小波分析理论及其应用

上海大学2010～2011学年冬季学期研究生课程

课程名称：信息采集与处理技术课程编号：091102910 论文题目: 小波分析理论及其应用

研究生姓名: 刘金鼎学号: ********

论文评语:

成绩: 任课教师: 昝鹏

评阅日期:

小波分析理论及其应用

刘金鼎

（上海大学机电工程与自动化学院，上海 200072）

摘要：小波分析的理论与方法是从Fourier分析的思想方法演变而来的。就象Fourier分析分为积分Fourier变换和Fourier级数一样，小波分析也分为(积分)小波变换和小波级数两部分，(积分)小波变换的主体是连续小波变换，多尺度小波变换和s－进小波变换；而小波级数的主体部分是关于小波框架的理论。小波分析理论深刻，应用广泛，并且仍在迅速发展之中。本文作者作为初学者，单单就（积分）小波变换这一理论中比较基本和初步的东西所作的一点归纳和整理，介绍了小波变换的定义及特点，以及多分辨率分析的问题，最后以一些图像去噪应用来形象说明小波分析的作用。

关键词：傅里叶分析；小波分析；多分辨率

PXI Bus

LIU Jin-ding

(School of Mechatronics Engineering & Automation, Shanghai University, Shanghai 200072, China)

Abstract: The theory and methods of wavelet analysis comes from Fourier analysis .Just as Fourier

analysis is divided into Fourier transform and Fourier series, wavelet analysis is divided into the wavelet transform and wavelet series. The main body of the wavelet transform is the continuous wavelet

transform, multi-scale wavelet transform and s-dyadic wavelet transform, while the main part of the

wavelet series is wavelet frame. Wavelet analysis is a kind of profound theory, which is used widely and develops rapidly. The author of the paper is a beginner of wavelet theory; he just summarized and

organized some fundamental theory of wavelet analysis. The paper introduced the definition and

characteristics of wavelet analysis, and then talked about the theory of multi- resolution ratio. In the end,

a few of image denoising abstract applications were used to explain the function of wavelet analysis

vividly.

Key words: Fourier analysis; wavelet analysis; multi- resolution ratio

1 引言

1.1 问题的提出

Fourier变换只能告诉我们信号尺度的范围，而无法给出信号的结构以及它蕴含的大小不同尺度的串级过程，即Fourier变换在时空域中没有任何分辨率。此外，傅立叶分析无法解决信号奇异性的位置。20世纪80年代初由法国油气工程师Morlet提出的小波分析[1]（wavelet Analysis，又称子波分析)能成功地解决这些问题。因此小波分析是Fourier分析发展史上的一个里程碑。

小波分析一面世，立刻成为国际研究热点。目前小波分析在信号处理、图像压缩、语音编码、模式识别、地震勘探、大气科学以及许多非线性科学领域内取得了大量的研究成果。小波分析之所以广泛得到应用在于:它具有时域和频域同时具有良好的局部性质；能将信号(时间序列)分解成交织在一起的多尺度成分，从而能够不断地聚集到所研究对象的任意微小细节；同时具有数学上严格意义的突变点诊断能力。

1.2 小波分析的形成及发展

小波分析是一调和分析方法[2,3]，是Fourier分析发展史上的一个里程碑式的进展，被人们誉为数学“显

微镜”。小波分析理论及其方法的形成和应用在科学技术界引起一场轩然大波并成蔓延之势。 小波理论形成经历了三个阶段[2]:

(1)Fourier 变换(FT)阶段：

在信号分析中，我们对信号的基本刻化，往往采取时域和频域两种基本形式。时域分析无法得到关于信号变化的更多信息(如采样、周期等)。1822年Fourier 提出的频域分析法—Fourier 变换（()

ωF ），能揭示信号f(t)的能量在各个频率成分中的分布情况。

设信号为()

t f ，其Fourier 变换为：

()()dt e t f F t i ⎰

∞

+∞

--=

ωπ

ω21

许多时域上看不清的问题，通过()

ωF 就显得清晰了。Fourier 变换将信号的时域特征和频率特征联系起来，能分别从时域和频域上观察信号，但不能把二者有机结合起来。另外，Fourier 变换是整个时间域内的积分，识别出的频率在什么时候产生并不知道，因此不能反映某一局部时间内信号的频谱特性，即在时间域上没有任何分辨率。这样在信号分析中就面临一对矛盾：时域和频域的局部化矛盾。

Fourier 变换对具有突变的信号，如地震波、暴雨、洪水等的分析带来诸多不便和困难。这就促使寻求一种信号时频局部分析新方法。

(2)短时Fourier 变换(SFT)阶段

1946年Gabor 提出SFT 。短时Fourier 变换又称加窗Fourier 变换，由Gabor1946年提出。其基本思想是:把信号划分成许多小的时间间隔，用Fourier 变换分析每一个时间间隔，以确定该间隔存在的频率，以达到时频局部化之目的。短时Fourier 变换的表达式为：

()()()dt e t g t f f F t i g ωτπ

τω-∞

+∞

-⎰

-=

21,

SFT 能实现信号时频局部化分析，但窗函数一选定，其窗口的大小和形状固定不变，其分辨率是有限

的。由于频率与周期成反比，反映信号高频成分需要较高的时间分辨率(窄的时间窗)，反映低频成分需要较低的时间分辨率(宽的时间窗)。因此，加窗Fourier 变换对研究高频率信号和低频率信号都不是有效的。

(3)小波分析阶段

小波分析是一种窗口的大小固定、形状可变的时频局部化信号分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低频率分辨率。

小波在继承SFT 的基础上，Morlet 提出了小波变换法(WT)。WT 可研究信号在各个时刻或各空间位置在不同尺度上的演变情况，实现了时频局部化分析。小波理论的思想源于信号分析的伸缩与平移。1980年由Morlet 首创。1984年他与Grossman 共同提出连续小波变换的几何体系，成为小波分析发展的里程碑。1985年，法国数学家Meyer 创造性构造了规范正交基，提出了多分辨率概念和框架理论。小波热由此兴起。1986年Battle 和Lemarie 记又分别独立地给出了具有指数衰减的小波函数；同年，Mallat 创造性地发展了多分辨分析概念和理论并提出子决速小波变换算法—Mallat 算法。Daubechies(1988)构造了具有有限紧支集的正交小波基，Chui 和王建忠(1990)构造了基于样条函数的正交小波。至此，小波分析的系统理论得以建

立。最近有人又提出了小波包理论，它是小波理论的进一步发展。

2 小波变换的基本理论

小波即小区域的波，是一种特殊的长度有限、平均值为零的波形。它有两个特点：一是“小”，即在