(完整版)容斥原理例题.docx

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学科:奥数

教学内容:第四讲容斥原理(二)

上一我已初步研究了的容斥原理,今天我研究复的容斥。

例 1五年一班有45 名同学,每人都极名参加暑假体育班,其中足球班

的有 25 人,球班的有20 人,游泳班的有30 人,足球、球都者有10 人,足球、游泳都者有10 人,足球、球都者有12 人。:三都的有多少人?

分析:由于比复,我把它化成下. 要算阴影部分的面,我A∩ B A 与 B 公共部分的面,B∩C B 与 C 公共部分的面,A∩ C 表示 A 与 C

的公共部分的面,x 阴影部分的面形盖住的面:A+B+C-A∩ B-B∩ C-A∩ C+X。同学注意:阴影部分的面先加了 3 次,然后又被减了 3 次,最后又加了 1 次。

解答:三都的有x 人,由容斥原理有

30+25+20-10-10-12+x=45

解得 x=2 。

答:三都名的有 2 人。

明:在“ A+B+C-A∩ B-B∩ C-A∩ C+X”式中, A,B, C, A∩ B, B∩ C,A∩ C, x 和量

8 个数中,只要知道了7 个数,就可通列方程求出第8 个数。

例 2从1至10001000 个自然数中,不能被3、5、7 中任何一个自然数整除的数一

共有多少个?

分析:第一步先求出:能被3、 5、 7 中任何一个自然数整除的数一共有多少个?第二

步再求出:不能被 3、5、7 中任何一个自然数整除的数一共有多少个?能被 3 整除的自然数的个数 +能被 5 整除的自然数的个数+能被 7 整除的自然数的个数-(既能被 3 整除又能被5整除的自然数的个数+既能被 3 整除又能被7 整除的自然数的个数+既能被 5 整除又能被7整除的自然数的个数)+能同被3、5、7 整除的自然数的个数=能被 3、5、7 中任何一个自

然数整除的数的个数。

解答:能被 3 整除的自然数有多少个?

1000÷3=333⋯⋯ 1有333个。

能被 5 整除的自然数有多少个?

1000÷5=200有200个。

能被 7 整除的自然数有多少个?

1000÷7=142⋯⋯ 6有142个。

既能被 3 整除又能被 5 整除的自然数有多少个?

1000÷15=66⋯⋯ 10有66个。

既能被 3 整除又能被7 整除的自然数有多少个?

1000÷21=47⋯⋯ 13有 47个。

既能被 5 整除又能被7 整除的自然数有多少个?

1000÷35=28⋯⋯ 20有 28个。

能同被 3、 5、 7 整除的自然数的个数有多少个?

1000÷( 3× 5×7) =9⋯⋯ 55有 9 个。

能被 3、 5、 7 中任何一个自然数整除的数一共有:

333+200+142-( 66+47+28) +9=457 个。

所以不能被3、5、 7 中任何一个自然数整除的数一共有:1000 -543=457

例 3某个班的全体学生行了短跑、游泳、球三个目的,有 4 名学生在三

个目上都没有达到秀,其余每人至少有一个目达到秀。部分达到秀的目、人数如下表:

短跑游泳球短跑游泳球短跑、游游泳球短跑泳、球

1718156652

:个班有多少名学生?

分析:本是复的容斥原理的目,可以画一个方形表示全班学生,再画三个相交的分表示短跑、游泳、球得秀的学生。注意算短跑人数 +游泳人数 +球人数,短跑游泳人数、游泳球人数、球短跑人数分被算两次,而短跑游泳球人数被算了 3 次。

解答:至少一秀人数=短跑人数 +游泳人数 +球人数 - (短跑游泳人数+游泳球人

数+球短跑人数)+短跑游泳球人数=17+18+15-( 6+6+5)+2=35 所以全班人数=至少一秀人数 +未得秀人数 =39。

明:本解中的公式是三个不同集合相互相交而得的所用的容斥原理公式,本也可依次算中每一小所代表的集合的人数最后再求和。如所示,中分成8 个部分:G=短跑游泳球三秀人数=2

