(完整版)容斥原理例题.docx

学科：奥数
教学内容：第四讲容斥原理（二）
上一我已初步研究了的容斥原理，今天我研究复的容斥。

例 1五年一班有45 名同学，每人都极名参加暑假体育班，其中足球班
的有 25 人，球班的有20 人，游泳班的有30 人，足球、球都者有10 人，足球、游泳都者有10 人，足球、球都者有12 人。

：三都的有多少人？
分析：由于比复，我把它化成下. 要算阴影部分的面，我A∩ B A 与 B 公共部分的面，B∩C B 与 C 公共部分的面，A∩ C 表示 A 与 C
的公共部分的面，x 阴影部分的面形盖住的面：A+B+C-A∩ B-B∩ C-A∩ C+X。

同学注意：阴影部分的面先加了 3 次，然后又被减了 3 次，最后又加了 1 次。

解答：三都的有x 人，由容斥原理有
30+25+20-10-10-12+x=45
解得 x=2 。

答：三都名的有 2 人。

明：在“ A+B+C-A∩ B-B∩ C-A∩ C+X”式中， A，B， C， A∩ B， B∩ C，A∩ C， x 和量
8 个数中，只要知道了7 个数，就可通列方程求出第8 个数。

例 2从1至10001000 个自然数中，不能被3、5、7 中任何一个自然数整除的数一
共有多少个？
分析：第一步先求出：能被3、 5、 7 中任何一个自然数整除的数一共有多少个？第二
步再求出：不能被 3、5、7 中任何一个自然数整除的数一共有多少个？能被 3 整除的自然数的个数 +能被 5 整除的自然数的个数+能被 7 整除的自然数的个数－（既能被 3 整除又能被5整除的自然数的个数+既能被 3 整除又能被7 整除的自然数的个数+既能被 5 整除又能被7整除的自然数的个数）+能同被3、5、7 整除的自然数的个数=能被 3、5、7 中任何一个自
然数整除的数的个数。

解答：能被 3 整除的自然数有多少个？
1000÷3=333⋯⋯ 1有333个。

能被 5 整除的自然数有多少个？
1000÷5=200有200个。

能被 7 整除的自然数有多少个？
1000÷7=142⋯⋯ 6有142个。

既能被 3 整除又能被 5 整除的自然数有多少个？
1000÷15=66⋯⋯ 10有66个。

既能被 3 整除又能被7 整除的自然数有多少个？
1000÷21=47⋯⋯ 13有 47个。

既能被 5 整除又能被7 整除的自然数有多少个？
1000÷35=28⋯⋯ 20有 28个。

能同被 3、 5、 7 整除的自然数的个数有多少个？
1000÷（ 3× 5×7） =9⋯⋯ 55有 9 个。

能被 3、 5、 7 中任何一个自然数整除的数一共有：
333+200+142－（ 66+47+28） +9=457 个。

所以不能被3、5、 7 中任何一个自然数整除的数一共有：1000 －543=457
例 3某个班的全体学生行了短跑、游泳、球三个目的，有 4 名学生在三
个目上都没有达到秀，其余每人至少有一个目达到秀。

部分达到秀的目、人数如下表：
短跑游泳球短跑游泳球短跑、游游泳球短跑泳、球
1718156652
：个班有多少名学生？
分析：本是复的容斥原理的目，可以画一个方形表示全班学生，再画三个相交的分表示短跑、游泳、球得秀的学生。

注意算短跑人数 +游泳人数 +球人数，短跑游泳人数、游泳球人数、球短跑人数分被算两次，而短跑游泳球人数被算了 3 次。

解答：至少一秀人数=短跑人数 +游泳人数 +球人数 - （短跑游泳人数+游泳球人
数+球短跑人数）+短跑游泳球人数=17+18+15-（ 6+6+5）+2=35 所以全班人数=至少一秀人数 +未得秀人数 =39。

