第二章-刚体的位置和姿态

第二部分运动学

运动学是研究物体作机械运动的几何性质，而不涉及引起运动的原因，也就是说，不涉及物体的受力。

物体的机械运动是指物体的空间位置随时间的变化，这种变化具有相对性，即对于不同的参照物这种变化具有不同的描述，因此，选取参考系或称参考基是运动学分析首先要解决的问题。其次，要研究物体及物体系统（刚体及刚体系）的位置、速度和加速度的变化以及它们在构件及机构中的传递，它们的数学模型如何表达，对这些变量如何分析和计算等。

我们仅仅研究刚体作平面运动的运动学。

第二章刚体的位置和姿态

运动学问题是研究物体或物体系统在空间的运动情况，即它或它们的空间形态如何随时间变化，以及它们形态之间的相互关系等等。为此，我们首先要解决的是，对它或它们的空间形态如何描述的问题。在《大学物理》课程里，我们已经学习了点的运动，但是物体的运动远比点的运动复杂，因为点只有位置而没有姿态，一个物体可以看作由无数的点组成，在运动过程中各个点的运动一般情况下是不一样的，也就是说，一个物体的运动不能视为一个点的运动。体育比赛之所以能够吸引数以千万计的目光，是因为大家不仅将运动员在比赛场地的状态视为一个点的运动，更主要的是欣赏他们力量型的或优美型的姿态。工程结构的运动状态更是如此，图2-0-1是曲柄连

杆机构的示意图，我们对曲柄施加一力偶矩使之绕0点转动时，连杆和滑块将产生运

动，显然，滑块的运动状态只能是沿滑槽移动，其上各点的运动是一样的，但是，连杆的运动就比滑块复杂，其上各点的运动不一样。因此我们需要寻找一种方法以描述这些点的位置以及它们相互的位置关系。为了从点的位置的描述过渡到刚体的形态的描述，我们将采用与《大学物理》中不同的方法。

图2-0-1 曲柄连杆机构

第一节点的空间运动及其描述

（一）点的空间位置

首先建立一个惯性参考基，我们用矢径r A表示点A在惯性参考基中的空间位置, 该矢量从参考基基点0出发到达点A,方向指向A

如图2-1-1所示。矢径r A可以用参考基的基矢量表示为：

■ ■ ■

「A =心%k （2-1-1）

其中「Ax、r Ay和r Az分别为该矢径在X、y、Z轴的三个分

量。我们已经知道，矢径r A的矩阵表示为:

(2-1-2 )

（二）点的速度和加速度

1.点的速度

根据速度的定义，点A的速度是其位置对时间的一次微分，即：

—dr —一一

V A 「A = r Ax* r Ay j「Az k（2-1-3 ）

dt

式中，考虑到惯性参考系是固定坐标系，不随时间变化，因此，三个坐标轴的单位矢

量对时间的微分等于零。上式同样可以用矩阵表示为:

(2-1-4 )

或者记为:

V A =〕V AX V Ay V AZ

(2-1-5 ) 2.点的加速度

将速度对时间再次微分可以得到点A的加速度:

a A =「A = r

Ax i

r Ay j

(2-1-6 )

写作矩阵形式为：

a A

■ ■ * ■ ■

=r A = r Ax

「Ay r Az T

(2-1-7 )

或者记为：

V AZ

T

a A -r A = V

Ax

V Ay

(2-1-8 )

=〕

r

Ax

r Ay r Az T

上面各式中，惯性系坐标轴的单位矢量对时间的微分同样为零。

[例2-1-1] 细杆OA 绕O 轴以半=国t 的规律运动，3为常量，该细杆上套有一小环

其中，M 点的速度沿x 轴和y 轴的分量分别为:

因此，M 点的速度大小为:

M 点的加速度用矩阵表示为:

a M =r M 「-4r 2 cos2 :

-4r :2

sin2

o T

(5)

M 小环同时又套在半径为 r 的固定圆环上，如图

2-1-2 ，求小环的速度和加速度。

［解］:

如图，以0为原点建立惯性坐标系, M 点的

位置为

r M =(rcos2® r sin 2®

0 T

(1)

M 点的速度用矩阵表示为:

V

M - r M

--2r sin2 ： 2r cos2 = 2r ：

「T 「sin2「 cos2 :

=〔 sin 2

，cos2 : 0T

o T

(2)

V MX 二—2r ' sin 2' ,

v My

=2r ■ cos2 :

(3)

V M =

2 2

Mx ' V My = 2r '

(4)

A

x

图 2-1-2

A

O 1

6

这里，由于丄.二常量， 0

M点的加速度沿x轴和y轴的分量分别为：

2 2

a Mx = 一4「cos2 , a My =—4r si n2 （6）

因此，M点的加速度大小为:

(7)此时，如果将M点的加速度分别向M点在圆周的切向和法向投影，可得:

2

a M =°，a Mn=4r「

第二节广义坐标和自由度(8)

a M 2

Mx 'a My

（一）广义坐标的概念

为了进一步讨论物体的位置和姿态的描述，需要引进广义坐标的概念。我们已经

习惯于用直角坐标描写一个点的位置，如图2-2-1 （a）,点M在xoy坐标平面内（也称

基平面）的位置由其坐标值x和y唯一确定。但是，这种描述是否就是唯一的呢？显

然不是，比如，可以采用极坐标描述，见图（b）。实际上还可以由其他的描述，图（c）

中用面积A和角度「确定点的位置等等。由此可见，确定一个点的位置的一组参数不是唯一的。为此，我们引入广义坐标的概念：如果存在一组相互独立的参数q i, q2,…,

中，只要他们能够确定点的位置，不管这些参数的几何意义如何，这一组参数就称为这

坐标。一个点是如此，一个物体也是如此。

个点的广义坐标。比如上面的例子中, (x,y), (r,;:)（A, 「）等都是M点的广义

(a)

图2-2-1

因此，广义坐标可以写作下面的通式:

A 工仃q1,q2； ,q n,t(2-1-1 )

上式中，q1, q2,…，q n,为i点的广义坐标，时间t为参变量。将上式对时间求导,

即得到i点的速度为：

V i n .rv r

亠p⑷’丄印

=r i -q j - (2-2-2 )

其中，q j j =1,2，…，n相应地称为广义速度。如果i点的位置描述函数中不显含时

(b)