2018-2019学年江苏省泰州市泰兴市八年级(下)期中数学试卷(解析版)

2018-2019学年江苏省泰州市泰兴市八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本大题共6小题，共12.0分）
1.下列图形中，是中心对称图形的有（）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个
2.下列分式中，最简分式是（）
A. x2+y2
x+y B. 6b
4a
C. x2−4
x−2
D. a2+4a
a
3.下列事件中是必然事件的是（）
A. 投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面朝上的次数为50次
B. 任意一个六边形的外角和等于720∘
C. 如果a2=b2，那么a=b
D. 13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月
4.下列代数式变形正确的是（）
A. x−y
x2−y2=1
x−y
B. −x+y
2
=−x+y
2
C. 1
xy
÷(1
x
+1
y
)=1
y
+1
x
D. x−y
x+y
=x2−y2
(x+y)2
5.如图，△ABC中，∠A=75°，∠B=50°，将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得
到△A′B′C，点A的对应点A′落在AB边上，则∠BCA'的度数为（）
A. 20∘
B. 25∘
C. 30∘
D. 35∘
6.如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，则下列四
个判断中不一定正确的是（）
A. 四边形ADEF一定是平行四边形
B. 若∠B+∠C=90∘，则四边形ADEF是矩形
C. 若四边形ADEF是菱形，则△ABC是等边三角形
D. 若四边形ADEF是正方形，则△ABC是等腰直角三角形
二、填空题（本大题共10小题，共20.0分）
7.分式x
x−1
有意义的条件是______．
8.为了了解我市2018年中考数学学科各分数段成绩分布情况，从中抽取180名考生的中考数学成绩进行
统计分析，在这个问题中，样本是指______．
9.菱形ABCD的周长为52cm，一条对角线的长为24cm，则该菱形的面积为______cm2．
10.若分式6
m−2
的值是正整数，则m可取的整数有______．
11.Rt△ABC中，∠C=90°，BC=4，D为AB中点，点E在AC上，ED平分△ABC的周长，
则ED=______．三、计算题（本大题共3小题，共20.0分）
12.解方程：
（1）x
2x−1
=2-3
1−2x
（2）x+1
x−1
−4
x2−1
=1
13.先化简，再求值：(x+2−5
x−2
)÷x−3
3x2−6x
，其中x满足x2+3x-1=0．
14.已知3x−2
(x+1)(x−1)
=A
x−1
+B
x+1
，求A、B的值．
四、解答题（本大题共7小题，共48.0分）
15.计算：
（1）3a
b
⋅ab2
a3b2
÷6b
a2
（2）1
2−x
+2
x2−4
+1
2+x
16.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（-5，0）、B（-2，3）、C
（-1，0）．
（1）画出△ABC关于坐标原点O成中心对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC绕坐标原点O顺时针旋转90°，画出对应的△A′B′C′；
（3）若以A′、B′、C′、D′为顶点的四边形为平行四边形，请直接写出D′的坐标______．
17.我市为加强学生的安全意识，组织了全市学生参加安全知识竞赛，为了解此次知识竞赛成绩的情况，
随机抽取了部分参赛学生的成绩，整理并制作出如下的不完整的统计表和统计图，如图所示，请根据图表信息解答以下问题．
组别成绩x/分频数
A组60≤x＜70a
B组70≤x＜808
C组80≤x＜9012
D组90≤x＜10014
（1）一共抽取了______个参赛学生的成绩；表中a=______；
（2）补全频数分布直方图；
（3）计算扇形统计图中“B”对应的圆心角度数；
（4）若成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，则所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比是多少？
18.如图，已知矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，
且EF=EC，DE=4cm，矩形ABCD的周长为36cm，求AE的长．19.某中学图书馆添置图书，用240元购进一种科普书，同时用200元购进一种文化书．由于科普书单价
是文学书单价的1.5倍，因此学校所购买的文学书比科普书多4本．
（1）求文学书的单价是多少？
