任意时间尺度上的流域水热耦合平衡方程的推导及验证

似为
但随着计算时段的变长 这种近似带来的误差相应变大 因此 对于
计算较大时间尺度上的腾发量 必须离散成若干小的计算时段 这样不仅需要较大的计算量 而且对
和 的关系刻画不够简洁直观
于 年提出了对于多年平均而言 可以表示为 和
的函数 ?
?即
假设 描述
假设有许多不同形式的数学表达式
并被
有效地用于流域的水量和能量平衡研究中
还包含了 的
影响 在一定时间尺度上 当 一定时
随着供水量的增加而增大 当供水量一定时
随着 的增加而减小
对于多年平均而言 如果没有灌溉和跨区域调水 为 总的可利用水量表示为
与相
比 很小 忽略其影响 同时由上文的分析可知只要不是很小的时间尺度 也可以忽略 由式 得
到
?
?
? 进一步变形可得
??
?
?
这是一个描述
根据水热耦合平衡公式计算实际腾发量 第 时段的腾发量 为
式中 下标 表示第 时段 含水量为
?
表示 时段初始时刻的土壤含水量 由水量平衡得到 时段末的土壤
式中 为 时段的地下水补给量
联立式 和 连续计算实际腾发量 由于地下水埋深较深 忽略年尺度上的土壤水与地下
水的交换量 个方程 个未知数 和 故可连续模拟得到各年的实际腾发量 模拟值 和土壤含水
土壤可供水量定义为一定深度的土壤平均含水量 该深度被称为活性土壤层深度
或者根层深度 记为 本文取
地下水补给量 由水量平衡计算得到 即
式中
和 分别为灌溉水量 降雨量和土壤水蓄变量 单位 均由观测得到
叶面积指数 大约 周观测一次 中间采用线性插值 再求得各月 各旬的平均值
典型流域数据及其分析 典型流域的资料包括
其中 为作物系数 反映作物生长状况
为土壤含水量的函数 此公式在较小的时间 比如日 小时 尺度上有着较好的应用 分布式水
文模型中通常也采用此公式 严格而言 时段内的实际腾发量应该表示为积分的形式
பைடு நூலகம்
其中
土壤含火量 与 潜在腾发量 均为时间的函数 变形得到
其中
应该 是计算时段上的加权平均 确定比较困难 在较小的计算时段上 通常近
站采用 年的数据进行参数率
定
年
年的数据验证模型 由于数据序列较短 因此只做旬尺度上的分析 结果见表 和图
表中
代表置信区间为 的 统计量值
表 表明 位山站月 旬时间尺度上的计算值与实测值相对误差仅为 即
和 日时
间尺度上为
站旬时间尺度上的相对误差为
以上结果均能通过
的 检验
同时
和
都很小 以上结果表明 模型具有相当高的可信度
图 位山站 月时间尺度 旬时间尺度 模拟值与观测值的比较
实验站 位山站
站
时间尺度
日尺度 旬尺度 月尺度 旬尺度
图 位山站日时间尺度上 模拟值与观测值的比较
表 实际腾发计算结果检验的各项统计指标
样本容量 平均值?
?
?
采用典型流域的水量平衡验证 对各流域分别利用前 年的
数据拟合参数 用此后的数据进行模型验证 统计指标见表 同时图
假设是
成立的 而对于日或者更小的时间尺度
假设是适用的
模型的应用分析 应用该方程模拟实际腾发量时 对于地下水埋深较大的区域 比如中国的西北
华北及黄土高原等 土壤水与地下水的交换量可以忽略 即
当地下水埋深较浅时 可以表示
为土壤层含水量的函数 具体形式如
?
其中 和 分别是土壤凋萎含
水量和土壤临界含水量 和 为经验常数
给出了流域实际腾发量模拟值和观测值的过程对比
表 表明 各流域实际腾发的计算值和观测值有很好的相关性
除泾河为 外 其他都在 以上 并且均能通过
的
检验 与实际腾发的平均值相比 和
也都很小 图 表明
模型模拟的实际腾发量的年过程与观测值吻合较好 不过存在一定的
系统偏差 模拟值的多年平均值比观测值的多年平均值约大 见表
和 个方程 个未知数 对于较大的时间尺度 的变化可以忽略 剩下 个未知数 可以求解 对
于像干旱区半干旱区的灌区这种径流可以忽略的地区 即 可以忽略 也只剩下 个未知数 可以求
解 对于一般情况 可以通过建立 与
或 的函数关系作为补充方程使得方程组闭合
具体数学表达式有待进一步研究 这里提到的连续模拟与基于
可能原因是计算中忽略了土壤水的深层渗漏而使得模拟采用的
可供水量 比实际的偏大
图 模拟值
站旬时间尺度上
与观测值
的比较
流域名域
沁河 祖厉河 泾河 北洛河
验证期 长度? 年
表 各流域实际腾发计算结果检验的各项统计指标
模拟值的 平均值?
