柯西不等式的应用篇

柯西不等式的证明及相关应用

摘要：柯西不等式是高中数学新课程的一个新增内容，也是高中数学的一个重要知识点，它不仅历史悠久，形式优美，结构巧妙，也是证明命题、研究最值问题的一个强有力的工具。

关键词：柯西不等式柯西不等式变形式最值 一、柯西（Cauchy ）不等式：

等号当且仅当021====n a a a Λ或i i ka b =时成立（k 为常数，n i Λ2,1=） 现将它的证明介绍如下： 方法1证明：构造二次函数

=()()()22221221122

22

212n n n n b b b x b a b a b a x a a a +++++++++++ΛΛΛ 由构造知()0≥x f 恒成立 又22120n n a a a +++≥Q L

即()()()222212

222122211n n

n n b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当且仅当()n i b x a i i Λ2,10==+即12

12n n

a a a

b b b ===L 时等号成立 方法2证明:数学归纳法

（1）当1n =时左式=()211a b 右式=()2

11a b 显然左式=右式

当2=n 时右式()()()()2

2

22

222222121211222112a a b b a b a b a b a b =++=+++

()()()222

1122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=左式

故1,2n =时不等式成立

（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立

即()()()222212222122211k k

k k b b b a a a b a b a b a ++++++≤+++ΛΛΛ 当i i ma b =，m 为常数，k i Λ2,1=或120k a a a ====L 时等号成立

设A=22221k a a a +++ΛB=22221k b b b +++Λ1122k k C a b a b a b =+++L 则()()212121212121+++++++++=++k k k k k k b a Ba Ab AB b B a A

当i i ma b =，m 为常数，12,1+=k i Λ或121+===k a a a Λ时等号成立 即1n k =+时不等式成立 综合（1）（2）可知不等式成立 二、柯西不等式的简单应用

柯西不等式是一个非常重要的不等式，学习柯西不等式可以提高学生的数学探究能力、创新能力等，能进一步开阔学生的数学视野，培养学生的创新能力，提高学生的数学素质。灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，常通过适当配凑，直接套用柯西不等式解题，常见的有两大类型： 1、证明相关数学命题

（1）证明不等式

例1已知正数,,a b c 满足1a b c ++=证明2223

3

3

3

a b c a b c ++++≥

证明：利用柯西不等式

又因为222a b c ab bc ca ++≥++在此不等式两边同乘以2，再加上222a b c ++得：

()

()2

222222c b a 222c b a c b a 3++=+++++≥++ac bc ab

故222

3

3

3

3

a b c a b c ++++≥

（2）三角形的相关问题

例2设p 是ABC V 内的一点，,,x y z 是p 到三边,,a b c 的距离，R 是ABC V 外接圆的半径，

≤

证明：由柯西不等式得：

记S 为ABC V 的面积，则 故不等式成立。

2、求解有关数学问题常用于求最值

例3已知实数,,a b c ,d 满足3a b c d +++=，22222365a b c d +++=试求a 的最值 解：由柯西不等式得，有 即由条件可得，()2

253a a -≥-

解得，12a ≤≤==

时等号成立， 代入11

1,,36b c d ===时，max 2a =

21

1,,33

b c d ===时min 1a =

例4空间中一向量a ϖ

与x 轴，y 轴，z 轴正向之夹角依次为?，?，?（?，?，?均非象限

角）， 求

γ

βα222sin 9

sin 4sin 1++的最小值。 解:由柯西不等式得：

)sin sin ](sin )sin 3()sin 2()sin 1[(

2222

22γβαγβα++++ ≥2)sin sin 3

sin sin 2sin sin 1(

γγ

ββαα⋅+⋅+⋅ 22222

22)321()sin sin )](sin sin 9

()sin 4()sin 1(

++≥++++⇒γβαγ

βα ∵ sin 2??sin 2??sin 2??2 ∴ 236)sin 9sin 4sin 1(222≥++γβα18)sin 9

sin 4sin 1(2

22≥++⇒γ

βα ∴

γ

βα222sin 9

sin 4sin 1++的最小值为18 三、巧用柯西不等式的变形解题