线性代数课程教

线性代数课程教案

本教案是以课程所用教材: 陈维新编著的《线性代数简明教程》(第二版, 科学出版社, 2005年）为主，适当博采其他参考用书之长撰写的。教案中使用的概念、术语、记号、定理、性质等均与教材相一致. 教案中布置的作业均选自教材中的习题, 故仅列出编号, 而略去其详. 凡标有“▲”符号部分是要着重讲解, 并要求学生熟练掌握的教学内容.

第1章 行列式

§1.1

数域与排列

一. 提要

作为开卷本节是预备知识. 数域是线性代数各章概念的基石; 而排列是为引入行列式的概念服务的.

二. 数域

1. 概念的引出

从求方程2

10x +=的解需要指出求解范围引出问题的结论与讨论对象允许取值范围有关.线性代数讨论问题的求解所涉及的均为数的四则运算, 故要引入对数的四则运算封闭(至少有2个复数)的集合, 即数域的概念. 2. 重点

数域的概念, 以及全体有理数的集合Q 、全体实数的集合R 、全体复数的集合C 均是数域; 而全体整数的集合I 不是数域. 3. 难点 Q (

2) (一般地当中P 为质数时Q (P )是数域. 原因在于学生不熟悉表达式

Q (2){}

2a b a b Q =+∈，的内涵, 所以对此要向学生说清楚. 但不需详细论证和展

开, 只要求学生知道(2)Q , (3)Q ,…,()Q P 均为数域, 从而数域有无穷多个. 4. 要求

掌握上述重要内容, 以及由数域定义可推得：线性代数中讨论的问题若已知的数属于数域P ,则经四则运算求得的解答也在数域P 中.

三. 排列

1. 概念的引出

从中学的排列组合引出n 阶排列的概念. 2. 重点

(1) n 阶排列的概念及n 阶排列共有!n 个. (2) n 阶排列的逆序数的概念及计算方法.

(3) 奇排列及偶排列的概念及对换改变排列的奇偶性. 3. 难点及对策

排列的逆序数的计算并不难, 但在这一节中很重要. 一是排列的奇偶性是由其逆序

数确定的; 二是行列式定义中所要用到的就是由排列的逆序数来确定通项的符号. 所以要求学生能熟练正确地计算出排列的逆序数, 为此可增加一些例题:

例 1. 求n 阶排列n (1n -)

21逆序数, 并讨论其奇偶性.

解

τ(n (1n -)21)=(1n -)+(2n -)+

+2+1=

1

2

n (1n -). 从而当4n k =,41k +时为偶排列; 当42n k =+, 43k +时为奇排列.

例 2. 将排列53241作一次数码5和2对换得到排列23541, 计算这两个排列的逆序数, 并判断两者的奇偶性.

解 τ(53241)=42118+++=, τ(23541)11215=+++=, 故53241是偶排列, 23541是奇排列. 这表明作了一次对换排列的奇偶性改变了.

例 3. 若21457i j 为偶排列, 则i =____; j =_____.

解 由7阶排列的定义知, 或i =3, j =6; 或i =6, j =3. 取i =3,

j =6, 则τ(2143567)55111=++=, 故2143567为奇排列, 从而2146537必为

偶排列(问学生为什么?), 所以应该i =6, j =3.

4. 要求

掌握本节重点内容, 强调要求学生能熟练正确地计算出n 阶排列的逆序数, 从而判断出该排列的奇偶性.

四. 作业

教材第4页 习题1.1

1. 3. 4. (1), (3), (5), (6) 5. (1), (2), (3) 7.

§1.2 行列式的定义

一．提要

从求n 个未知量n 个方程的线性方程组的公式解导出行列式的概念, 并由行列式的定义得出两类行列式(上三角和副对角线一侧全为零)的求值公式.

二．行列式

1．概念的引出

用消元法得出2个未知量2个方程的线性方程组 ( I ) 解的表达式, 据此引入2阶行列式的概念. 并引用2阶行列式, 在(I)的系数行列式0≠D 时, 得出(I)有唯一解, 并可用行列式来表示这唯一解.

类似地用消元法得出3个未知量3个方程的线性方程组(Ⅱ)解的表达式, 据此引入3阶行列式的概念. 并利用3阶行列式, 在(Ⅱ)的系数行列式0≠D 时, 得出(Ⅱ)有唯一解, 并可用行列式来表示这唯一解. 分析3阶行列式定义的规律,概括出()

()

12323123

1233

1j j j ij j j j j j j a a a a τ=

-∑, 推而广之

得到n 阶行列式的定义

()()

121212

121n n n

j j j ij j j nj n

j j j a a a a τ=

-∑

２．重点

▲（１）n 阶行列式的定义.

▲（２）两类行列式的求值公式:

111212221122

00

n n nn nn

a a a a a a a a a =;

(

)()

121212

121121121111

2

1

0000010n n n

n n n n n n n n n n n n n n n nn

a a a a a a a a a a a a a a ---------=-，，，，，，，;

(3)

n 阶行列式ij n a 中的项1122

n n i j i j i j a a a 的符号为()

()()

12121n n i i i j j j ττ+-.

３．难点及对策

n 阶行列式的定义. 主要困难在于学生不熟悉不理解这种抽象的表达式, 为此可将