观测值的 平均值?
?
?
图 各流域年实际腾发量
讨论
参数 与植被的关系 参数 反映了流域的下垫面特征 对于特定的区域 流域 下垫面条件变
?
?
?
?
因为当
或者
时
所以式 解的形式是
的函数 将其代入式 得到
?
?
对式 积分得到
?
?
?
? 于是有
?
?
因为当
时
所以
当
时
因此
又得到
由此 式 变为
?
?
对于较小的时间尺度
时可能
那么由式 只能得到
表示某个 和
当
时
?
其中 的值可以由实验确定
水热耦合平衡方程的验证
数据及方法 采用的验证数据包括
个实验站的通量数据 位于我国山东省位山引黄灌区的
假设的方法不同之处在于 这
里的计算时段可长可短 而
假设中通常是较短的时间尺度
结论
本文通过量纲分析和数学推导得到可应用于任意时间尺度的水热耦合平衡方程的解析表达式 利
用观测数据验证表明该方程能够较好地估算不同时间尺度上的实际腾发量 回归分析发现 该方程中
的唯一参数 与叶面积指数 之间有很好的线性关系 位山站旬尺度上的回归方程为
同时 对确定性系数
进行 检验
采用通量观测数据的验证 作物生长具有较强的季节性变化 因此对不同的季节分别进行参数率
定和验证 其中在月尺度上按月进行参数率定和验证 在旬尺度和日尺度上都按旬进行参数率定但分
别按旬和日进行验证 位山站采用 年的资料率定参数
年的资料进行验证 模拟结果和观测
值的对比见表 图 和图 未给出日时间尺度的全过程
进一步分析可知
假设是在较多的时间尺度上土壤可供水量与降水量相比
可忽略而得到的对水热耦合平衡关系的近似 而
假设是在较小的时间尺度上对水热耦合平衡关
系中实际腾发量和潜在腾发量的关系所作的线性近似
参考文献
蒸发 见
张建云 李纪生等 译 水文学手册
北京 科学出版社
贾仰文 王浩 王建华 等 黄河流域分布式水文模型开发和验证
正比假设一致
关键词 水热耦合平衡
假设
假设 实际腾发 时间尺度 量纲分析
中图分类号
文献标识码
研究背景
蒸腾蒸发 简称腾发 包括作物蒸腾和土壤蒸发 是水循环和能量循环的关键环节 研究腾发对于深
入认识水文循环机理 正确评估和科学管理水资源均具有十分重要的意义 目前 流域实际腾发量的计
算主要采用基于
假设 的方法 即
年 月 日 按 ? 次记录
站
年各年 月 按 ? 次记录 数据处理及分析主要包括
潜在腾发量 由
公式 计算 其中净辐射及土壤热通量为观测数据 先由的
观测数据得到各要素的日平均值 计算潜在腾发量日值 再统计得到旬 月值
本文中将涡度相关法的计算结果作为实际腾发量的观测值 根据观测数据得到每
的
实际腾发量 然后统计得到日 旬和月值
欧阳竹 罗毅 盖广明 等 一个预测冬小麦根系层储水量的概念模型 地理科学进展
责任编辑 吕斌秀
的常数
根据量纲分析的 定理及量纲和谐原理 式 右边的三个物理量中只有一个量纲独立量 所以存
在两个无量纲量可以把式 改写为
?
?
其中
和
分别表示两个以 为自变量的函数 这两个无量纲量分别为
?和
?
对式 求偏导 得
当 二阶连续可导时 对式 求偏导的次序可交换 则
得到方程
该方程有解的充分条件是以下 方程有解
和
可以验证
? 自然科学学报
傅抱璞 论陆面蒸发的计算 大气科学
? 雷慧闽 杨大文 沈彦俊 等 黄河灌区水热通量的观测与分析 清华大学学报 陈发祖 微气象学研究的若干进展 兼评涡度相关技术的作用 中国农业小气候研究进展 象出版社
北京 气
孙福宝 杨大文 刘志雨 等 基于
假设的黄河流域水热耦合平衡规律研究 水利学报
王菱 倪建华 以黄淮海为例研究农田实际蒸散量 气象学报 ? ?