（2）学校买了文学书和科普书一共多少本？
20.在正方形ABCD中，对角线BD所在的直线上有两点E、F满足BE=DF，连接
AE、AF、CE、CF，如图所示．
（1）求证：△ABE≌△ADF；
（2）试判断四边形AECF的形状，并说明理由．
21.如图1，点C在线段AB上，分别以AC、BC为边在线段AB的同侧作正方形ACDE和正方形BCMN，
连结AM、BD．
（1）AM与BD的关系是：______．
（2）如果将正方形BCMN绕点C顺时针旋转锐角α，其它不变（如图2）．（1）中所得的结论是否仍然成立？请说明理由．
（3）在（2）的条件下，连接AB、DM，若AC=4，BC=2，求AB2+DM2的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】
解：图1，图3是中心对称图形．
故选：B．
根据中心对称图形的概念求解．
本题考查了中心对称图形的概念．轴对称的关键是寻找对称轴，图象沿对称轴折叠后可重合，中心对称是要寻找对称中心，旋转180°后与原图重合．
2.【答案】A
【解析】
解：A、分子不能分解因式，因而分式不能再化简，是最简分式，故此选项正确；
B、原式=，不是最简分式，故此选项错误；
C、原式=x+2，不是最简分式，故此选项错误；
D、原式=a+4，不是最简分式，故此选项错误．
故选：A．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
本题主要考查了最简分式的定义，判断的关键是正确对分式的分子，分母进行因式分解．
3.【答案】D
【解析】
解：A、投掷一枚质地均匀的硬币100次，正面向上的次数为50次是随机事件；
B、任意一个六边形的外角和等于720°是不可能事件；
C、如果a2=b2，那么a=b是随机事件；
D、13个同学参加一个聚会，他们中至少有两个同学的生日在同一个月是必然事件；
故选：D．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
4.【答案】D
【解析】
解：A 、==，故选项错误；
B 、=-，故选项错误；
C 、÷（+）=÷=，故选项错误；
D 、==，故选项正确．
故选：D．
根据分式运算法则，将各分式化简即可．
考查了分式的混合运算，分式的混合运算，要注意运算顺序，式与数有相同的混合运算顺序；
先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的．
5.【答案】B
【解析】
解：∵△ABC中，∠A=75°，∠B=50°，
∴∠BCA=180°-∠A-∠B=45°，
∵将△ABC绕点C按逆时针方向旋转，得到△A，B，C，点A的对应点A，落在AB边上，
∴AC=A′C，
∴∠A=∠CA′A=75°，
∴∠ACA′=180°-∠A-∠CA′A=20°，
∴∠BCA′=∠BCA-∠ACA′=25°，
故选：B．
根据三角形内角和定理了求出∠ACB，根据旋转得出AC=A′C，求出∠CA′A，根据三角形内角和定理求出∠ACA′，即可求出答案．
本题考查了三角形内角和定理，旋转的性质的应用，能求出∠ACA′的度数是解此题的关键．
6.【答案】C
【解析】
解：∵点D，E，F分别是AB，BC，AC的中点，
∴EF=AD=DB=AB，DE=AF=FC=AC，EF∥AB，DE∥AC
∴四边形ADEF是平行四边形
故A正确，
若∠B+∠C=90°，则∠A=90°
∴四边形ADEF是矩形，
故B正确，
若四边形ADEF是菱形，则AD=AF，
∴AB=AC
∴△ABC是等腰三角形
故C不一定正确
若四边形ADEF是正方形，则AD=AF，∠A=90°
∴AB=AC，∠A=90°
∴△ABC是等腰直角三角形
故D正确
故选：C．
利用正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定进行依次推理，可求解．
本题考查了正方形的性质，矩形的判定，菱形的性质，平行四边形的判定，等腰直角三角形的判定，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
7.【答案】x≠1
【解析】
解：由题意得：x-1≠0，
解得：x≠1，
故答案为：x≠1．
根据分式有意义的条件可得x-1≠0，再解即可．
此题主要考查了分式有意义的条件，关键是掌握分母不等于0，．
8.【答案】从中抽取的180名考生的中考数学成绩
【解析】
解：样本是指从中抽取的180名考生的中考数学成绩，
故答案为：从中抽取的180名考生的中考数学成绩．
根据样本定义：从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本可得答案．
此题主要考查了样本，总体，关键是掌握样本的定义．
9.【答案】120
【解析】解：∵菱形ABCD的周长等于52cm，
∴边长=52÷4=13cm，
∵AC⊥BD，AO=CO，BO=DO，BD=24，
∴OA=5，
∴AC=10，
∴菱形的面积为10×24÷2=120cm2．
故答案为：120．
