第二章 复变函数的积分
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l 1 1
2 2
f ( z)]dz a1 f1 ( z)dz a2 f 2 ( z)dz
l l
l
l1 l2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
l
f ( z)dz
f ( z)dz
l l
f ( z )dz
f ( z ) dz f ( z ) ds ML (M是f ( z )的上界）
l
f ( k )z k f ( k ) z k f ( k ) sk
§2.2 Cauchy 定理
1.单连通区域Cauchy 定理 单通区域：是这样的区域,在B上作任何简单的闭合围线,围线内
的点都是属于该区域B.
单通区域柯西定理:如果函数f(z)在闭单通区域 解析, 则沿 B
1! f () f ( z ) l ( z ) 2 d 2i
反复在积分号下求导,得
可以证明求 导是合法的
n! f () f ( z) l ( z ) n1 d 2i
n
5. 推论： 模数原理：设f(z)在某个闭区域上为解析,则| f(z)|只能在境界线l 上取最大值.
向前迚时,区域总在观察者的左边. (3) 定理： 如果f(z)是闭复通区域 上单值解析函数,则 B
l f ( z )dz l f ( z )dz 0
i 1
i
n
式中: l 为区域外境界线, 诸 li 为区域内境界线,积分均沿境界线 的正方向迚行.
或
l逆
f ( z )dz
0
| z a| r
f ( z) dz z a
lim
r 0
2
f (a rei ) i re i d i re f (a rei )i d
lim
r 0
2
0
2
f (a)i d 2 i f (a)
0
2. 复通区域Cauchy积分公式
1 f ( z) f ( z) f ( ) [ dz dz ] l1 z 2i l z
1 i 2 1 1 1 I 2 0 o idy 0 xdx 2
1
l2
1+i
l1
l2 O l1
x
可见,两个积分,虽然被积函数相同,起点,终点亦相同,但由于积分
路径不同,其结果并不相同,一般来说,复变函数积分之不仅依赖与起
点和终点,同时还与积分路径有关.
(4) 积分性质：
[a f ( z ) a
由于f(z)在 上的解析,因而 B 虚部分别用格林公式
l Pdx Qdy (
s
Q P )dxdy x y
v u u v l f ( z)dz ( x y )dxdy i ( x y )dxdy s s
由于f(z)在上的解析 ，其实部u 和虚部v 满足柯西黎曼条件 ， 代入之即得结论。
既有：
1 f ( ) lim CR z d f () R 2i
所以：
1 f ( ) f ( z) l顺 z d f () 2i
特别f(∝)=0：
1 f ( ) f ( z) l顺 z d 2i
4. 解析函数的无限次可微性： Cauchy积分公式积分号下对z求导,得
n
f (
k 1
k
)z k
于n→∞而且每一小段都无限缩短时, 如果这个和的极限存 在, 而且其值与各个ζk 的选取无关,则这个极限称为函数
f(z)沿曲线l从A到B路积分,记作
f ( z)dz lim f (
l n k 1
n
k
)z k
(2)复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分 ：
l
max f ( z ) f () f ( z ) f ( ) dz 2 z
f(z)连续性,因而有 l,由于
f ( z) f ()
其中：max|f(z)-f()| 是 |f(z)-f()| 在 l 上的最大值.
令 0, 则
即, max f ( z ) f () 0 ，于是,
z x iy , f ( z ) u( x, y) iv ( x, y)
f ( z)dz u( x, y)dx v( x, y)dy i v( x, y)dx u( x, y)dy
l l l
(3)计算：设在[α，β]上曲线 l 的方程是：z(t)=x(t)+iy(t)
F’(z)= f(z)的函数F(z)称为f(z)在B上的一个不定积分，或原函数， 同实函数一样，
z f ()d F ( z 2 ) F ( z1 )
1
z2
§2.4 Cauchy积分公式
1. 单通区域Cauchy积分公式 若f(z)在闭单通区域 B 上解析, l 为的围线, 为 则有柯西公式: 内任意一点, B
z z
z0
f ()d z f ()d
0
z
z0
z
z +Δz
F ( z z ) F ( z ) 1 z z z f ()d z z
F ( z z ) F ( z ) 1 z z f ( z) z [ f () f ( z)]d z z 由于z在B上连续,对于任意给定的正数ε,必须存在正数δ使
第二章 复变函数的积分
§2.1 复变函数的积分 §2.2 Cauchy 定理 §2.3 不定积分和原函数 §2.4 Cauchy积分公式
§2.1 复变函数的积分
1. 定义及其计算: (1) 定义：设在复平面的某段光滑曲线l上
定义了连续函数f(z)，在l上取一系列分点,
z0，z1…….. zn 把l分成n个小段.在每个小段 △zk=zk-1-zk上任取点ζk, 作和 ：
