第八章 气体的一维流动

第八章
气体的一维流动
本章主要介绍气体动力学的基础知识和基本方 程，讨论可压缩气体一元定常等熵流动中各种参 数之间的关系和变化规律。 要求： 1、掌握一元定常气流的基本方程，了解气 流速度与密度的关系，理解变截面管流 中流动参数的变化规律。 2、掌握声速、马赫数的基本概念及表达式， 理解微小扰动波的传播过程和传播特征。 3、了解一元等熵气流的两种特定状态及其 参数，掌握流动参数与马赫数的关系。
马赫角为： arcsin
1 1 arcsin 41.8 Ma 1.5
l v t H cot
观察者听到飞机声的时间为：
H 2000 t cot cot 41.8 4.38 s v 510
§8−3 理想气体一元等熵流动的特征 分析气体一元等熵流动，找出流动断面间各 参数间的关系。
v2 C 代入得： 1 2 p
或

p v C 1 g 2 g
2
可压缩流体的 伯努利方程 ②
p RT
p 1 p p 由于 ① 1 1
③

c RT
还可得如下不同形式的伯努利方程：
v2 1 p C 2 1 p
2、伯努利方程
根据三个限制条件曾对欧拉运动微分方程 （理想流体运动微分方程）化简后得：
v2 gdz d 2 dp
忽略质量力(重力)，g = 0
2 dp v d 2
0
得：
dp 或 v d v 0
积分上式得：

v=0
v c， Ma 1 (亚声速)
v = c Ma = 1 （跨声速）
v>c
Ma > 1（超声速）
（4）扰动源以大于声速的速度运动， 即：v > c Ma > 1（超声速）。 扰动源将永远走在所产生的扰动之前。 马赫锥 —— 扰动波面形成的一个空间圆面。 马赫角 —— 马赫锥半顶角。 sin = c / v = 1 / Ma 在不可压缩流体中，由于声速接近无穷大， 扰动将立刻传至各处，扰动源永远不会到达扰动 波的前方。在可压缩流体中，当Ma≪1时，扰动 的传播特征与不可压缩流体相近，因此，对于低 速流体，可以按不可压缩流体来处理。
2、微小扰动在空气中的传播特征 扰动波的传播有如图所示的四种情况。 （1）扰动源 O 点静止不动，即： v = 0。 微小扰动波面是一个个不同半径的空间球面。 （2）扰动源以小于声速的速度向左作等速直线运 动，即：v c， Ma 1 (亚声速)。
扰动将始终走在扰动源的前面。
（3）扰动源的运动速度等于声速，即： v = c Ma = 1 (跨声速)。 扰动源将与它所产生的扰动同时到达同一空 间的任何位置。
－－－－－（✶）
或
v2 RT C 2 1 p
此式与不可压缩流体的伯努利方程的区别在于
RT 1
项， 该项表示单位质量气体所具有的内能。
－－－－－（✶）
c2 v2 C 1 2
上述一组同等效用，多种形式的伯努利方程的 物理意义：在一元定常等熵气体流动中，沿流束 任意断面上，单位质量气体的机械能和内能之和 保持不变。
T0 p 1 p0 1 T0 故： ( ) ( ) 或 ( ) ( ) p0 T p T
p0 T0 1 ( ) p T

0 T0 ( ) T
p
1 1
所以： p0 (1 1 Ma 2 ) 1

2
0 1 (1 Ma ) 2
综合以上声速公式的两种形式可以看出： (1) 流体密度对压强的变化率 d / dp 反映了流体的 压缩性，亦反映了声速的大小，所以声速是反映 流体压缩性大小的物理参数。 (2)声速与某气体的热力学温度 T 有关，所以声速 也是空间坐标的函数，常把声速称为当地声速。
(3)声速与气体的绝热指数 及气体常数 R 有关。 空气中的声速为：
二、气体速度与密度的关系
dp d 2 d c 由于 v dv dp d 1
即：
d
vdv v 2 dv 2 dv 2 2 Ma c c v v
由上式可以看出：
1、加速气流 (dv o) ，必然引起压强降低，气体膨 胀，密度减小。反之 (dv o) ，则压强增大。气 体压缩，密度增加，即气流沿流线（动）做加速 运动（降压气流）或减速运动（升压气流），实 质上相当于气体的膨胀或压缩过程。气体的运动 伴随着密度的变化。
”标识， 临界参数以下标 “ 如 、 T 、p 、 、 。

c v
临界参数与滞止参数的关系：
由前述流动参数与马赫数的关系式可得： 当 Ma = 1 时，则有： T0 1
T 2
0 T0 ( ) T
1 1
(
1
2
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1 1
p0 T0 1 1 1 ( ) ( ) p T 2
以滞止状态和临界状态来说明这种特征。
一、滞止状态和滞止参数 滞止状态 —— 假定在一元等熵流动中，气 体在某一断面处速度等熵地降为零，该断面的气 流状态称为滞止状态。 滞止参数 —— 滞止状态下的运动参数称为 滞止参数。
滞止参数以下标“0”标识，对应的压强、密 c0 。 T0 、 度、温度、声速分别记为： p0 、 0 、 在滞止状态下，由能量方程可得气流某一断 面的运动参数与滞止参数之间的关系如下：
无论是亚声速 ( Ma 1 ) 和超声速 ( Ma 1 )气流 都具有上述特性。
dv 2、 Ma 数不同时，速度变化率 和密度变化率 v d

