1-7镜像法

1.7.1 镜像法
几个实例： 几个实例：
求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位
非均匀感应电荷
q 非均匀感应电荷产生的 电位很难求解，可以用 电位很难求解， 等效电荷的电位替代 q′ q
等效电荷 等效电荷
接地导体球附近有一个点电荷，如图。 接地导体球附近有一个点电荷，如图。
q′ 非均匀感应电荷
非均匀感应电荷产生的 电位很难求解， 电位很难求解，可以用 等效电荷的电位替代
1 q′′ ϕ2 = 4πε1 r1
ε1
+ q′
由条件（ ）， ），可得 在r1=r2处，由条件（3），可得 q1
ϕ1 = ϕ 2 ∂ϕ1 ∂ϕ 2 ε 1 ∂n = ε 2 ∂n
ε1
=
q′′
ε2
q″
ϕ1 = ϕ 2 ∂ϕ1 ∂ϕ 2 ε 1 ∂n = ε 2 ∂n
点电荷对无限大平面导体边界的镜像
d
d
等效问题： 等效问题： 要求： 要求：与原问题边界条件相同 原电荷： （ ， ， ） 原电荷：q（d，0，0） 镜像电荷(等效电荷 在求解域外) 镜像电荷 等效电荷):-q（-d，0，0）(在求解域外 等效电荷 （ ， ， ） 在求解域外 取消导体边界面，空间媒质充满整个空间。 取消导体边界面，空间媒质充满整个空间。
§1.7 镜象法和电轴法 镜象法和电轴法 Image Method and Electric Axis Method
小结： 小结：求空间电场分布的方法 场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。 应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。 只能应用于电荷成对称分布的问题。 间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。 先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛， 在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛， 适用于边值问题的求解。 适用于边值问题的求解。
q
qR EP = e − e 2 r1 2 r2 4πε0r1 4πε0dr2
q
图1.7.5 点电荷位于接地导体球附近的场图
镜像电荷的作用等于负的感应电荷的作用 镜像电荷不能放在当前求解的场域内。
例 试计算不接地金属球附近放置一点电荷q时的电场分 试计算不接地金属球附近放置一点电荷q 布。
解:
2
q q'
q • 2中的电场是由 决定，其有效区在下半空间， ' '是等效 替代自由电荷q与极化电荷的作用。
即
ε
q' '
ε1 − ε 2 2ε 2 q' ' = q − q' = q − q= q ε 2 + ε1 ε 2 + ε1
为求解图示 ε 1 与 ε 2 区 域的电场，试确定镜像电荷 的个数、大小与位置。
r2
h
q′
1 q q′ + ϕ1 = 4πε1 r1 r2
镜像系统为： 镜像系统为：下半空间 由原来电荷q处的像电荷 由原来电荷 处的像电荷 q″所产生（介电常数ε2 所产生（ 所产生 介电常数ε 冲满整个空间） 冲满整个空间）
r1
ϕ1 =
1 q q′ + 4πε1 r1 r2
用解析方法直接求解电位微分方程的定解问题常常 解析方法直接求解电位微分方程的定解问题常常 不是一件容易的事。 不是一件容易的事。 基于静电场的唯一性定理 形成间接的求解方法 基于静电场的唯一性定理，形成间接的求解方法， 唯一性定理， 间接的求解方法， 能把复杂问题等效为简单问题来求解，能使某些复 能把复杂问题等效为简单问题来求解， 杂问题得到很好地解决。唯一性定理的典型应用之 杂问题得到很好地解决。唯一性定理的典型应用之 一——镜像法和电轴法 ——镜像法和电轴法 镜像法和电轴法的实质是把实际上分片均匀媒质看 镜像法和电轴法的实质是把实际上分片均匀媒质看 成均匀，并在所研究的场域外的适当地点用虚设 用虚设的 成均匀，并在所研究的场域外的适当地点用虚设的 较简单的电荷分布代替实际边界上复杂的电荷分布。 较简单的电荷分布代替实际边界上复杂的电荷分布。 只有虚设的电荷分布与边界内的实际电荷一起产生 的电场能满足给定的边界条件。 的电场能满足给定的边界条件。
