基本初等函数复习课件.ppt

专题复习三 基本初等函数
一、知识梳理
m
1.a n n am (a 0, m, n Z *, n 1)
m
an
1
m
an
n
1 am
(a 0, m, n Z *, n 1)
(1)ar·as=ar+s (a＞0，r,s∈Q)；
(2)ar÷as=ar-s (a＞0，r,s∈Q)；
(3)(ar)s=ars (a＞0，r,s∈Q)；
[例3] 0.32，log20.3,20.3这三数之间的大小顺序是( ) A．0.32<20.3<log20.3 B．0.32<log20.3<20.3 C．log20.3<0.32<20.3 D．log20.3<20.3<0.32
•[分析] 可分别画出y＝2x，y＝log2x与y＝x2 的图象用图象来解决，也可以由幂、指、对 函数值的分布规律解决．
(4)(ab) r=arbr (a＞0，b＞0，r∈Q)
2.指数函数 一般地，函数y= ax(a＞0，且a≠1)叫做指数函数， 其中x是自变量，函数的定义域是R
指数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
图 象
(1)定义域：R
性
(2)值域(0，＋∞)
质
(3)过点(0，1)，即x＝0时，y＝1
(4)在R上是增函数
[点评] 对数函数y＝logax的单调性是按a>1与0<a<1 分类定义的．
例
7.求函数
y
1 4
x
1 2
x
1的值域．
[解析] 令 t＝12x，则 t>0， ∴y＝t2＋t＋1＝(t＋12)2＋34，在(0，＋∞)上为增函数，
∴y>1，
∴此函数值域为(1，＋∞)．
[例 8]求函数 y＝2log21x－log1x2＋1
图 象
(1)定义域： (0，＋∞)
性
(2)值域：R
质
(3)过点(1，0)，即x＝1时，y＝0
(4)在(0,+∞)上是增函数 在(0，＋∞)上是减函数
当a>1时，a值越大， y=logax的图像越靠近x轴；
当0<a<1时，a值越大， y=logax的图像越远离x轴。
6、函数y=xα
y
叫做幂函数，
其中x是自变
得，a·log19＝blog12＝2.
6
6
∴1a＋2b＝log163＋log162＝log166＝－1.
[例 5] 若 loga23<1，则 a 的取值范围是(
)
A.23，1
B.23，＋∞
C.0，23∪(1，＋∞)
D.0，23∪23，＋∞
[解析] 当a>1时，loga23<0满足， 当0<a<1时，loga23<logaa，解得0<a<23.故选C.
在R上是减函数
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当a>1时，a值
越大，y ax 的图
像越靠近y轴；
当0<a<1时，a
值越大，y ax 的
图像越远离y轴。
8.对数 一般地，如果a(a＞0，a≠1)的b次幂等于N，就是 ab=N，
那么数b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b,其中a叫做对 数的底数，N叫做真数，式子logaN叫做对数式
(2)判断函数f (x)的奇偶性；
(3)证明函数f (x)在其定义域上是单调增函数；
3．已知函数
f (x) a x 1 ax 1
(a＞1).
（1）判断函数f (x)的奇偶性；
（2）求f (x)的值域；
（3）证明f (x)在(－∞，+∞)上是增函数.
作业
1.已知y log4 (2x 3 x2 ). (1)求定义域； (2)求f (x)的单调区间；
定义域为(-1,3) 增区间(-1,1］，减区间［1,3)
(3)求y的最大值，并求取得最大值时的x的值.
2．设函数 f (x) lg(x x2 1)
x 1时，最大值为1
(1)确定函数f (x)的定义域；
常用对数：通常将log10N的对数叫做常用对数，为了简 便，N的常用对数记作lgN
自然对数：通常将使用以无理数e=2.71828…为底的对 数叫做自然对数，为了简便，N的自然对数logeN简记作lnN.
9.对数恒等式
aloga N N a0且a1，N 0 叫做对数恒等式
10.对数的性质 (1)负数和零没有对数； (2)1的对数是零，即loga1=0； (3)底数的对数等于1，即logaa=1
3.对数的运算法则 如果a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么
4. 换底公式
logb
N
loga loga
N b
注意换底公式在对数运算中的作用：
①公式
logb
N
loga N loga b
顺用和逆用；
②由公式和运算性质推得的结论
logam
bn
n mloga
b
的作用.
5.对数函数的图象和性质
a>1
0<a<1
[解析] 如图，
在同 一 坐标 系 中作出 函数 y ＝ 2x ， y ＝ x2 及 y＝ log2x的图象．
•观察图象知当x＝0.3时，log20.3<0.32<20.3.选C.
对数式与指数式的互化应用
[例 4] 已知 9a＝2b＝316，求a1＋b2的值．
[解析] 对条件式等号两边各取以16为底的对数
量，α是常数.
O
x
[例1] 函数f(x)＝1＋log2x与g(x)＝2－x＋1 在同一直角坐标系下的大致图象是
( )
[答案] C [解析] f(x)的图象过点(1,1)，g(x)的图过点(0,2)，
只有C符合，故选C.
复习案答案
1-5 B B A D C 二、填空题 1、(1, ) 2、(2, ) 3、 2 1
2
2
(14≤[x解≤析4] )的 令 l值 og12x域＝u．，∵14≤x≤4，∴－2≤u≤2，
函数变为
y
＝
2u2
－
2u
＋
1
＝
2(u
－
1 2
)2
＋
1 2
(－
2≤u≤2)．
∴当 u＝12时，ymin＝12；当 u＝－2 时，ymax＝13.
由 u＝12得，x＝ 22，由 u＝－2 得，x＝4.
∴在 x＝ 22时，函数取最小值12，在 x＝4 时，函数 取最大值 13，值域为[12，13]．
2．对数的定义与运算
[例 2] 函数 y＝lg(1－1x)的定义域是 ( )
A．{x|x<0}
B．{x|x>1}
C．{x|0<x<1}
D．{x|x<0 或 x>1}
[答案] D
[解析] 由题意可知 1－1x>0，得 x<0 或 x>1，选 D.
2 求函数y log x1(3 x)的定义域
{x|1 x 2或2 x 3}