第五讲 函数的定义域与值域

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[分析] 根据复合函数定义域的含义求解. [解析] (1)∵f(x)的定义域是[0,1], ∴要使f(x2)有意义,则必有0≤x2≤1, 解得-1≤x≤1. ∴f(x2)的定义域为[-1,1].
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②由0≤ x 1≤1得1≤ x≤2.1≤x≤4(x≥0时, x才有意义) 函数f ( x 1)的定义域为1, 4 2 0≤x≤9,1≤x 1≤10, 0≤lg x 1 ≤1 f x 的定义域为 0,1.由0≤2 x ≤1, 解得x≤0. f 2 x 的定义域为 , 0 . f lg x 1 的定义域为0,9 ,
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3 解法一 : 利用函数的有界性将原函数化为sinx ycosx 2y,
1 y (sinx
2
1 1 y y
2 2

y 1 y
2
cosx) 2 y, 令cos
1 1 y2
且sin
1 y
, 2y ,| 2y 1 y
2
sin(x ) 平方得3y 2 ≤1,
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4 4 2 解法一 : 当x 0时, y x ≥2 x 4, x x 4 4 当且仅当x 2时, 取等号;当x 0时, y ( x) ≤ 2 ( x) x x 4,当且仅当x 2时, 取等号. 综上, 所求函数的值域为 , 4 4, .
解析 :由已知得0≤16 4x 16,0≤ 16 4 x 16 4, 即函数y 16 4 x的值域是0, 4 , 选C.
答案:C
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3.函数y=x2-2x的定义域为{0,1,2,3},那么其值域为( A.{-1,0,3} C.{y|-1≤y≤3} 答案:A B.{0,1,2,3} D.{y|0≤y≤3}
第五讲
函数的定义域与值域
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回归课本 1.函数的定义域 函数的定义域是指使函数有意义的自变量的取值范围.
注意:(1)确定函数定义域的原则:
①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的定义域是指表格中实数 x的集合; ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的定义域是指图象在x轴 上投影所覆盖的实数的集合;
f x 1 x 1 x
2