根据周长先求出边长，由菱形的对角线平分且垂直求出它的另一条对角线的长，再根据面积公式求得面积．
本题考查了菱形的四条边相等的性质，以及对角线互相垂直平分的性质，关键是根据菱形面积的等于对角线乘积的一半解答．
10.【答案】3，4，5，8
【解析】
解：∵分式的值是正整数，
∴m-2=1、2、3、6，
则m=3、4、5、8这四个数，
故答案为：3、4、5、8．
由分式的值是正整数知m-2=1、2、3、6，据此可得．
本题考查分式的值，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，属于基础题，中考常考题型．
11.【答案】2√2
【解析】
解：作DH⊥AC于H，
则DH∥BC，
∵D为AB中点，
∴H是AC的中点，DH=BC=2，
设AE=x，
由题意得，CE=x-4，
∴AC=2x-4，
∴CH=AC=x-2，
则HE=CH-CE=x-2-（x-4）=2，
由勾股定理得，DE==2，
故答案为：2
．
作DH ⊥AC 于H ，根据三角形中位线定理求出DH ，根据题意求出EH ，根据勾股定理计算，得到答案．
本题考查的是勾股定理、三角形中位线定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．
12.【答案】解：（1）去分母得到：x =4x -2+3，
解得：x =-1
3，
经检验x =-13是分式方程的解； （2）去分母得：x 2+2x +1-4=x 2-1， 解得：x =1，
经检验x =1是增根，分式方程无解． 【解析】
（1）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解；
（2）分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x 的值，经检验即可得到分式方程的解．
此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验． 13.【答案】解：(x +2−5
x−2)÷x−3
3x 2−6x
=((x+2)(x−2)−5
x−2
)÷
x−3
3x(x−2)
=x 2−9x−2
×
3x(x−2)x−3
=
(x+3)(x−3)
x−2
×
3x(x−2)
x−3
=3x 2+9x ，
∵x 2+3x -1=0， ∴x 2+3x =1，
∴原式=3x 2+9x =3（x 2+3x ）=3×1=3． 【解析】
根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据x 2+3x-1=0即可解答本题． 本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式的化简求值的计算方法．
14.【答案】解：A x−1+B x+1=
A(x+1)+B(x−1)(x−1)(x+1)
=
(A+B)x+A−B (x−1)(x+1)
，
即
(A+B)x+A−B (x+1)(x−1)=3x−2
(x+1)(x−1)，
∴{A −B =−2A+B=3
， ∴解得：A =1
2 B =5
2． 【解析】
根据分式的运算法则以及待定系数法即可求出答案．
本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式运算法则，本题属于基础题型． 15.【答案】解：（1）
3a b
⋅
ab 2a 3b
2÷
6b a 2
=
3a b ⋅ab 2a 3b 2•a 2
6b
=a
2b 2；
（2）1
2−x +2
x 2−4+1
2+x
=2+x
(2−x)(2+x)-2
(2−x)(2+x)+2−x
(2+x)(2−x) =
14−x 2
．
【解析】
（1）直接利用分式的乘除运算法则计算得出答案； （2）直接利用分式的加减运算法则计算得出答案．
此题主要考查了分式的混合运算，正确掌握运算法则是解题关键． 16.【答案】（-3，4）、（3，-2）、（3，6）
【解析】
解：（1）如图所示，△A 1B 1C 1即为所求； （2）如图所示，△A′B′C′即为所求；
（3）D′的坐标（-3，4）、（3，-2）、（3，6）．
故答案为：（-3，4）、（3，-2）、（3，6）．
（1）根据关于原点对称的点的横坐标与纵坐标都互为相反数解答；
（2）根据网格结构找出点A、B、C关于原点对称的点A′、B′、C′的坐标，然后顺次连接即可，再根据平面直角坐标系写出点A′的坐标；
（3）根据平行四边形的对边平行且相等解答．
本题考查了利用旋转变换作图，平行四边形的性质，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
17.【答案】40 6
【解析】
解：（1）抽取的学生成绩有14÷35%=40（个），
则a=40-（8+12+14）=6，
故答案为：40，6；
（2）直方图如图所示：
（3）扇形统计图中“B”的圆心角=360°×=72°．
（4）成绩在80分以上（包括80分）的为“优”等，所抽取学生成绩为“优”的占所抽取学生的百分比=×100%=65%．