1
z l
1 f ( ) 1 f ( ) 1 f ( ) CR z d f () 2i CR z d 2i CR z d 2i 1 | f ( ) f ( ) | 1 CR | z | | d | 2 R z 2R 2
f ( z)dz
l
f [ z (t )]z (t )dt
例1 证明
2i n 1 dz l ( z a)n 0 n 1的整数 （l 为以z a为中心为半径的圆周）
证：
设 l 的方程：z a e it , dz ie it dt
it 2 ie dt dz n 1, 2i it l za 0 e
3. 无界区域Cauchy积分公式
α l
l1
1 f ( ) f ( ) f ( z) [ d d] CR逆 z 2i l顺 z
CR 由于f(z)在无限进处连续,即任给ε>0总能找 到相应的R1,使得当 |z|> R1时有, f ( z) f () 其中 f () 有界,于是只要R> R ,则有:
i 1
n
li 逆
f ( z )dz
证明：作割线，化复连通区域为单连通区域
l A B A’ B’ l1
f ( z )dz
l
AB
l1
BA
CD
li
l2
DC
... 0
2
D C D’ C’
l f ( z )dz l f ( z )dz l f ( z )dz ... 0
dz 例2：计算 l z 2 z
解：应用复通区域Cauchy 定理：
l
1 1 1 1 f ( z )dz ( )dz ( )dz l1 z 1 l2 z 1 z z 0 2i 2i 0 0
l l1 0 l2 1
§2.3 不定积分
函数 f(z) 在单通区域 B 上解析,则沿 B 上任一路径l 的积分 的值只与起点和终点有关,与路径无关.因此,当起点z0 固定时, 这 f ( z )dz 个积分就定义了一个单值函数：
得当 z 时, f () f ( z)
F ( z z ) F ( z ) 1 z z f ( z) z [ f () f ( z )]d z z 1 z
z z
z
d
z z
F ( z z ) F ( z ) lim f ( z) z 0 z
刘维尔定理：如f(z)平面上为解析,并且是有界的,即
则f(z)必为常数
例1 ：证明
1 n 1, l包含a 1 dz l ( z a)n 0 n 1的整数, 或l不包含a 2i
解: 若回路l不包围点, 则被积函数在l 在所 在区域上是解析的,按照柯西定理,积
分值为零. l lR l包围点，应用复连通区域Cauchy 定理得： R
2i n 1 dz dz l ( z a)n lR ( z a)n 0 n 1的整数
it 2 ie dt dz i 2 i ( n 1)t n 1, n 1 e dt 0 n n int l ( z a) 0 e 0
例2 计算： I 1
1
l Re zdz, I 2 l Re zdz
1 2
y
解： I 1 xdx idy 0 0
1 f ( z) f ( ) l z dz 2i
证明： 应用复连通Cauchy定理，得
l
ε α
lε
1 f ( z) 1 f ( z) 1 f ( z ) f ( ) f ( ) dz l z dz 2i l z dz 2i l 2i z 1 f ( z ) f ( ) l z dz f () 2i 可见只要证明上式右端第一项等于零即可。估计：
B上任一分段光滑闭合曲线 l (也可以是 的边界),有 B l f ( z )dz 0
证明：
l f ( z )dz l u( x, y )dx v( x, y )dy i l v( x, y )dx u( x, y )dy
u u v v ,在 ,上连续,对上式右端实部和 , B x y x y
定理条件还可以减弱：如果函数f(z)在单通区源自文库B上解析,在闭
单通区域 B 上连续,则沿 上任一段分光滑l (也可以是 的边界), B B 有
l f ( z )dz 0
B A
推论：f(z)在 B 上解析
f ( z )dz 与积分路径无关。
2. 复连通区域Cauchy 定理： (1) 复连通区域： 有奇点的情况 (2) 区域围线正向：当观察者沿着这个方 l1 l2
lim
0
f ( z ) f () lim 2 max f ( z ) f () 0 0 z
一般写为：
1 f ( ) f ( z) l z d 2i
解析函数在曲线上的值决定了其内部的函数值。
证明方法2
L
f ( z) dz lim r 0 z a
1
或
f ( z )dz
l i 1 n
n
li
f ( z )dz f ( z )dz
l逆
f ( z )dz
i 1
li 逆
1）闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。 2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零 3）复通区域的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境 界线逆时针方向积分。
z
0
l
F ( z ) z f ()d
F(z)在B上是解析的,且F’(z)= f(z),即F(z)是f(z)的一个原函数.
