第10讲-隐函数组求导方法

第10讲 隐函数组的导数及其几何应用
讲授内容
一、几何应用
1.平面曲线的切线与法线
若平面曲线方程0),(=y x F 在点),(000y x P 的某邻域内满足隐函数定理条件，则该曲线在点0P 处存在切线和法线，其方程分别为
切线：,0))(,())(,(000000=-+-y y y x F x x y x F y x 法线：.0))(,())(,(000000=---y y y x F x x y x F x y
事实上：由条件可知，0),(=y x F 在0P 附近所确定的连续可微隐函数)(x f y =，从而该曲线在点0
P 处存在切线斜率)
,()
,()(00000y x F y x F x f k y x -
='=，其切线和法线方程分别为
))(('000x x x f y y -=- 和 )()
('1
000x x x f y y --
=- 例1 求笛卡儿叶形线09)(23
3
=-+xy y x 在点)1,2(处的切线与法线。

解：设,9)(2),(3
3
xy y x y x F -+=于是x y F y x F y x 96,962
2-=-=在xoy 平面连续，且
.012)1,2(,015)1,2(≠-=≠=y x F F 因此，分别求得曲线在点)1,2(的切线方程与法线方程分别为
0)1(12)2(15=---y x 即,0645=--y x 0)1(15)2(12=----y x 即.01354=-+y x
2. 曲面的切平面与法线
若由方程0),,(F =z y x 所确定的曲面在点),,(0000z y x P 的某邻域内满足隐函数定理条件（这里不妨设
.0),,(000≠z y x F z ），则该曲面在0P 处有切平面与法线，它们的方程分别是
()+-+-00000000),,())(,,(y y z y x F x x z y x F y x ()0),,(0000=-z z z y x F z
.)
,,(),,(),,(0000
00000000z y x F z z z y x F y y z y x F x x z y x -=-=-
事实上：由条件知0),,(F =z y x 在点0P 附近确定惟一连续可微的隐函数),(y x f z =使得
),(000y x f z =，且
.)
,,(),,(,),,(),,(z y x F z y x F y z z y x F z y x F x z
z y z x -=∂∂-=∂∂从而得到该曲面在0P 处有切平面与法线方程. ().)
,,(),,()(),,()
,,(000000000000000y y z y x F z y x F x x z y x F z y x F z z z y z x --
--=- .1)
,,(),,(),,(),,(0
00000000000000--=--=--z z z y x F z y x F y y z y x F z y x F x x z y z x
例2 求椭圆面6322
22=++z y x 在(1,1,1)处的切平面方程与法线方程。

解：设.632),,(2
22-++=z y x z y x F 由于z F y F x F z y x 6,4,2===在全空间上处处连续.在)
1,1,1(处6,4,2===z y x F F F .因此，切平面方程为,0)1(6)1(4)1(2=-+-+-z y x 即 632=++z y x ，法线方程为
.3
1
2111-=-=-z y x 3. 空间曲线的切线与法平面
（1）下面我们讨论由参数方程βα≤≤===t t z z t y y t x x ),(),(),( 表示的空间曲线
L ，在某一点),,(0000z y x P 处的切线和法平面方程. 当
[][][]
0)(')('('2
2
2
)
0≠++t z t y t x 时，则空间曲线L 在某一点),,(0000z y x P 处的切线方程为
.)
(')(')('000000t z z z t y y y t x x x -=-=- 法平面方程为 .0))(('))(('))(('000000=-+-+-z z t z y y t y x x t x 事实上：在曲线L 上点0P 附近选一点),,(),,(000z z y y x x P z y x P ∆+∆+∆+=。

连接L 上的点0P 与P 的割线方程为
,0
00z
z z y y y x x x ∆-=∆-=∆-其中).()(),()(),()(000000t z t t z z t y t t y y t x t t x x -∆+=∆-∆+=∆-∆+=∆
以t ∆除上式各分母,得
.0
00t
z z z t y y y t x x x ∆∆-=∆∆-=∆∆-当0→∆t 时,0P P →,且 ),('),('),('000t z t
z
t y t y t x t x →∆∆→∆∆→∆∆即得曲线L 在0P 处的切线方程为
.)(')(')('000000t z z z t y y y t x x x -=-=- （2）设空间曲线L 的方程为⎩⎨
⎧==0
),,(,0),,(z y x G z y x F . 当
()0,)
,(0
≠∂∂P y x G F ，．则空间曲线．．．．⎩⎨⎧==0
),,(,
0),,(z y x G z y x F L ：点．0P 附．
近可表示成参量方程如下：．．．．．．．．．．．． )(z x ϕ=，．)(z y φ=，．z z =，．且． .)
,(),(),(),(,),(),(),(),(y x G F z x G F dz dy y x G F y z G F dz dx ∂∂∂∂-=∂∂∂∂-= 在．0P 处．
的切线方程为．．．．．． .10000
z z dz dy y y dz
dx
x x P P -=-=
- 法平面方程为．．．．．． ()
()().00000
0=-+-+-z z y y dz dy
x x dz dx P P 例3 求球面502
2
2
=++z y x 与锥面2
2
2
z y x =+所截出的曲线在点(3,4,5)处的切线与法平面方程。