1.平面导体的镜像 镜像法最简单的例子： 镜像法最简单的例子：接地无限 大导体平面上方一个点电荷， 大导体平面上方一个点电荷，根 据唯一性定理， 据唯一性定理，导体平面上半空 间的电为分布应满足： 间的电为分布应满足：
边值问题：
∇ ϕ=0
2
q
（除 q 所在点外的区域） （导板及无穷远处） （S 为包围q 的闭合 面）
∇ ϕ1 = 0
2
∇ ϕ2 = 0
2
（2）当r→∞， ϕ1→0， ϕ2→0
（3）分界面S上的衔接条件
镜像系统为： 镜像系统为：上半空间 由原来电荷q和在像点的 由原来电荷 和在像点的 像电荷q′所产生 所产生（ 像电荷 所产生（介电 常数ε 冲满整个空间） 常数ε1冲满整个空间）
r1
ϕ1 = ϕ 2 ∂ϕ1 ∂ϕ 2 ε 1 ∂n = ε 2 ∂n
∫
S
D ⋅ d S = 0 , 正负镜像电荷绝对值相等。
ϕ
S
= const ≠ 0,
正镜像电荷只能位于球心。 任一点电位及电场强度为：
p r2 +q' +q R
o
r r1
q q′ q′ q 1 R R ( − + )= ( − + ) ϕ= 4πε0 r r1 r2 4πε0 r dr1 dr2 1
q2 (b2 + R2 ) − q'2 (d 2 + R2 ) = 0 q'2 d − q2b = 0
R2 b= d b R q' = q= q d d
由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为
ϕp =
q 4πε 0 r1
−
q' 4πε 0 r2
1 R 1 = ( − ⋅ ) 4πε 0 r1 d r2
图1.7.10 点电荷
q 位于不同介质平面上方的场图
图 点电荷 与
ε1 ε 分别置于 与 区域中 q1 q2 2
1.7.2 电轴法
1.问题提出 1.问题提出
在电力传输和通信传输等工 程中， 程中，带等值异号电荷的 两平行长直圆柱导体的电 场有着广泛的应用 。 两平行长直圆柱均匀带电 导体，其线电荷密度为τ 导体，其线电荷密度为τ、由于静电感应， τ。由于静电感应，电荷沿 圆柱导体表面的不均匀分 布是未知的， 布是未知的，要按边值问 题直接计算它们在周围空 气中产生的电场有困难。 气中产生的电场有困难。
q
b -q' -q d
1 R R E= ( 2 er − 2 er1 + 2 er2 ) 4πε0 r dr1 dr2
q
不接地导体球面上的正负感应电 荷的绝对值等于镜像电荷 q′ 吗? 为什 么？
图1.7.7 点电荷位于不接地导体球附近的场图
补充题： 试确定用镜像法求解下列问题时，其镜像电荷的个数， 大小与位置?
设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电 场分布。
1)
边值问题： 边值问题：
∇ 2ϕ = 0
ϕ ϕ
r→ ∞ 导球面
=0 =0
（除q点外的导 体球外空间)
2)设镜像电荷-q 位于球内,球 面上任一点电位为:
ϕp =
图1-29 点电荷对接地导体球面的镜像
q 4 πε 0 r1
−
q' 4 πε 0 r2
长直平行双传输线
思路：采用等效观点， 思路：采用等效观点， 对于两圆柱导体外部的电场， 对于两圆柱导体外部的电场，可以设想将两圆柱 撤去，而其表面电荷效应代之以两根很长的带电 撤去，而其表面电荷效应代之以两根很长的带电 细线。 细线。 如图相距为2b（ 的数值待定 的数值待定） 如图相距为 （b的数值待定）的两根电荷线密度 的带电细线，它们所在的轴线就是电轴， 为τ、-τ的带电细线，它们所在的轴线就是电轴， 这种方法称为电轴法。 这种方法称为电轴法。
边值问题： ( 除 q 点外的 导体球外空间）
∇ ϕ =0
ϕ ϕ
p r2 +q' +q R
o
S
r→ ∞ 球面 s
=0
= 常数 ≠ 0 =0
( S 为球面面积 )
∫ D ⋅ dS
r q
r1 b -q' -q d
在接地球的基础上判断镜像 电荷的个数、大小与位置
•
感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。
例1.7.1 求空气中一个点电荷 q 在地面引起的感应电荷分布情况。 解: 设点电荷 q 离地面高度为h，则