2
1 x2 x 1 x
2
.
2 令f x 0, 得 1 x x 0, 得x , 2 2 f 2 2, 又f 1 1, f 1 1, f x max 2 f 2 2, f ( x) min f (1) 1.
1 y
2
≤1,
3 3 3 3 ≤y≤ , 原函数的值域为 , . 3 3 3 3
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解法二 : 数形结合法或图象法. sinx 0 ( sinx) 原函数式可化为y 2 cosx 2 cosx 此式可以看作点 2, 0 和 cosx, sinx 连线的斜率, 而点 cosx, sinx 的轨迹方程为x 2 y 2 1, 如图所示, 在坐标系中作出圆x 2 y 2 1和点 2, 0 . 由图可看出,当过 2, 0 的直线与圆相切时, 斜率分别 取得最大值和最小值,由直线与圆的位置关系知识, 可设直线方程为y k x 2 , 即kx y 2k 0,
确定.
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考点陪练
1 1.(2010 湖北)函数 的定义域为（ ） log 0.5 (4 x 3) 3 A. ,1 4 C.(1, ) 3 B. , 4 3 D. ,1 (1, ) 4
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最后定义域必须写成集合或区间的形式.
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(2)确定函数的定义域 ①当f(x)是整式时,其定义域为R. ②当f(x)是分式时,其定义域是使得分母不为0的实数的集合.
③当f(x)是偶次根式时,其定义域是使得根号内的式子大于或
等于0的实数的集合. ④对于x0,x不能为0,因为00无意义.
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⑤f(x)=tanx的定义域为
x | x R, 且x k , k Z . 2
⑥f(x)=logax(a>0且a≠1)的定义域为{x|x>0}. ⑦由实际问题确定的函数,其定义域要受实际问题的约束,要 具体问题具体分析.
⑧分段函数的定义域是各段中自变量取值范围的并集.
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⑨抽象函数f(2x+1)的定义域为(0,1),是指x∈(0,1)而非 0<2x+1<1;已知函数f(x)的定义域为(0,1),求f(2x+1)的定义 域时,应由0<2x+1<1得出x的范围即为所求.
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【典例1】求函数f x
lg ( x 2 2 x) 9 x2
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解法二 : 先证此函数的单调性任取x1 , x 2 , 且x1 x 2 , 4 ( x1 x2 )( x1 x2 4) x2 x2 x1 x2 当x1 x 2 2或2 x1 x 2时, f x 递增, 4 f x1 f x 2 x1 x1 当 2 x 0或0 x 2时, f x 递减.故x 2时, f x 极大 f 2 4, x 2时, f x 极小 f 2 4, 所求函数的值域为 , 4 4, .
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5.函数y=f(x)的值域是[-2,2],定义域是R,则函数y=f(x-2)的值 域是( A.[-2,2] C.[0,4] ) B.[-4,0] D.[-1,1]
答案:A
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类型一
函数的定义域
解题准备:(1)已知解析式求定义域的问题,应根据解析式中各 部分的要求,首先列出自变量应满足的不等式或不等式组, 然后解这个不等式或不等式组,解答过程要注意考虑全面,
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[分析] 本题主要考查函数值域问题,考查运算能力､数形转 化的思想,对于(1),利用换元法转化为二次函数的值域问题; 对于(2),利用基本不等式或利用函数的单调性求解;对于 (3),由函数的有界性或由几何法求解;对于(4),用求导数法 求解.
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1 t2 [解] 1 解法一 : 设 1 2 x t(t≥0), 得x , 2 1 t2 1 1 y t (t 1)2 1≤ (t≥0), 2 2 2 1 y . 2
[答案] [1,4] (-∞,0]
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类型三
求函数的值域
解题准备:求函数值域的总原则:由定义域､对应法则f在等价 条件下,巧妙地转化为与y有关的不等式.求值域问题技巧性 强,要根据题目特点确定合理的方法,因与函数的最值密切
相关,常可转化为求函数的最值问题.
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【典例3】 (1) y x 1 2 x ; 4 (2) y x ; x sinx (3) y ; 2 cosx (4) y x 1 x 2 .求下列函数的值域 :
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1 解法二 : 1 2x≥0, x≤ , 2 1 1 定义域为 , . 函数y x, y 1 2 x在 , 2 2 上均单调递增, 1 1 1 1 y≤ 1 2 , y , . 2 2 2 2
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类型二
复合函数的定义域
解题准备:已知f[g(x)]的定义域为x∈(a,b),求f(x)的定义域,其 方法是:利用a<x<b,求得g(x)的范围,此即为f(x)的定义域. 已知f(x)的定义域为x∈(a,b),求f[g(x)]的定义域,其方法是:利
用a<g(x)<b,求得x的范围,此即为f[g(x)]的定义域.
解析 :由log 0.5 4x 3 0且4x 3 0得0 4x 3 1, 3 3 x 1.即函数的定义域是 ,1 , 选A. 4 4
答案:A
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2.(2010 重庆)函数y 16 4 x的值域是（ ） A.0, C.0, 4 B.0, 4 D. 0, 4
定义域经常作为基本条件出现在试题中,具有一定的隐蔽性. 所以在解决函数问题时,必须按照“定义域优先”的原则, 通过分析定义域来帮助解决问题.
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【典例2】 (1)已知函数f(x)的定义域为[0,1],求下列函数的定 义域:①f(x2);② f ( x 1). (2)已知函数f[lg(x+1)]的定义域是[0,9],则函数f(2x)的定义域 为________.
值域为[1, 2 ].
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)
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3x 2 4.函数f x lg 3x 1的定义域是（ ） 1 x 1 1 A. , B. ,1 3 3 1 1 C. , 3 3
答案:B
1 D. , 3
定义域.
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Fra Baidu bibliotek
(3)复合函数定义域的求法: 若已知函数f(x)的定义域为[a,b],其复合函数f[g(x)]的定义域 应由不等式a≤g(x)≤b解出.
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2.函数的值域 在函数y=f(x)中,与自变量x的值相对应的y的值叫函数值,函 数值的集合叫做函数的值域.
注意:确定函数的值域的原则
①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中实数y 的集合; ②当函数y=f(x)用图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上 的投影所覆盖的实数y的集合;
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③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域 及其对应关系唯一确定; ④当函数由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义
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③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的定义域是指使解析式 有意义的实数的集合; ④当函数y=f(x)由实际问题给出时,函数的定义域由实际问题
的意义确定.
(2)定义域可分为自然定义域与限定定义域两类: ①如果只给函数解析式(不注明定义域),其定义域应为使解析 式有意义的自变量的取值范围,称为自然定义域; ②如果函数受应用条件或附加条件制约,其定义域称为限定
的定义域.
[分析] 只需要使解析式有意义,列不等式组求解.
2 x 2 x 0, [解]要使函数有意义, 则只需要 : 2 9 x 0, x 2或x 0. 即 3 x 3,
解得 3 x 0或2 x 3.故函数的定义域是
3, 0 2,3 .
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| 2k | 1 k 2
1, 解得k
3 , 3
3 3 斜率的范围是 , , 3 3 3 3 sinx 即函数y 的值域为 , . 2 cosx 3 3
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4 函数的定义域为 1,1.当x 1,1时,