吉林大学本科运筹学课件-线性规划与单纯形法 (1)

约束条件
Constraints
怎样辨别一个模型是线性规划模型？ 其特征是： （1）问题的目标函数是多个决策变量的线性函数， 通常是求最大值或最小值； （2）问题的约束条件是一组多个决策变量的线性不 等式或等式。
线性规划问题的数学模型
3. 建模条件 (1) 优化条件：问题所要达到的目标能用线型函数描述，且 能够用极值 （max 或 min）来表示； (2) 限定条件：达到目标受到一定的限制，且这些限制能够 用决策变量的 线性等式或线性不等式表示； (3) 选择条件：有多种可选择的方案供决策者选择，以便找 出最优方案。
线性规划问题的数学模型
4. 建模步骤
(1) 确定决策变量：即需要我们作出决策或选择的量。一般 情况下，题目问什么就设什么为决策变量；
(2) 找出所有限定条件：即决策变量受到的所有的约束； (3) 写出目标函数：即问题所要达到的目标，并明确是max 还是 min。
线性规划问题的数学模型
5. 线性规划数学模型的一般形式
线性规划问题的数学模型
例1.8 将线性规划问题化为标准型
m in Z -x1 2 x2 3 x1 8 x2 5 x1 3 x2 4 x 0, x 无约束 2 1
解：
m ax Z x1 2(x3 x4 ) 3 x1 8(x3 x4 ) x5 5 x1 3(x3 x4 ) x6 4 x ,x ,x ,x ,x 0 1 3 4 5 6
线性规划问题的数学模型
（2）如何化标准形式 目标函数的转换 (-1)，可化为求极大值问题。 如果是求极小值即minz c j x j ，则可将目标函数乘以 即 变量的变换 若存在取值无约束的变量 x j ，可令 x j xj xj 其中：xj , xj 0
maxz z c j x j
也就是：令 z z ，可得到上式。
线性规划问题的数学模型
约束方程的转换：由不等式转换为等式。
a x
ij
j
bi
a
ij
x j x n i bi
称为松弛变量
x n i 0
a
ij
x j bi
a
ij
x j x n i bi
称为剩余变量
x n i 0
线性规划问题的数学模型
例1.1 如图所示，如何截取x使铁皮所围成的容积最 大？ x
v a 2 x x
2
a
dv 0 dx
2(a 2 x ) x (2) (a 2 x )2 0
a x 6
线性规划问题的数学模型
例1.2 某厂生产两种产品， 下表给出了单位产品所需资 源及单位产品利润
项目 设备 A（h） 设备 B（h） 调试工序（h） 利润（元） Ⅰ 0 6 1 2 Ⅱ 5 2 1 1 每天可用能力 15 24 5
解： 1.决策变量：设产品I、II的产量
分别为 x1、x2
2.目标函数：设总利润为z，则有： max z = 2 x1 + x2 3.约束条件： 5x2 ≤ 15 6x1+ 2x2 ≤ 24 x1+ x2 ≤ 5 x1， x2≥0
解：
1.决策变量：设四种原料的使用
量分别为：x1、x2 、x3 、x4
2.目标函数：设总成本为z min z = 5 x1 + 6 x2 + 7 x3 + 8 x4 3.约束条件：
x1 + 2x2 + x3 + x4 ≥160 2x1 +4 x3 +2 x4 ＝200 ≤180
要求：生产A种药物至少160 单位；B种药物恰好200单位， C种药物不超过180单位，且 使原料总成本最小。
其中： C (c1 c 2 c n )
a11 a1 n A a m 1 a mn
x1 X xn
b1 B bm
线性规划问题的数学模型
6. 线性规划问题的标准形式
其中： C (c1 c 2 c n )
x1 X xn
a1 j Pj a mj
b1 B bm
线性规划问题的数学模型
矩阵形式：
max(min) Z CX AX ( ) B X 0
2x1 + 2x2 ≤ 12
A 2
B 1
C 4
D 0
利润 （元）
Ⅰ
2
Ⅱ
有效台时
2
12
2
8
0
16
4
12
3
x1 + 2x2 ≤ 8
4x1 ≤ 16 4x2 ≤ 12 x1 ≥ 0 , x2 ≥ 0
线性规划问题的数学模型
例1.4 某厂生产三种药物， 这些药物可以从四种不同的 原料中提取。下表给出了单 位原料可提取的药物量
解:（１）因为x3无符号要求 ，即x3取正值也可取负值，标准 型中要求变量非负，所以
0 x3 ，且 x , x x 用 x 3 3 3 3 替换
线性规划问题的数学模型
(2) 第一个约束条件是“≤”号，在“≤”左端加入松驰变量x4， x4≥0,化为等式； (3) 第二个约束条件是“≥”号，在“≥”左端减去剩余变量x5， x5≥0；
3x1 ＋x2 +x3 +2 x4
x1、x2 、x3 、x4 ≥0
线性规划问题的数学模型
例1.5 某航运局现有船只种类、数量以及计划期内各条航 线的货运量、货运成本如下表所示：
航线号 船队 类型 1 1 2 3 2 4 1 1 2 编队形式 拖轮 1 A型 驳船 2 — 2 — B型 驳船 — 4 4 4 货运成本 （千元／队） 36 36 72 27 货运量 （千吨） 25 20 40 20
线性规划问题的数学模型
例1.9 将线性规划问题化为标准型