E p = E+ + E− （方向指向地面）
Ep = 2
=
q 4πε 0 r
2
cos θ
qh 2 πε 0 ( h 2 + x 2 ) 3 / 2
σ p = −ε0 Ep = −
qh 2π(h + x )
边值问题：
∇2 ϕ = 0
（导线以外的空间）

长直平行双传输线
ϕ
导体A = 常数
∫S D ⋅ dS = τ ,

电荷分布不均匀
ϕ
导体B
= 常数
∫
S
D ⋅ dS = −τ , 电荷分布不均匀
2. 两根细导线产生的电场
τ τ ϕ1 = ∫ dρ = − ln ρ1 + C1 ρ 2πε ρ 2πε0 0 −τ ϕ2 = − ln ρ2 + C2 2πε0 τ ρ2 ϕ P = ϕ1 + ϕ2 = ln + C 2πε0 ρ1
镜像法小结:什么情况下能用镜像法分析？ 1.点电荷和无限大平面导体 点电荷和无限大平面导体
等效问题： 等效问题： 要求： 要求：与原问题边值问题相同 原电荷： ，距离h 原电荷：q，距离 镜像电荷(等效电荷 距离-h(在求解域外 镜像电荷 等效电荷):-q距离 在求解域外 等效电荷 距离 在求解域外) 取消导体边界面，空间媒质充满整个空间。 取消导体边界面，空间媒质充满整个空间。
2 2 3/ 2
整个地面上感应电荷的总量为
∫S σ p dS = ∫0
∞
− qh 2 π(h + x )
2 2 3/2
⋅ 2 π xdx
1 = qh 2 = −q ( h + x 2 )1 / 2 0
∞
图1.7.2 点电荷 q 在地面引起的感应电荷的分布
2. 导体球面镜像
=0
来自百度文库 ϕp =
q 4 πε 0 r1
−
q' 4 πε 0 r2
=0
r1 = d 2 + R 2 − 2 Rd cos θ r2 = b 2 + R 2 − 2 Rb cos θ
[ q 2 ( b 2 + R 2 ) − q ' 2 ( d 2 + R 2 )] + 2 R ( q ' 2 d − q 2 b ) cos θ = 0
镜像法小结
镜像法（电轴法）的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法（电轴法）的实质是用虚设的镜像电荷（电轴） 替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质； 镜像法（电轴法）的关键是确定镜像电荷（电轴）的个 数（根数），大小及位置； 应用镜像法（电轴法）解题时，注意：镜像电荷（电轴） 只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区 域。
2.点电荷和接地导体球 q点电荷附近接地导体 球的影响 可用镜像电荷（-q′） 可用镜像电荷（ 代替感应电荷， 代替感应电荷，其中 位置与电荷量为： 位置与电荷量为：
R2 b= d b R q' = q= q d d
3.点电荷和两种不同介质 平面分界面S的上下半空间充满介电常数为ε 平面分界面 的上下半空间充满介电常数为ε1和ε2的均 的上下半空间充满介电常数为 匀介质，在上半空间距S为 处有一点电荷 处有一点电荷q， 匀介质，在上半空间距 为h处有一点电荷 ，求空间 的电场 设上半空间电位为ϕ1，下半空间 根据唯一性定理， 电位为ϕ2，根据唯一性定理， ϕ1 应满足： 和ϕ2应满足： （1）
1 q q′ + ϕ1 = 4πε1 r1 r2
h
q′
ε1
q1
+
q′
ε1
=
q′′
1 q′′ ϕ2 = 4πε1 r1
ε2
q − q′ = q′′
ε1 −ε2 2ε2 q' = q 和 q' ' = q ε1 +ε2 ε1 +ε2
• ε1 中的电场是由 与 共同产生，其有效区在上半空间， q' 是等效替代极化电荷的影响。
ϕ=0
等效电荷 q′
∫s
D ⋅ dS = q
上半场域边值问题：
∇2ϕ = 0 （除 q 所在点外的区域） q q ϕ= − =0 4πε0 r 4πε0 r （导板及无穷远处）
∫s D ⋅ dS = q
镜像法:
（S 为包围q 的闭合面）
用虚设的电荷分布等效替代媒
质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、 大小与位置使场的解答满足唯一性定理。