证明： 我们只要对B上任一点z证明F’(z)= f(z)就行了.以z为圆 心作一含于B小圆.在小圆内取 z 点z
F ( z z ) F ( z ) 1 z z
2 2
f ( z)]dz a1 f1 ( z)dz a2 f 2 ( z)dz
l l
l
l1 l2
f ( z )dz f ( z )dz f ( z )dz
l1 l2
l
f ( z)dz
f ( z)dz
l l
f ( z )dz
f ( z ) dz f ( z ) ds ML (M是f ( z )的上界）
l
f ( k )z k f ( k ) z k f ( k ) sk
§2.2 Cauchy 定理
1.单连通区域Cauchy 定理 单通区域：是这样的区域,在B上作任何简单的闭合围线,围线内
的点都是属于该区域B.
单通区域柯西定理:如果函数f(z)在闭单通区域 解析, 则沿 B
1! f () f ( z ) l ( z ) 2 d 2i
反复在积分号下求导,得
可以证明求 导是合法的
n! f () f ( z) l ( z ) n1 d 2i
n
5. 推论： 模数原理：设f(z)在某个闭区域上为解析,则| f(z)|只能在境界线l 上取最大值.
向前迚时,区域总在观察者的左边. (3) 定理： 如果f(z)是闭复通区域 上单值解析函数,则 B
l f ( z )dz l f ( z )dz 0
i 1
i
n
式中: l 为区域外境界线, 诸 li 为区域内境界线,积分均沿境界线 的正方向迚行.
或
l逆
f ( z )dz
0
| z a| r
f ( z) dz z a
lim
r 0
2
f (a rei ) i re i d i re f (a rei )i d
lim
r 0
2
0
2
f (a)i d 2 i f (a)
0
2. 复通区域Cauchy积分公式
1 f ( z) f ( z) f ( ) [ dz dz ] l1 z 2i l z
1 i 2 1 1 1 I 2 0 o idy 0 xdx 2
1
l2
1+i
l1
l2 O l1
x
可见,两个积分,虽然被积函数相同,起点,终点亦相同,但由于积分
路径不同,其结果并不相同,一般来说,复变函数积分之不仅依赖与起
点和终点,同时还与积分路径有关.
(4) 积分性质：
[a f ( z ) a
由于f(z)在 上的解析,因而 B 虚部分别用格林公式
l Pdx Qdy (
s
Q P )dxdy x y
v u u v l f ( z)dz ( x y )dxdy i ( x y )dxdy s s
由于f(z)在上的解析 ，其实部u 和虚部v 满足柯西黎曼条件 ， 代入之即得结论。
既有：
1 f ( ) lim CR z d f () R 2i
所以：
1 f ( ) f ( z) l顺 z d f () 2i
特别f(∝)=0：
1 f ( ) f ( z) l顺 z d 2i
4. 解析函数的无限次可微性： Cauchy积分公式积分号下对z求导,得
n
f (
k 1
k
)z k
于n→∞而且每一小段都无限缩短时, 如果这个和的极限存 在, 而且其值与各个ζk 的选取无关,则这个极限称为函数
f(z)沿曲线l从A到B路积分,记作
f ( z)dz lim f (
l n k 1
n
k
)z k
(2)复变函数的路积分可以归结为两个实变函数的线积分 ：
l
max f ( z ) f () f ( z ) f ( ) dz 2 z
f(z)连续性,因而有 l,由于
f ( z) f ()
其中：max|f(z)-f()| 是 |f(z)-f()| 在 l 上的最大值.
令 0, 则
即, max f ( z ) f () 0 ，于是,
z x iy , f ( z ) u( x, y) iv ( x, y)
f ( z)dz u( x, y)dx v( x, y)dy i v( x, y)dx u( x, y)dy
l l l
(3)计算：设在[α，β]上曲线 l 的方程是：z(t)=x(t)+iy(t)
F’(z)= f(z)的函数F(z)称为f(z)在B上的一个不定积分，或原函数， 同实函数一样，
z f ()d F ( z 2 ) F ( z1 )
1
z2
§2.4 Cauchy积分公式
1. 单通区域Cauchy积分公式 若f(z)在闭单通区域 B 上解析, l 为的围线, 为 则有柯西公式: 内任意一点, B
z z
z0
f ()d z f ()d
0
z
z0
z
z +Δz
F ( z z ) F ( z ) 1 z z z f ()d z z
F ( z z ) F ( z ) 1 z z f ( z) z [ f () f ( z)]d z z 由于z在B上连续,对于任意给定的正数ε,必须存在正数δ使
第二章 复变函数的积分
§2.1 复变函数的积分 §2.2 Cauchy 定理 §2.3 不定积分和原函数 §2.4 Cauchy积分公式
§2.1 复变函数的积分
1. 定义及其计算: (1) 定义：设在复平面的某段光滑曲线l上
定义了连续函数f(z)，在l上取一系列分点,
z0，z1…….. zn 把l分成n个小段.在每个小段 △zk=zk-1-zk上任取点ζk, 作和 ：