明：本解中的公式是三个不同集合相互相交而得的所用的容斥原理公式，本也可依次算中每一小所代表的集合的人数最后再求和。

如所示，中分成8 个部分：G=短跑游泳球三秀人数=2
D=只有短跑游泳两秀人数=短跑、游泳秀人数 - 短跑游泳球三秀人数=6-2=4 E=只有游泳球两秀人数=游泳、球秀人数 - 短跑游泳球三秀人数=6-2=4 F=只有球短跑两秀人数=球、短跑秀人数 - 短跑游泳球三秀人数=5-2=3 A=只有短跑一秀人数=短跑秀人数- （D+G+F） =17- （ 4+2+3） =8
B=只有游泳一秀人数=游泳秀人数- （D+G+E） =18- （ 4+2+4） =8
C=只有球一秀人数=球秀人数- （E+G+F） =15- （ 4+2+3） =6
H=三个目均未达到秀人数=4；
所以A+B+C+D+E+F+G+H=8+8+6+4+4+3+2+4=39
例 4如下，在方形ABCD中， AD=15厘米， AB=8厘米，四形OEFG的面是9 平方厘米。

：阴影部分的面是多少平方厘米？
分析：注意到三角形 ABD、三角形 ACD面积的和比所求的阴影部分多算了三角形三角形 DOG面积的和，而这两个三角形的面积和可由三角形 AFD的面积减去四边形
AED与OEFG的
面积得到，这样就可以求出阴影部分的总面积。

解答：三角形ABD、三角形AFD、三角形ACD都可以 AD为底， AB为高，故它们的面积都等于 AD× AB÷ 2=15× 8÷ 2=60（平方厘米）。

阴影部分面积 =（三角形ABD面积 +三角形 ACD面积）－
（三角形AFD面积 - 四边形 DEFG面积）
=（ 60+60） - （ 60-9 ） =69（平方厘米）。

说明：本题还有其它（例 3 的第 2 中方法）的方法，请你想一想。

例 5某班同学参加期末测试，得优秀成绩的人数如下：数学20 人，语文 20 人，英语20 人，数学、英语两科都是优秀成绩的有8 人，数学、语文两科成绩都是优秀的有7 人，语文、英语两科成绩都是优秀的有9 人，三科都没得优秀成绩的有 3 人。

请问：这个班最多
有多少人？最少有多少人？
分析：如下图，数学、语文、英语得优秀成绩的的同学都包含在这个班中，设这个班有
y 人，用长方形表示.A 、 B、C 分别表示数学、语文、英语得优秀成绩的的人，由已知有A∩C=8， A∩ B=7， B∩ C=9， A∩ B∩ C=X.
解答：由容斥原理有
Y=A+B+C-A∩ B-A∩ C-B∩ C+A∩ B∩C+3
即y=20+20+20-7-8-9+x+3=39+x 。

以下我们考虑如何求 y 的最大值与最小值。

由 y=39+x 可知，当 x 取最大值时， y 也取最大值；当x 取最小值时， y 也取最小值。

因为x 是数学、语文、英语三科都得优秀成绩的人数，所以他们中的人数一定不超过两科得优秀
成绩的人数，即 x=7， x=8 且 x=9，由此我们得到 x=7. 另一方面数学得优秀成绩的的同学有可能
语文都没得优秀成绩的，也就是说也有这种可能：没有三科都得优秀成绩的的同学，
故x=0，故 x =0 或 x=7。

当x 取最大值 7 时， y 有最大值 39＋ 7=46，当 x 取最小值 0 时， y 有最小值 39＋0=39。

答：这个班最多有 46 人，最少有 39 人。

例 6五年级2班有46名学生参加三项课外兴趣活动，其中24 人参加了数学小组，20
3.5
又是三项活动都参加人数的7 倍，既参加文艺小组又参加语文小组相当于三项活动都参加人
数的 2 倍，既参加数学小组又参加语文小组的学生有10 人。

请问：参加文艺小组的学生有
多少人？
分析：这里涉及了三个对象：数学小组、语文小组、文艺小组，然而从题目的叙述来
看，在容斥原理的等式中都涉及了一个关键的量，即三项活动都参加人数。

因而必须先求出这个三项活动都参加人数。

再利用参加文艺小组的人数与它的关系即可求解。

解答：设三项活动都参加人数为x，根据题意得参加文艺小组的人数为7x，既参加数学小组又参加文艺小组的人数为7x÷3.5=2x ，既参加文艺小组又参加语文小组的人数为2x 。

