计算机图形学基础教程课件

计系统
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计算机图形学
? 参数表示:曲线上任一点的坐标均表示成给定 参数的函数。假定用 t表示参数，平面曲线上 任一点P可表示为：
P(t) ? ?x(t), y(t)?
? 空间曲线上任一三维点 P可表示为：
P(t) ? ?x(t), y(t), z(t)?
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? 参数表示例子：
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? 几何造型的历史
– 曲面造型：60年代，法国雷诺汽车公司、Pierre Bézier、 汽车外形设计的UNISURF系统。
– 实体造型：1973英国剑桥大学CAD小组的Build系统、 美国罗彻斯特大学的PADL-1 系统等。
– 独立发展起来，又合二为一。 – 主流：基于线框、曲面、实体、特征统一表示的造型设
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3.1.2 位置矢量、切矢量、法矢量、 曲率和挠率
–曲线上任一点的位置矢量可表示为： P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；
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–切向量(切矢量)
? 选择弧长s作为参数，则 T ? dP ? lim ? P 是单位切矢
? 根据弧长微分公式有：
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–实体模型能完整表示物体的所有形状信息，可以无 歧义地确定一个点是在物体外部、内部或表面上。 是最高级的模型。
? 这种模型能够进一步满足物性计算、有限元分析等应用的 要求。
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? 三维表面模型表示三维物体的信息并不完整， 但它能够表达复杂的雕刻曲面，在几何造型中 具有重要的地位，对于支持曲面的三维实体模 型，表面模型是它的基础。
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–T(切矢)、N(主法矢 )和B(副法矢 )构成了曲线上的 活动坐标架
–N、B构成的平面称为法平面， N、T构成的平面称为 密切平面，B、T构成的平面称为从切平面。
B
从 切 面
T
密切面
法平面
N
主法线
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图3.1.2 曲线的法矢
– 曲率和挠率
? ? T ' ? lim ? T ? lim ? T ? ? 即 ? ? lim ? ?
ds ?s? 0 ? s
?ds?2 ? ?dx?2 ? ?dy?2 ? ?dz?2
?ds / dt ?2 ? ?dx / dt?2 ? ?dy / dt ?2 ? ?dz / dt?2 ? P'(t) 2
ds ? P' (t) ? 0 dt
? 于是有 dP ? dP ?dt ? P'(t) ，即为单位矢量 ds dt ds P'(t)
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–法矢量
dT
? 与 平行的法矢称为曲线在该点的主法矢N
ds
? 矢量积 B ? T ? N 是第三个单位矢量，它垂直于T和N。把
平行于矢量B的法矢称为曲线的副法矢矢
? 我们可以推导出：
B ? P?(t) ? P??(t) P?(t) ? P??(t)
N ? B ? T ? (P?(t) ? P?(t)) ? P?(t) (P?(t) ? P?(t)) ? P?(t)
? 给定一组有序的数据点 Pi，i=0, 1, …, n，构 造一条曲线顺序通过这些数据点，称为对这些 数据点进行 插值，所构造的曲线称为插值曲线。
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–线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2 的值，用一个线形函数：y=ax+b，近似代替，称为 的线性插值函数。
–抛物线插值:已知在三个互异点 x1, x2 , x3 的函数值
? ? P?(t) 3
?
?
(P?(t), P??(t), P???(t)) (P?(t) ? P??(t))2
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B1
T0
B0
?T
T (s ? ? s) ? ? T (s)
T1
N0
O （a）
N1 B1
B0
??
（b）
图3.1.3 曲率和挠率
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3.1.3 插值、拟合、逼近和光顺
第三章 几何造型技术 清华大学
? 几何造型技术 是一项研究在计算机中，如何表 达物体模型形状的技术。
? 描述物体的三维模型有三种 : 线框模型、曲面模型和实体模型 。
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–线框模型用顶点和棱边来表示物体。
? 由于没有面的信息，它不能表示表面含有曲面的 物体；
? 它不能明确地定义给定点与物体之间的关系（点 在物体内部、外部或表面上）。
为 y1, y2 , y，3 要求构造一个函数
? (x) ? ax2 ? bx ? c
使抛物线? (x)在结点 xi (i ? 1,2,3) 处与 Biblioteka Baidu (x) 在
xi 处的值相等
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–表面模型用面的集合来表示物体，而用环来定义面 的边界。
? 表面模型能够满足面面求交、线面消隐、明暗色彩图、数 控加工等需要。
? 但在该模型中，只有一张张面的信息，物体究竟存在于表 面的哪一侧，并没有给出明确的定义，无法计算和分析物 体的整体性质。如物体的体积、重心等。
? 也不能将这个物体作为一个整体去考察它与其它物体相互 关联的性质，如是否相交等。
进行几何变换。 （4）便于处理斜率为无穷大的情形，不会因此而中
断计算。
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（5）便于用户把低维空间中曲线、曲面扩展到高维空间 去。
（6）规格化的参数变量t∈[0, 1]，使其相应的几何分 量是有界的，而不必用另外的参数去定义边界。
（7）易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。
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– 直线
P(t) ? P1 ? (P2 ? P1)t, t ? [ 0,1]
–圆
?1 ? t 2 2t ?
P(t )
?
??1 ?
t2
, 1?
t2
? ?
t ? [ 0,1]
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参数表示的优点：
（1）以满足几何不变性的要求。 （2）有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状 （3）对曲线、曲面进行变换，可对其参数方程直接
? s? 0 ? s ?s? 0 ? s ? s
?s? 0 ? s
称为曲率，其几何意义是曲线的单位切矢对弧长的转
动率
曲率k的倒数 ? ? 1 称为曲率半径。 挠率 ? 的绝对值?等于副法线方向(或密切平面)对
于弧长的转动率.
?
?
lim ? ?
?s ?s
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.对于一般参数 t，我们可以推导出曲率和挠率的 计算公式如下： P?(t) ? P??(t)