量
进行空间插值时 气温插值采用高程修正的距离方向权重法 其他气象要素的采用距离方向权重
法 忽略年际间流域蓄变量 把年降雨量和年径流量的差值作为实际腾发量的 观测值 用以检验模
型 这样会导致一定误差 但由于没有流域的实际腾发观测 只能采用权宜之计
评价指标 评价指标选用了平均绝对偏差
平均方差的均方根
确定性系数
土壤含水量是水文循环中的一个很重要的物理量 应用该模型模拟时 初始时刻土壤含水量 需
要给定 某一时段 比如说月 的 由式 根据
及 计算得到 如果采用
假设 那
么一般说来除了知道初始时刻的土壤含水量外 还需要离散为更小的计算时段 比如日
连续模拟腾发过程和土壤含水量变化过程时 联立式 和 对于第 时段 未知量有
年月 文章编号
水利学报
第 卷第期
任意时间尺度上的流域水热耦合平衡方程的推导及验证
杨汉波 杨大文 雷志栋 雷慧闽
清华大学 水利水电工程系 水沙科学与水利水电工程国家重点实验室 北京
摘要 本文通过量纲分析和数学推导得到能用于任意时间尺度上的水热耦合平衡方程 该方程含有唯一参数 利
用我国位山实验站和俄罗斯西伯利亚
实验站的通量观测数据进行的验证表明 该公式能很好地模拟月 旬
和日时间尺度上的实际腾发量 利用黄河流域 个子流域的水文气象数据进行的验证表明 该公式能很好地模拟
年尺度上的实际腾发量 位山站的数据分析还表明该方程中的唯一参数与叶面积指数有较好的线性关系 可以
证明 该方程在长的时间尺度上与
假设一致 在短的时间尺度上与
化主要是植被的变化 由于只有位山站有叶面积指数 的观测资料 并且数据系列较短 因此只对
位山站在旬尺度上分析 与 的关系 得到线性回归方程
检验表
明相关性达到
的显著性水平
与
假设和
假设的联系 为了研究实际腾发量和潜在腾发量的关系 将式 变形
得到
?
记
?
?
?
?
相当于
中的
包括了土壤水分和作物生长状况的影响 不同点在于
假设的方程
由半经验方法
用经验的方法
等用解析
的方法 分别得到了相同形式的形式
通常情况下 随着时间尺度的变小而变小 小到可以忽略时 也就意味着
与 无关 此
时实际腾发量和潜在腾发量表现为线性关系 即
假设 随着时间尺度的变大 大到不能忽略
时 这种正比关系被破坏 即
假设不再适用 一般认为在多年 或者年 尺度上
然而
假设不能用于较小的时间尺度 比如说
在月尺度上
时 可能不为
建立能够描述不同时间尺度上的流域水热耦合平衡关系的方程 对研究流域腾发及水循环规律具
有重要意义 本文旨在根据腾发发生的条件并结合数学物理方法推导任意时间尺度上的水热耦合平衡
的解析表达式 建立对不同时间尺度上的实际腾发量的统一数学表达
收稿日期
年的逐日气象数据 个流域对应
的出口水文站自建站至 年的逐月径流资料 细节参见文献
以及 分辨率的数字高程资料
美国联邦地质调查局
的土地利用数据库 版 数据处理主要步骤
将相关气象站的气象要素进行空间插值 得到 分辨率的全流域空间分布信息
由
公式 计算出每个网格的潜在腾发量
由每个网格统计得到流域的面平均降水量 和潜在腾发量 由径流资料计算年径流深
土壤等条件的差异会带来 的差异 时段内 包括该时段的降雨量 外部供水量 与时段初始时
刻的土壤可供水量 本文中近似认为是初始时刻土壤的含水量 即
式 分别对 和 求偏导 得到
?
?
其中
和
为
和 的函数 同时 给出方程的零阶边界条件
和一阶边界条件 一阶导数形式
?
或
?
或
?
?
式中 趋于无穷表示充分大 对于很小的时间尺度 式 中的第 式可能不是等于 而是一个小于
是方程 的解
分别是 的函数 把式
代入式 可得
对于式 可以分为两种情况
有
其中 是常数 当
且
时
当
对于
相矛盾
时有 时 可以得到
这与边界条件 这与边界条件
对于 相矛盾
因为 和 是相互独立的变量 由偏微分方程的理论可知 式 等号两边应该等于某一常数 即
积分可得
?
其中 和 为积分常数 将式 ?
代入式 ?
? 可以得到
基金项目 国家自然科学基金项目
国家重点基础研究计划 项目
作者简介 杨汉波
四川营山人 博士生 主要从事水文水资源研究
水热耦合平衡方程的推导
腾发的发生条件包括水分和能量供应 时段内的实际腾发量 是该时段的可用水量 和可用能 量 一般采用潜在腾发量 表示 的函数 即
式中等号右边的 间接反映了植被状况和土壤性质等条件 在一定的水量和能量供应条件下 植被和
生态水文综合实验站
和位于俄罗斯西伯利亚
的落叶松林区实验站
个典型流域的长系列水文气象数据 包括黄河流域的沁河 祖厉河 泾河和北
洛河流域
通量实验站的数据及其分析 位山灌区地势平坦
以上的土地为农田 忽略其产流
林区地势起伏很小 主要树种为落叶松 植被茂密 也忽略其产流
本研究采用的数据 位山站从 年 月 日