根据容斥原理可以得到下面等式：
24+20+7x- （ 2x+2x+10 ） +x=46
4x=16
x=3人
所以： 7x=21 人。

所以：参加文艺小组的学生有21 人。

说明：在很多问题中涉及一个基准量，经过分析找到这个基准量后，问题便可以解决。

阅读材料
“ 1 名数学家 =10 个师”的由来
第二次世界大战中，美国曾经宣称：一名优秀的数学家的作用超过10 个师的兵力。

你可知这句话的由来吗？
1943 年以前，在大西洋上英美运输船队常常受到德国潜艇的袭击，当时，英美两国限
于实力，无力增派更多的护航舰，一时间，德军的" 潜艇战 " 搞得盟军焦头烂额。

为此，有位美国海军将领专门去请教了几位数学家，数学家们运用概率论分析后发现，
舰队与敌潜艇相遇是一个随机事件，按数学角度来看这一问题，它有一定的规律。

一定数量的船（如100 艘）编队规模越小，编次就越多（如每次20 艘，就要有 5 个编次）；编次越多，与敌人相遇的概率就越大。

比如 5 位同学放学都回自己家里，老师要找一位同学的话，
随便去哪家都行，但若这5位同学都在其中某一家的话，老师要找几家才能找到，一次找到的可能性只有20%。

美国海军接受了数学家的建议，命令船队在指定海域集合，再集体通过
危险海域，然后各自驶向预定港口。

结果奇迹出现了：盟军舰队遭袭被击沉的概率由原来的25%降低为 1%，大大减少了损失，保证了物资的及时供应。

练习题
1．如下图，长方形长为 4 厘米，宽为 3 厘米，请你求出四边形GHEF的面积。

分析与解答：所求四边形四条边的长都不知道，我们还不会直接求它的面积. 由于所求四边形面积与 4 个三角形面积之和等于长方形面积，我们可以利用容斥原理把不规则图形
HEFG的面积转化为求规则图形的面积。

S =S -S-S-S-S
△ GDH
HEFG ABCD△AHE△ EBF△CFG
3
1
3
1
2
1
31
1
1 411
2 2222
=7（平方厘米）
2．在边长是10 厘米的正方形纸片中间挖掉一个小正方形后，成为一个宽度为 1 厘米的方框，把 5 个这样的方框放在桌面上（如下图）。

请你算一算：桌面被这些方框所盖住的面
积是多少平方厘米？
分析：观察图，可知重叠部分相当于8 个边长 1 厘米的正方形。

222
3．张宏、王刚、李立三人练习投篮球，一共投了100 次，有 43 次没投进，已知张宏和
王刚一共投进了32 次，王刚和李立一共投进了46 次，王刚投进了多少次？
分析与解答：三人投的总次数减去没投进的次数，就是三人共投进100-43=57 次。

张宏和王刚、王刚和李立共投进的次数为32+46=78 次，这是三人共投进的次数，在加上王刚投
进的次数，从中减去共投进的次数，就是王刚投进的次数，列式为78-57=21 次，所以王刚投进了 21 次。

答：王刚投进了21 次。

4．育新小学举行各年级学生画展，其中有18 幅画不是六年级的，20 幅画不是五年级的。

现在知道五、六年级共展出22 幅画，请问：其他年级共展出多少幅画？
分析与解答：其中18幅不是六年级的，换句话说，一至五年级共展出18 幅， 20 幅不是五年级的，换句话说，就是一、二、三、四、六年级共展出20 幅，从中可以看出一、二、三、四年级总张数的 2 倍加上五、六年级张数的和，一共是18+20=38 幅，又因为五、六年
级共展出22 幅画，，因此一至四年级张数和的 2 倍是 38-22=16 张。

从而可以求出一至四年
级共展出16÷ 2=8 张。

答：其它年级共展出8 张。

5．在一根长木棍上，有三种刻度线，它们分别将木棍分成10 等分、 12 等分、 15 等分。

如果沿每条刻度线把木棍锯断，请问：木棍总共被锯成多少段？
分析：由于木棍的端点处没有刻度线，所以，这三种刻度线分别有10-1=9（条），12-1=11（条），15-1=14 （条），不妨设木棍长为60 厘米。