解：设.),,( ,50),,(2
2
2
2
2
2
z y x z y x G z y x z y x F -+=-++=它们在点(3,4,5)处的偏导数和雅可比行列式之值为：
10,8,6=∂∂=∂∂=∂∂z F y F x F ， 10,8,6-=∂∂=∂∂=∂∂z G y G x G ，且()()()
.0,)
,(,120,),(,160,),(=∂∂=∂∂-=∂∂y x G F x z G F z y G F 所以曲线在点(3,4,5)处的切线方程为：,0
5
12041603-=-=--z y x 法平面方程为：.034=-y x
二、 隐函数组的求导法则
设),,,(v u y x F 和),,,(v u y x G 为定义在区域4
R V ⊂上的两个四元函数.若存在平面区域D ，对于D 中每一点),(y x 分别有区间J 和K 上唯一的一对值K v J u ∈∈,，它们与y x ,一起满足方程组
⎩⎨
⎧==,
0),,,(,
0),,,(v u y x G v u y x F （1）
则说方程组（1）确定了两个．．定义在2
R D ⊂上，值域分别落在J 和K 内的函数.我们称这两个函数．．．．为由方程组（1）所确定的隐函数组.
若由两个四元函数．．．．．．．．),,,(v u y x F 和．),,,(v u y x G 所确定的定义在区域．．．．．．．．．D 上的隐函数组分别记为．．．．．．．．．．
),(y x f u = 、．),(y x g v =，则在．．．D 上成立恒等式
．．．．．． {
.
0)),(),,(,,(,
0)),(),,(,,(≡≡y x g y x f y x G y x g y x f y x F
为了探索由方程组（1）确定隐函数组所需要的条件，不妨假设（1）中的函数
F 与
G 是可微的，而
且由（1）所确定的两个隐函数u 与v 也是可微的。

那么通过对方程组（1）关于y x ,分别求偏导数，得到 （2） ⎩⎨
⎧=++=++,0,
0x v x u x x v x u x v G u G G v F u F F ， （3）
⎩⎨
⎧=++=++,0,
0y v y u y
y v y u y v G u G G v F u F F 欲从（．．．2．）解出．．．x u 与．x v ，从（．．．3．）解出．．．y u 与．y v ，其充分条件是它们的系数行列式不为零，即．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．
.0≠v u v u
G G F F 而行列式.v
u v
u G G F F 称为函数),,,(v u y x F 、),,,(v u y x G 关于变量v u ,的函数行列式（或雅可比)(Jacobi 行列式），亦可记作.)
,()
,(v u G F J ∂∂=
且有 ,),(),(1,),(),(1x u G F J x v v x G F J x u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂ .)
,()
,(1,),(),(1y u G F J y v v y G F J y u ∂∂-=∂∂∂∂-=∂∂ 例4 设方程组⎩⎨⎧=+-+-==--+=0
1),,,(,
0),,,(222xy v u v u y x G y x v u v u y x F 在点)2,1,1,2(0P 近旁确定隐函数组)
,(),,(v u y y v u x x ==的，并求其偏导数。

解: 我们想求得),(),,(v u y y v u x x ==的偏导数，只需对方程组两边分别关于v u ,求偏导数，得到
⎩
⎨⎧=---=--,01,
022u u u u xy yx y xx u ，
⎩
⎨
⎧=--=--.01,
022v v v v yx xy y xx v 解出 .222,21222y x yu x y y x xu x u u -+-=-+=
和.222,2122
2y
x yv
x y y x xv x u v ---=--= 例5 求方程组⎩
⎨
⎧=-=++010xyz z y x 确定的隐函数组)(),(x z z x y y ==的导数dx dz
dx dy ,
解：该方程组确定隐函数组)(),(x z z x y y ==.在方程组两边对x 求导得：
⎩⎨⎧='+'+='+'+001z xy y xz yz z y ，解方程得：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧--=
'--=')()()()
(z y x y x z z z y x x z y y。