线性代数课程教

线性代数课程教案
本教案是以课程所用教材: 陈维新编著的《线性代数简明教程》(第二版, 科学出版社, 2005年）为主，适当博采其他参考用书之长撰写的。

教案中使用的概念、术语、记号、定理、性质等均与教材相一致. 教案中布置的作业均选自教材中的习题, 故仅列出编号, 而略去其详. 凡标有“▲”符号部分是要着重讲解, 并要求学生熟练掌握的教学内容.
第1章 行列式
§1.1
数域与排列
一. 提要
作为开卷本节是预备知识. 数域是线性代数各章概念的基石; 而排列是为引入行列式的概念服务的.
二. 数域
1. 概念的引出
从求方程2
10x +=的解需要指出求解范围引出问题的结论与讨论对象允许取值范围有关.线性代数讨论问题的求解所涉及的均为数的四则运算, 故要引入对数的四则运算封闭(至少有2个复数)的集合, 即数域的概念. 2. 重点
数域的概念, 以及全体有理数的集合Q 、全体实数的集合R 、全体复数的集合C 均是数域; 而全体整数的集合I 不是数域. 3. 难点 Q (
2) (一般地当中P 为质数时Q (P )是数域. 原因在于学生不熟悉表达式
Q (2){}
2a b a b Q =+∈，的内涵, 所以对此要向学生说清楚. 但不需详细论证和展
开, 只要求学生知道(2)Q , (3)Q ,…,()Q P 均为数域, 从而数域有无穷多个. 4. 要求
掌握上述重要内容, 以及由数域定义可推得：线性代数中讨论的问题若已知的数属于数域P ,则经四则运算求得的解答也在数域P 中.
三. 排列
1. 概念的引出
从中学的排列组合引出n 阶排列的概念. 2. 重点
(1) n 阶排列的概念及n 阶排列共有!n 个. (2) n 阶排列的逆序数的概念及计算方法.
(3) 奇排列及偶排列的概念及对换改变排列的奇偶性. 3. 难点及对策
排列的逆序数的计算并不难, 但在这一节中很重要. 一是排列的奇偶性是由其逆序
数确定的; 二是行列式定义中所要用到的就是由排列的逆序数来确定通项的符号. 所以要求学生能熟练正确地计算出排列的逆序数, 为此可增加一些例题:
例 1. 求n 阶排列n (1n -)
21逆序数, 并讨论其奇偶性.
解
τ(n (1n -)21)=(1n -)+(2n -)+
+2+1=
1
2
n (1n -). 从而当4n k =,41k +时为偶排列; 当42n k =+, 43k +时为奇排列.
例 2. 将排列53241作一次数码5和2对换得到排列23541, 计算这两个排列的逆序数, 并判断两者的奇偶性.
解 τ(53241)=42118+++=, τ(23541)11215=+++=, 故53241是偶排列, 23541是奇排列. 这表明作了一次对换排列的奇偶性改变了.
例 3. 若21457i j 为偶排列, 则i =____; j =_____.
解 由7阶排列的定义知, 或i =3, j =6; 或i =6, j =3. 取i =3,
j =6, 则τ(2143567)55111=++=, 故2143567为奇排列, 从而2146537必为
偶排列(问学生为什么?), 所以应该i =6, j =3.
4. 要求
掌握本节重点内容, 强调要求学生能熟练正确地计算出n 阶排列的逆序数, 从而判断出该排列的奇偶性.
四. 作业
教材第4页 习题1.1
1. 3. 4. (1), (3), (5), (6) 5. (1), (2), (3) 7.
§1.2 行列式的定义
一．提要
从求n 个未知量n 个方程的线性方程组的公式解导出行列式的概念, 并由行列式的定义得出两类行列式(上三角和副对角线一侧全为零)的求值公式.
二．行列式
1．概念的引出
用消元法得出2个未知量2个方程的线性方程组 ( I ) 解的表达式, 据此引入2阶行列式的概念. 并引用2阶行列式, 在(I)的系数行列式0≠D 时, 得出(I)有唯一解, 并可用行列式来表示这唯一解.
类似地用消元法得出3个未知量3个方程的线性方程组(Ⅱ)解的表达式, 据此引入3阶行列式的概念. 并利用3阶行列式, 在(Ⅱ)的系数行列式0≠D 时, 得出(Ⅱ)有唯一解, 并可用行列式来表示这唯一解. 分析3阶行列式定义的规律,概括出()
()
12323123
1233
1j j j ij j j j j j j a a a a τ=
-∑, 推而广之
得到n 阶行列式的定义
()()
121212
121n n n
j j j ij j j nj n
j j j a a a a τ=
-∑
２．重点
▲（１）n 阶行列式的定义.
▲（２）两类行列式的求值公式:
111212221122
00
n n nn nn
a a a a a a a a a =;
(
)()
121212
121121121111
2
1
0000010n n n
n n n n n n n n n n n n n n n nn
a a a a a a a a a a a a a a ---------=-，，，，，，，;
(3)
n 阶行列式ij n a 中的项1122
n n i j i j i j a a a 的符号为()
()()
12121n n i i i j j j ττ+-.