1
z l
1 f ( ) 1 f ( ) 1 f ( ) CR z d f () 2i CR z d 2i CR z d 2i 1 | f ( ) f ( ) | 1 CR | z | | d | 2 R z 2R 2
f ( z)dz
l
f [ z (t )]z (t )dt
例1 证明
2i n 1 dz l ( z a)n 0 n 1的整数 （l 为以z a为中心为半径的圆周）
证：
设 l 的方程：z a e it , dz ie it dt
it 2 ie dt dz n 1, 2i it l za 0 e
3. 无界区域Cauchy积分公式
α l
l1
1 f ( ) f ( ) f ( z) [ d d] CR逆 z 2i l顺 z
CR 由于f(z)在无限进处连续,即任给ε>0总能找 到相应的R1,使得当 |z|> R1时有, f ( z) f () 其中 f () 有界,于是只要R> R ,则有:
i 1
n
li 逆
f ( z )dz
证明：作割线，化复连通区域为单连通区域
l A B A’ B’ l1
f ( z )dz
l
AB
l1
BA
CD
li
l2
DC
... 0
2
D C D’ C’
l f ( z )dz l f ( z )dz l f ( z )dz ... 0
dz 例2：计算 l z 2 z
解：应用复通区域Cauchy 定理：
l
1 1 1 1 f ( z )dz ( )dz ( )dz l1 z 1 l2 z 1 z z 0 2i 2i 0 0
l l1 0 l2 1
§2.3 不定积分
函数 f(z) 在单通区域 B 上解析,则沿 B 上任一路径l 的积分 的值只与起点和终点有关,与路径无关.因此,当起点z0 固定时, 这 f ( z )dz 个积分就定义了一个单值函数：
得当 z 时, f () f ( z)
F ( z z ) F ( z ) 1 z z f ( z) z [ f () f ( z )]d z z 1 z
z z
z
d
z z
F ( z z ) F ( z ) lim f ( z) z 0 z
刘维尔定理：如f(z)平面上为解析,并且是有界的,即
则f(z)必为常数
例1 ：证明
1 n 1, l包含a 1 dz l ( z a)n 0 n 1的整数, 或l不包含a 2i
解: 若回路l不包围点, 则被积函数在l 在所 在区域上是解析的,按照柯西定理,积
分值为零. l lR l包围点，应用复连通区域Cauchy 定理得： R
2i n 1 dz dz l ( z a)n lR ( z a)n 0 n 1的整数
it 2 ie dt dz i 2 i ( n 1)t n 1, n 1 e dt 0 n n int l ( z a) 0 e 0
例2 计算： I 1
1
l Re zdz, I 2 l Re zdz
1 2
y
解： I 1 xdx idy 0 0
1 f ( z) f ( ) l z dz 2i
证明： 应用复连通Cauchy定理，得
l
ε α
lε
1 f ( z) 1 f ( z) 1 f ( z ) f ( ) f ( ) dz l z dz 2i l z dz 2i l 2i z 1 f ( z ) f ( ) l z dz f () 2i 可见只要证明上式右端第一项等于零即可。估计：
B上任一分段光滑闭合曲线 l (也可以是 的边界),有 B l f ( z )dz 0
证明：
l f ( z )dz l u( x, y )dx v( x, y )dy i l v( x, y )dx u( x, y )dy
u u v v ,在 ,上连续,对上式右端实部和 , B x y x y
定理条件还可以减弱：如果函数f(z)在单通区源自文库B上解析,在闭
单通区域 B 上连续,则沿 上任一段分光滑l (也可以是 的边界), B B 有
l f ( z )dz 0
B A
推论：f(z)在 B 上解析
f ( z )dz 与积分路径无关。
2. 复连通区域Cauchy 定理： (1) 复连通区域： 有奇点的情况 (2) 区域围线正向：当观察者沿着这个方 l1 l2
lim
0
f ( z ) f () lim 2 max f ( z ) f () 0 0 z
一般写为：
1 f ( ) f ( z) l z d 2i
解析函数在曲线上的值决定了其内部的函数值。
证明方法2
L
f ( z) dz lim r 0 z a
1
或
f ( z )dz
l i 1 n
n
li
f ( z )dz f ( z )dz
l逆
f ( z )dz
i 1
li 逆
1）闭单通区域上的解析函数沿境界线积分为零。 2）闭复通区域上的解析函数沿所有内外境界线正方向积分和为零 3）复通区域的解析函数沿外境界线逆时针方向积分等于沿所有内境 界线逆时针方向积分。
z
0
l
F ( z ) z f ()d
F(z)在B上是解析的,且F’(z)= f(z),即F(z)是f(z)的一个原函数.
证明： 我们只要对B上任一点z证明F’(z)= f(z)就行了.以z为圆 心作一含于B小圆.在小圆内取 z 点z
F ( z z ) F ( z ) 1 z z