（1）利用总人数与个体之间的关系解决问题即可．
（2）根据频数分布表画出条形图即可解决问题．
（3）利用圆心角=360°×百分比计算即可解决问题．（4）根据优秀人数以及总人数求出优秀率即可．
本题考查了频数分布表、频数分布直方图，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．18.【答案】解：在Rt△AEF和Rt△DEC中，EF⊥CE．
∴∠FEC=90°．
∴∠AEF+∠DEC=90°．
而∠ECD+∠DEC=90°．
∴∠AEF=∠ECD．（3分）
在Rt△AEF与Rt△DCE中，
∵{
∠FAE=∠EDC=90°
∠AEF=∠ECD
EF=EC
，
∴Rt△AEF≌Rt△DCE（AAS）．
∴AE=CD．
AD=AE+4．
∵矩形ABCD的周长为32cm．
∴2（AE+ED+DC）=36，即2（2AE+4）=36，
整理得：2AE+4=18，
解得：AE=7（cm）．
【解析】
先证∠AEF=∠ECD，再证Rt△AEF≌Rt△DCE，然后结合题目中已知的线段关系求解．
本题综合考查矩形的性质和三角形全等的知识．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
19.【答案】解：（1）设文学书单价为x元/本，科普书单价为1.5x元/本，
依题意，得：200
x
-240
1.5x
=4，
解得：x=10，
经检验，x=10是该方程的解，且符合题意．
答：文学书的单价是10元/本．
（2）200÷10×2-4=36（本）．
答：学校买了文学书和科普书一共36本．
【解析】
（1）设文学书单价为x元/本，科普书单价为1.5x元/本，根据数量=总价÷单价结合用200元购买的文化书比用240元购买的科普书多4本，即可得出关于x的分式方程，解之即可得出结论；（2）根据数量=总价÷单价结合购买的科普书比文化书少4本，即可求出结论．
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．
20.【答案】证明：（1）∵正方形ABCD，∴AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB，
∴∠ABE=∠ADF，
在△ABE与△ADF中
{AB=AD
∠ABE=∠ADF BE=DF
，
∴△ABE≌△ADF（SAS）；
（2）连接AC ，
四边形AECF是菱形．
理由：∵正方形ABCD，
∴OA=OC，OB=OD，AC⊥EF，
∴OB+BE=OD+DF，
即OE=OF，
∵OA=OC，OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
【解析】
（1）根据正方形的性质和全等三角形的判定证明即可；
（2）四边形AECF是菱形，根据对角线垂直的平行四边形是菱形即可判断；
本题考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、菱形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
21.【答案】AM=BD且AM⊥BD
【解析】
解：（1）∵四边形ACDE和四边形BCMN都为正方形，
∴AC=DC，∠ACD=∠BCD=90°，BC=CM，
在△AMC和△DBC中，
，
∴△AMC≌△DBC（SAS）．
∴AM=BD，∠CAM=∠CDB，
延长AM交BD于F，∵∠AMC=∠DMF，
∴∠ACM=∠DFM=90°，
∴AM⊥BD；
故答案为：AM=BD且AM⊥BD；
（2）如果将正方形BCMN绕点C逆时针旋转锐角α，其它不变，（1）中
所得的结论仍然成立，
理由如下：在正方形ABCE和正方形BCMN中，AC=CD，CM=BC，
∠ACD=∠MCB=90°，
∵∠ACM=90°+∠MCD，
∠DCB=90°+∠MCD，
∴∠ACM=∠DCB，
在△ACM和△DCB中，
，
∴△AMC≌△DBC（SAS）．
∴AM=BD，∠CAM=∠CDB，
∵∠AFC=∠DFG，
∴∠ACF=∠DGF=90°，
∴AM⊥BD．
（3）如图2，连接AD、BM，
∵AC=4，BC=2，
由勾股定理得：AD2=42+42=32，BM2=22+22=8，
∵AM⊥BD，
∴∠AGB=∠DGM=∠AGD=∠BGM=90°，
∴AB2+DM2=AG2+BG2+DG2+GM2，
∵AD2+BM2=AG2+DG2+BG2+MG2=32+8=40，
∴AB2+DM2=40．
（1）利用正方形的性质和已知条件证明△AMC≌△DBC，从而求出AM与BD相等且垂直；（2）如果将正方形BCMN绕点C逆时针旋转锐角α，其它不变（1）中所得的结论任然成立，先求出∠ACM=∠DCB，然后利用“边角边”证明△AMC和△DBC全等，再根据全等三角形对应边相等即可得证；
（3）根据AM⊥BD，得相交的角为直角，由勾股定理计算可得结论．
本题考查了四边形的综合题、正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．。