的关系不同：
d
。即若为加速降压气流， 密度的减小率小于流速的增加率，若为升压减速 气流，密度的增加率小于流速的减小率。
Ma 1 时，
v p0 RT0 c pT0 1 2 1 0 1 p
2

v h h0 2 2 2 2 c0 c v －－－－－ （✶） 1 2 1
2
流动参数与马赫数之间的关系： 1 由（✶）式两边同乘以 ，可得： 2 c 2 c0 1 v2 1 2
c 1.4 287T 20.1 T m s
二、马赫数 1、马赫数的定义：气体流动速度 v 与其本身(该 介质中) 的声速 c 之比。 记为：Ma = v / c 马赫数反映了气体的可压缩性程度，是气体 可压缩性效应的一个重要度量。
气体动力学依据马赫数对可压缩气体流动进行分类: Ma 1 即 v c， 为亚声速流动； Ma 1 即 v c， 为(跨)声速流动(兼有亚 声速区和超声速区)； Ma >1 即 v > c， 为超声速流动。
1 2 1
由上述三式可见：对于一元等熵流动，只要 知道滞止参数和马赫数 Ma，则沿流束各断面上的 温度、压强和密度等参数都是可求的。 二、 最大速度状态和最大速度 气体的全部能量转化为动能，压强为零，速 度达到最大值 vmax，分别称为最大速度状态和最 大速度。
由状态方程可见：因
p

2
RT
2、微小扰动波传播速度（即声速 c）的表达 式(声速公式) 对所取的两个断面和控制体分别列连续方程 和动量方程： 由连续方程知： cAdt = ( + d )( c − dv )Adt 略去二阶微量可得： c d = dv —— () 由动量方程得： pA − p + dpA = q c − dv − c = − c A dv 整理得： A dp = c A dv dp = c dv ——— ()
c
2
1
2 c0 RT0 T0 1 2 1 Ma 所以： 2 c RT T 2
2 c
2
1
2
Ma
又由等熵关系：
p




0
p0

C
p p RT ( ) p0 0 p0 RT0
p T0 ( ) ( ) p0 T
§8−1 一元气流的基本方程和流动特性 一、理想气体一元定常流动的基本方程
1、连续方程 对于一元定常流动，连续方程为： vA = 常数 取对数得： ln vA ln ln v ln A C 微分得：
d
dv dA 0 v A
可压缩流体一元定常流动的连续方程
此式即为流速变化率与断面积变化率的关系式。
以下讨论此关系式。
1、 若 Ma 1 （亚声速流动）
d v dA 与 具有相反的符号，可见对于亚声速 v A 变截面流动，截面积增加时，流速减小，压强增
加，变化规律符合不可压缩流体的流动规律。 反之，亚声速气流做加速降压流动时，过流 断面积一定是逐渐减小的。 欲使气流加速，则必须使用渐缩管道。
2、若 Ma >1（超声速流动）
当过流断面积增加时，在超声速流动的情况下， 流速增加，压强降低；反之，超声速气流作减速升 压流动时，过流断面积一定是逐渐减小的。 欲使气流加速，则必须采用渐扩管道。
dA < 0
dA > 0
3、Ma =1 （跨声速流动） dA= 0， 过流断面积 无变化。 将气流从亚声速向超声速转变，或者相反，用 单纯的收缩管或单纯的扩张管都是无法实现的。
dp
v2 C 2
1 1
对于做等熵流动的理想气体，有：
p

则：
C （绝热方程式） 即 p C
1
dp dp p1 C C
1
1

1 1 dp p p p 1 p 1 1 1
采用拉瓦尔喷管可获得超声速气流。拉瓦尔喷 管由收缩管段、喉部、及扩张管段组成。
§8−2 声速和马赫数（两个重要参数） 压缩性的大小常常以声速判断，压缩性效应 的度量又往往用马赫数。
一、声速 声速 —— 微小扰动在气体（介质）中的传 播速度。以字母 c 表示。 1、微小扰动波的传播过程 微小扰动波的传播方向与流体质点的运动 方向是一致的，但 c >> dv。
由上述两()式消去dv 得： dp cc d c 2 d
则:
dp c d

声速公式(方程式)
微小扰动波的传播过程是一个绝热、可逆的 p 等熵过程: C ( 常数 ) 或 : p C dp p 又由理想气体 微分上式得： d 状态方程： p RT dp 得： RT d 代入声速公式得： c RT 声速公式的又一种形式
dv v
d 时， Ma 1

dv v
这种变化率关系的不同，将导致如下亚声速和超声 速气流在速度与流道断面积关系上的本质差异。 三、 气流速度与流道断面积的关系 d dv dA 由连续性方程 0 v A
dA d dv dv dv 2 dv 2 ( ) Ma ( Ma 1) 得 A v v v v
例题：飞机在距地面高度为H = 2000 m 的上空，以 v = 1836 km/h 的速度飞行，空气的温度为T = 15℃， 试求：从飞机飞过观察者正上方，到观察者听到飞 机声要多少时间？ 解：当地声速为：
c RT 1.4 287 27315 340m / s
v 1836103 / 3600 马赫数为： Ma 1.5 1 c 340
T 0 此时 p 0 ，
即 h 0 ，且声速 c 0
2 2 max
v c v 由能量方程可知： 1 2 2
或者：
v
2 max
c 2 1
2 0
得：v max
c0
2 1
三、临界状态和临界参数 临界断面 —— Ma =1的喉部断面 ( 此断面处 v c )。 临界状态——临界断面上的气流状态称为临界状态。 临界参数——临界断面上的气流参数称为临界参数。