那么，与三种刻度线相对应的每一份长分
别是： 60÷10=6（厘米）， 60÷ 12=5（厘米）， 60÷ 15=4（厘米）。

根据 5 和 6 的最小公倍数是 30，可算出第一、第二种刻度线重复的条数是60÷ 30-1=1（条），用同样的方法可以求出：
另两种重复的刻度线分别有 2 条、 4 条。

解答：（ 9＋ 11＋ 14-1-2-4 ）＋ 1=28（段）
想一想：（ 1）在计算刻度线条数时为什么都要减去1？（ 2）为什么可以设木棍长是60厘米？（ 3）最后为什么要用所有刻度线条数加1？
6．某班 45 名同学参加了体育测试，其中百米得优者20 人，跳远得优者18 人，又知百米、跳远均得优者7 人，跳高、百米均得优者 6 人，跳高、跳远均得优者8 人，跳高得优者22 人，全班只有 1 名同学各项都没达到优，请问：三项都是优的有多少人？
解答：设三项都达到优的有x 人，由逐步排除法有：
20+18+22-7-8-6+x+1=45
解得 x=5
7．“六一”儿童节，某校有25 个小朋友得奖，学校为他们准备了甲、乙、丙三种奖品
让他们自由选择，有 14 人要甲种奖品， 12 人要乙种奖品， 10 人要丙种奖品，其中 4 人既要甲种
又要乙种，但不要丙种奖品，2 人既要甲种又要丙种，但不要乙种，只有1 人三种都要。

每个小
朋友至少选择其中的一种，请问：有多少人要乙种和丙种而不要甲种奖品？
分析与解答：根据题意，可以画图表示已知量之间的关系，并用 A、B、C表示图中的三个未
知量。

则
A+B=10-(2+1)=7
B+C=12-(4+1)=7
A+B+C=25-14=11
B=(A+B)+(B+C)-(A+B+C)=7+7-11=3(人)
8．如下图，在桌面上放置两两重叠，边长都相等的三个正方形纸片。

已知盖住桌面的
总面积是 144 平方厘米。

三张纸片共同重叠部分的面积是 42 平方厘米，图中阴影面积为 72 平方厘米。

请问：正方形的边长是多少厘米？
解答：三个正方形总面积是：144+阴影面积× (2-1)+ 中间重叠面积×(3-1)=144+72 ×(2-1)+42 × (3-1)=300(平方厘米)；每一个正方形的面积是：300÷ 3=100( 平方厘米 ) ；因为
一个正方形面积是100 平方厘米，所以正方形边长是10 厘米。

9．某班四年级时、五年级时和六年级时分别评出10 名三好学生，又知四、五年级连续
三好生 4 人，五、六年级连续三好生 3 人，四年级六年级两年评上三好生的有 5 人，四、五、六三年没评过三好生的有20 人，请问：这个班最多有多少名同学？最少有多少名同学？
解答：设该班有y 人，三年连续三好生有x 人，由容斥原理有
y=10+10+10-3-4-5+x+20
y=38+x
由于三年都连续包含在三年连续中，故0 ≤ x≤ 3。

y 的最大值 =38+3=41；
y 的最小值 =38+0=38。

答：该班最多有41 人，最少有38 人。

10．某校五年级二班有49 人参加了数学、英语、语文学习小组，其中数学有30 人参加，
英语有 20 人参加，语文小组有10 人 . 老师告诉同学既参加数学小组又参加语文小组的有3人，既参加数学又参加英语和既参加英语又参加语文的人数均为质数，而三种全参加的只有
1人，请问：你能求出既参加英语又参加数学小组的人数吗？
分析与解答：根据已知条件可以画出集合图 . 根据已知三圆盖住的总体为 49 人， A=30，B=20，
C=10， A∩ B=X， B∩ C=Y， A∩ C=3， A、 B、C 的公共部分记为 A∩ B∩ C=1，由逐步排除
法有 49＝ A＋ B＋ C-A∩ B-B∩ C-A∩ C+A∩B∩ C，即：49=30+20+10-x-y-3+1
由
故 x+y=9 。

由于 x，y 都是质数，而它们的和为奇数
x+y=9 知另一个质数为7。

9. 因而这两个质数中必有一个偶质数2，另外答：既参加英语又参加数学小组的人为 2 个或7 个。