Min f= -3 x1 + 5 x2 + 8 x3 - 7 x4 s.t. 2 x1 - 3 x2 + 5 x3 + 6 x4 ≤ 28 4 x1 + 2 x2 + 3 x3 - 9 x4 ≥ 39 6 x2 + 2 x3 + 3 x4 ≤ - 58 x1 , x3 , x4 ≥ 0； x2无约束 解： Max z = 3x1–5x2’+5x2”–8x3 +7x4 s.t. 2x1–3x2’+3x2”+5x3+6x4+x5= 28 4x1+2x2’-2x2”+3x3-9x4-x6= 39 -6x2’+6x2”-2x3-3x4-x7 = 58 x1 ,x2’,x2”,x3 ,x4 ,x5 ,x6 ,x7 ≥ 0
问：应如何安排生产计划，才 能使总利润最大？
线性规划问题的数学模型
例1.3 已知资料如下表所示， 问如何安排生产才能使利润 最大？或如何考虑利润大， 产品好销。
设备 产 品
解： 1.决策变量：设产品I、II的产量 分别为 x1、x2 2.目标函数：设总利润为z，则 有： max z = 2 x1 + 3x2 3.约束条件：
船只种类 拖 轮
船只数
30
航线号
1 2
合同货运量
200 400
A型驳船
B型驳船
34
52
问：应如何编队，才能既完成合同任务，又使总货运成本为最小？
线性规划问题的数学模型
解： 设：xj为第j号类型船队的队数（j = 1，2，3，4）， z 为总货运成本 则： min z = 36x1 + 36x2 + 72x3 + 27x4
(4) 第3个约束方程右端常数项为-5，方程两边同乘以(-1),将右 端常数项化为正数；
(5) 目标函数是最小值，为了化为求最大值，令z′=-z,得到max z′=-z，即当z达到最小值时z′达到最大值，反之亦然;
线性规划问题的数学模型
标准形式如下：
max Z 2 x1 x 2 3( x 3 x 3 ) 0 x4 0 x5 7 5 x1 x 2 ( x 3 x3 ) x4 ) x x5 2 x1 x 2 ( x 3 3 ) x 5 3 3 5 x1 x 2 2( x 3 , x 3 , x4 , x5 0 x1 , x 2 , x
常量 bi＜0 的变换:约束方程两边乘以（－1）
线性规划问题的数学模型
例1.6 将下列线性规划问题化为标准形式
min Z 2 x 1 x 2 3 x 3 5 x1 x 2 x 3 7 x1 x 2 4 x 3 2 3 x 1 x 2 2 x 3 5 x 1 , x 2 0, x 3 无 约 束
x1 + x2 + 2x3 + x4 ≤ 30 2x1 + 2x3 ≤ 34 4x2 + 4x3 + 4x4 ≤ 52 25x1+20x2 ＝200 40x3+20x4 ＝400 xj ≥ 0 （ j = 1,2,3,4）
线性规划问题的数学模型
2. 线性规划的数学模型由三个要素构成 决策变量 目标函数 Decision variables Objective function
简写为： max(min) Z
c x
j 1 j
n
j
来自百度文库a
j 1
n
ij
x j ( ) bi
(i 1 2 m ) (j 1 2 n)
xj 0
线性规划问题的数学模型
向量形式： m ax (min) z CX
p j x j ( ) B X 0
线性规划问题的数学模型
例1.7 将下列线性规划问题化为标准形式
m i nZ 2 x1 x 2 3 x 3 5 x1 x 2 x 3 7 x1 x 2 4 x 3 2 3 x1 x 2 2 x 3 5 x1 , x 2 0, x 3 为无约束（无非负限制）
运 筹 帷 幄 之 中
第一章
线性规划及单纯形法
决 胜 千 里 之
Linear Programming
外
Chapter1 线性规划
(Linear Programming)
本章主要内容：
LP的数学模型 图解法
单纯形法
单纯形法的进一步讨论－人工变量法 LP模型的应用
线性规划问题的数学模型
1. 规划问题 生产和经营管理中经常提出如何合理安排，使人力、 物力等各种资源得到充分利用，获得最大的效益， 这就是规划问题。 线性规划通常解决下列两类问题： （1）当任务或目标确定后，如何统筹兼顾，合理安排，用 最少的资源 （如资金、设备、原标材料、人工、时间等） 去完成确定的任务或目标 （2）在一定的资源条件限制下，如何组织安排生产获得最 好的经济效益（如产品量最多 、利润最大.）
线性规划问题的数学模型
解:
x4 x5 替换 x3 ，且 x4 , x5 ， 0 引入变量 x6 , x7
用 将第3个约束方程两边乘以（－1） 将极小值问题反号，变为求极大值
标准形式如下：
m axZ 2 x1 x 2 3( x4 x5 ) 0 x6 0 x7 7 5 x1 x 2 ( x4 x5 ) x6 x x (x x ) x7 2 1 2 4 5 5 5 x1 x 2 2( x4 x5 ) x1 , x 2 , x4 , x5 , x6 , x7 0
max Z c j x j
j 1
n
n a ij x j bi s.t j 1 i 1,2, , m x j 0, j 1,2, , n
特点： (1) 目标函数求最大值（有时求最小值） (2) 约束条件都为等式方程，且右端常数项bi都大于或等于零 (3) 决策变量xj为非负。
目标函数：
max (min) z c1 x1 c 2 x 2 c n x n a1 1 x1 a1 2 x 2 a1 n x n ( ) b1
约束条件：
a m 1 x1 a m 2 x 2 a m n x n ( ) bm x1 0 x n 0