３．难点及对策
n 阶行列式的定义. 主要困难在于学生不熟悉不理解这种抽象的表达式, 为此可将
定义分解成三部分来阐明: (1) 通项1122
n n i j i j i j a a a 是表示行列式中不同行不同列的n 个之素的乘积, 其中
12
n j j j 是一个n 阶排列.
(2) ()
()
12
1n j j j τ-是确定通项的符号, 当12n j j j 是偶排列时取正号; 当12n j j j 是
奇排列时取负号. (3)12
n
j j j ∑
是表示对!n 项(所有的n 阶排列12
n j j j )求和.
将上述三点将清楚, 有利与学生掌握行列式的定义.
４．要求
掌握本节重点内容, 要向学生指出正确理解行列式的定义是重要的, 但只是基础, 更重要更实用的是会正确计算行列式. 为此要学生掌握:
(1) 计算2阶行列式, 3阶行列式有便于记忆的对角线法则, 4阶和4阶以上的行列式没有类似的对角线法则.
(2) 两类行列式(上三角和副对角线一侧全为零)的求值公式.
三．作业
教材第14页 习题1.2
1．(2), (3), (5), (6), (8), (9) 2. (1), (2) 3 . 4. 7．(2), (4) 9． 10．
§1.3 行列式的性质
一. 提要
阐明行列式的性质, 利用行列式的性质化简行列式的计算.
二. 行列式的性质
1. 问题的引出
由行列式的定义知, 当ij a 均为数时, 行列时ij a 是一个数; 当ij a 有变量x 时, 行列式ij a 是x 的一个多项式. 因而计算行列式就是要把这个数, 或者这个多项式计算出来. 而从定义出发计算某些特殊的行列式才较为可行, 对一般行列式当行列式的阶数n 较大时, 手工计算就十分繁琐. 为此要研究行列式的性质来化简行列式的计算, 同时行列式的性质在理论上也相当重要. 2. 重点
（1）行列式的6条性质和3条推论. ▲（2）利用行列式的性质来化简行列式的计算. 3. 难点及对策
行列式的性质和推论虽说共有9条之多, 但同学要记住并不太困难. 难是难在面对一个行列式如何利用这些性质和推论把这个行列式正确快捷地计算出来. 为此本节教学应注意以下几点:
(1) 不把精力和时间花在详尽证明行列式的这些性质和推论上, 而是强调如何用这些性质和推论去计算行列式.
(2) 不要一口气把所有的性质和推论全部讲完, 这样做难免有些同学消化不了. 应讲1—2条性质后就讲如何用刚讲过的性质去化简行列式的计算, 这种渐进式的方法便于同学理解掌握. 为此可把下面4个例子分别插在不同的性质后面讲解:
设0a a a a a a a a a a １１１２３３
２１
２２２３３１
３２３３
D ＝＝, 据此计算下列行列式: a a a a a a a a a ３１３２３３１１１１２１３２１２２２３D ＝; a a ka a a ka a a ka １１１２１２
２２１２３２２
３１３３３２
D ＝
22333a a a a a a a a a １１１２１３
３２１
２２２３３１
３２
３３
－－－D ＝2; a a a a a a a a a a a a １１１３
１２１２４２１２３
２２２２３１３３
３２３２1
23－3－21D ＝23－3－2123－3－2
将１D 放在性质2后面讲
.a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ３１３２３３
１１１２１３１１１２１３
１２２３１１１１２１３
３１３２３３２１２２２３２１２２２３２１２２２３３１３２３３
　R R
D ＝－＝D=性质2性质2
将１D 、３D 放在性质3后面讲 解
12
.
a a ka a a a a a a
a a ka k a a a k a a a a a a ka a a a a a a -１１１３１１１3
１2１１１２１３
２３２２１２３22
2１
2322２１２２２３３１３３32
3１
33
32３１３２３３
　C 性质3
D ＝＝-kD=-k 性质2
()1322212366.333a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ----⨯⨯=-１１１2
１１１2
１3
3２１
２2232１
2223３１
３2
33
3１
32
33
　性质3
D ＝D=- 将4D 放在性质5后面讲 解
12
22
32
3311123323232
2211123323232221112332323222
a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a --------+-------1１1312１１１3１2１１１２１242１23222１2322２１２２２23１33323１32３１３２３2　性质5 D ＝
3123.42a a a a a a a a a a a a a a a a a a a ⎛⎫
⨯⨯- ⎪⎝⎭
1１13
12
１１１２１３
12
2１23
222１
2２
2３3１33
323１
3２
3３
C 性质+0－3＝-3D=-3性质性质2
(3) 剖析解讲教材上例1.3.4和例1.3.5, 特别是例1.3.5, 并指出利用行列式的性质将行列
式归结为上三角形, 然后用上三角形的求值公式得出行列式的值是求行列式的最常用方法之一.
