵在第二象限，∴k 360+90＜＜k 360+180，k Z

于是， k 180+45＜2＜k 180+90, ∵k Z, ∴k=2n 或k=2n+1

当k=2n 时，n 360+45＜

2＜n 360+90, ∴2在第一象限；

当k=2n+1时，n360+225＜

2＜n360+270, ∴

2

在第三象限；

∴当在第二象限时，∴

2

可能在第一象限，也可能在第三象限类似地，2可能在第三、四象限或y轴负半轴上