D=只有短跑游泳两秀人数=短跑、游泳秀人数 - 短跑游泳球三秀人数=6-2=4 E=只有游泳球两秀人数=游泳、球秀人数 - 短跑游泳球三秀人数=6-2=4 F=只有球短跑两秀人数=球、短跑秀人数 - 短跑游泳球三秀人数=5-2=3 A=只有短跑一秀人数=短跑秀人数- (D+G+F) =17- ( 4+2+3) =8

B=只有游泳一秀人数=游泳秀人数- (D+G+E) =18- ( 4+2+4) =8

C=只有球一秀人数=球秀人数- (E+G+F) =15- ( 4+2+3) =6

H=三个目均未达到秀人数=4;

所以A+B+C+D+E+F+G+H=8+8+6+4+4+3+2+4=39

例 4如下,在方形ABCD中, AD=15厘米, AB=8厘米,四形OEFG的面是9 平方厘米。:阴影部分的面是多少平方厘米?

分析:注意到三角形 ABD、三角形 ACD面积的和比所求的阴影部分多算了三角形三角形 DOG面积的和,而这两个三角形的面积和可由三角形 AFD的面积减去四边形

AED与OEFG的

面积得到,这样就可以求出阴影部分的总面积。

解答:三角形ABD、三角形AFD、三角形ACD都可以 AD为底, AB为高,故它们的面积都等于 AD× AB÷ 2=15× 8÷ 2=60(平方厘米)。

阴影部分面积 =(三角形ABD面积 +三角形 ACD面积)-

(三角形AFD面积 - 四边形 DEFG面积)

=( 60+60) - ( 60-9 ) =69(平方厘米)。

说明:本题还有其它(例 3 的第 2 中方法)的方法,请你想一想。

例 5某班同学参加期末测试,得优秀成绩的人数如下:数学20 人,语文 20 人,英语20 人,数学、英语两科都是优秀成绩的有8 人,数学、语文两科成绩都是优秀的有7 人,语文、英语两科成绩都是优秀的有9 人,三科都没得优秀成绩的有 3 人。请问:这个班最多

有多少人?最少有多少人?

分析:如下图,数学、语文、英语得优秀成绩的的同学都包含在这个班中,设这个班有

y 人,用长方形表示.A 、 B、C 分别表示数学、语文、英语得优秀成绩的的人,由已知有A∩C=8, A∩ B=7, B∩ C=9, A∩ B∩ C=X.

解答:由容斥原理有

Y=A+B+C-A∩ B-A∩ C-B∩ C+A∩ B∩C+3

即y=20+20+20-7-8-9+x+3=39+x 。

以下我们考虑如何求 y 的最大值与最小值。

由 y=39+x 可知,当 x 取最大值时, y 也取最大值;当x 取最小值时, y 也取最小值。因为x 是数学、语文、英语三科都得优秀成绩的人数,所以他们中的人数一定不超过两科得优秀

成绩的人数,即 x=7, x=8 且 x=9,由此我们得到 x=7. 另一方面数学得优秀成绩的的同学有可能

语文都没得优秀成绩的,也就是说也有这种可能:没有三科都得优秀成绩的的同学,

故x=0,故 x =0 或 x=7。

当x 取最大值 7 时, y 有最大值 39+ 7=46,当 x 取最小值 0 时, y 有最小值 39+0=39。答:这个班最多有 46 人,最少有 39 人。

例 6五年级2班有46名学生参加三项课外兴趣活动,其中24 人参加了数学小组,20

3.5

又是三项活动都参加人数的7 倍,既参加文艺小组又参加语文小组相当于三项活动都参加人

数的 2 倍,既参加数学小组又参加语文小组的学生有10 人。请问:参加文艺小组的学生有

多少人?

分析:这里涉及了三个对象:数学小组、语文小组、文艺小组,然而从题目的叙述来

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