(4) 讲解例题(如例1.3.5)从分析该题的特征着手, 找到解题的途径. 以此作为示范, 让同学
体会理解到解数学题先要有思路和方法, 才可能动手计算.
(5) 本小节习题适当多布置一些, 以让同学从实际做题过程中增强计算行列式的能力.
4. 要求
掌握本节重点内容, 会用行列式的性质熟练正确地求3阶, 4阶行列式的值，以及较为简单的有规律的n阶行列式的值.
三. 作业
教材23页习题1.3
1. 2. . (1), (2), (3), (4), (6), (7), (8), (9)
3. (1), (2) 5 .
§1.4
行列式按行(列)展开
一. 提要
阐明行列式按行(列)展开定理. 据此可得求行列式的又一有效方法：降阶, 以及一些特殊行列式的求值公式,如范德蒙德行列式、分块行列式等.
二. 行列式按行(列)展开
1. 问题的引出
因2阶, 3阶行列式计算相对容易, 故在计算阶数较高行列式时, 希望将高阶化为阶数较低行列式的表达式(降阶), 于是要研究行列式按行(列)展开定理. 2. 重点
(1) 了解行列式ij a 中元素ij a 的余子式和代数余子式ij A 的概念. ▲ (2) 掌握行列式ij a 按一行(列)展开公式:
1122ij i i i i in in a a a a =A +A ++A ; 1122.ij j j j j nj nj a a a a =A +A +
+A
并能用此公式将高阶行列式降阶求值.
▲ (3) 范德蒙德行列式的求值公式, 以及四类分块行列式的求值公式.
3. 难点及对策
本小节的难点与上一节的难点本质上是一样的: 记住行列式按行(列)展开公式并不难, 难是难在如何用这公式将行列式逐次降阶最终将行列式的值正确地求出来, 所以对策也与上一节相仿(可参阅§1.3第二部分之3), 即简要地讲解行列式按行(列)展开公式, 着重讲该公式的应用. 为此
(1) 讲好教材上例1.4.1和例1.4.2, 要从分析例题的特征着手引出解题方法, 即确
定按哪一行(列)展开.
(2) 适当多讲用降阶法求行列式的例子, 可补充例题
例 00
01000
20
003000a b
c d e
e d
c b a
D ＝
解 逐次按第2行展开可得()
22
6a e =--D .
至此行列式求值方法的教学内容已经告一段落, 故在最后应对两种常用方法适当作一小结:
1 归化 基础是九类有公式可求值的行列式: 上三角形, 下三角形, 两类副对
角线一侧全为零的矩阵, 范德蒙德行列式,四类分块行列式. 具体做法是利用行列式的性质将要求的行列式归结化简为上述九类行列式.
2 降阶 基础是2阶, 3阶行列式计算相对容易. 具体做法是利用行列式按行(列)
展开公式, 逐次降阶, 最终求得其值.
归化和降阶是计算行列式的两种重要的有效方法, 两者结合起来使用, 则效果更好.可补充下例:
例 计算 00
00
00
000
0000
x y x
y
x x y y
x
=
D
解 将D 按第1列展开得
()
()
()
1
1
1
1100
00
000
01000
00
11n n n n n n n
x y y x x y x
y x y x
y
x
x x y y x y +++--=+-=⋅+-⋅=+-D
4. 要求
掌握本节重要内容. 要熟练掌握归化, 降阶这两种计算行列式的有效方法.
三. 作业
教材第31页 习题1.4
1. (1), (3), (4), (5), (6)
2. 4. 5.
§1.5 克拉默法则
一.提要
阐明克拉默法则及其应用.
二. 克拉默法则
1. 问题的引出
行列式的概念是从求n个未知量n个方程的线性方程组公式解而引入的, 而克拉默法则恰好表明引入了适当的n阶行列式的定义, 就能用行列式表示n个未知量n个方程组在系数行列式不为零条件下的线性方程组的公式解, 从而使本章圆满结束.
2. 重点
(1) 克拉默法则.
(2) 克拉默法则的应用.
3. 难点及对策
本小节的难点与上两节的难点本质上是一致的: 记住克拉默法则并不难, 难是难在如何用克拉默法则来解答问题. 所以对策也和上两节相仿(可参阅上两节有关部分), 即简要地讲解克拉默法则, 着重要讲该法则的应用. 比如对齐次线性方程组的应用就要强调指出.
作为行列式一章的结束, 可考虑布置一些不同类型的行列式计算题作为习题. 以强化行列式计算的训练.
4. 要求
掌握本节的重要内容. 要求学生能熟练地用克拉默法则来判断方程个数等于未知量个数的线性方程组有唯一解的条件, 至于如何求出唯一解, 则不必过于强调必须用克拉默法则, 因为第二章有更为一般的、更加方便的方法.
三. 作业
教材37页习题1.5
1. (1), (3)
2.
3.
教材42页习题1.6
1. 2.。