图形旋转的一个重要性质及其应用

图3

图

1 图2

图形旋转的一个重要性质及其应用

441021 湖北省襄樊市第七中学 曾庆丰*

图形的旋转是新课程中的一个新增内容，在各省市中考中占有相当的比重，然而由于教材对旋转的性质介绍的较少，再加上这类问题的图形往往比较复杂，常使人“眼花缭乱”，致使同学们求解起来颇感困惑．本文介绍图形旋转的一个重要性质及其应用，望对同学们分析和解决这类问题有所帮助．

1 性质及证明

性质 一个图形绕一个点旋转得到另一个图形，则对应边所在直线的夹角β（0900≤<β）与旋转角α（0

1800<<α）相等或互补（记为性质*）．

证明 下面以两条线段为例来证明．

（1）当旋转角小于或等于900时：如图1，线段AB 绕点O 逆时针旋转α（0

900≤<α）得线段

A /

B /．

∵ ∠AOA /=∠BOB /=α， ∴ ∠AOB =∠A /OB /． 在△AOB 和△A /OB /中，

⎪⎩

⎪⎨⎧=∠=∠=,,,

////OB OB OB A AOB OA OA

∴ //B OA OAB ≅∆，

∴ ∠A =∠A /． 又∵ ∠ADO =∠A /DC ， ∴ ∠ACA /=∠AOA /=α， 即β=α．

（2）当旋转角大于900且小于1800时：如图2，延长AB 交OA /于点D ，A /B /于点C ，同理（1），得∠ACA /=∠AOA /=α．而∠β+∠ACA /=1800，故

β+α=1800．

综合（1）、（2）即可获证．

注 由上述性质我们还可以得到如下推论：一个图形绕一个点旋转得到另一个图形，则每组对应边所在直线形成的夹角都相等且与旋转角相等或互补．

2 性质的应用

例1 如图3，△ABC 中，∠ACB =900，AC =BC ，将△ABC 绕点C 旋转角α（00900<<α）后得到

△A 1B 1C ，连结BB 1，又CB 1交AB 于点D ，A 1B 1分别交AB 、AC 于点E 、F ．若要使△BB 1D 是以B 1D 为底边的等腰三角形，求旋转角α．

解析 由等腰直角三角形及旋转的性质，易得∠2=∠5=450；因为线段AB 和线段A 1B 1是对应边，由性质“*”，得∠1=α，所以∠3=∠2+∠1 =450+α．要使△BB 1D 是以B 1D 为底边的等腰三角形，则有∠3=∠4，而CB =CB 1，所以∠4=∠CBB 1

图

4

图5

图6

图8

图

7 =2

1800α-，故450+α=21800α-．解得α=300．

注 本题的图形比较复杂，识图的关键是抓住旋转前后图形的对应关系，这其中包括对应点、对应边及对应三角形．

例2 如图4，D 在线段AB 上，△ACD 和△CBE 均为等边三角形．

（1）△CDE 能否由△CAB 通过旋转得到，请说明理由；

（2）若点D 为线段AB 的中点，试判断线段AC 与DE 线段的位置关系和数量关系，并说明理由．

解析 （1）因为△ACD 和△CBE 为等边三角形，所以∠1=∠2=600，CA =CD ，CB =CE ，由旋转的定义，得△CDE 是由△CAB 绕点D 逆时针旋转600

得到；（2）因为线段AB 和线段DE 是对应边，由性质“*”，得∠4=∠1=∠A =600，所以AC ∥DE ；又因为DA =DB =DC ，所以∠ACB =900，所以∠3=900-∠A = 300，故AB AC 21=

，而AB =DE ，所以DE AC 2

1

=．

注 证明一个图形能否由另一个图形旋转得到，必须证明两点：（1）对应点到旋转中心的距离相等；（2）对应点与旋转中心连线所成的角相等，两点缺一不可，而同学们在证明旋转时，常常犯“全等即旋转”的错误，应引起我们的重视；另外，在表述旋转时，一定要包含旋转的三要素，即旋转中心、旋转方向和旋转角．

例3 在矩形ABCD 中，∠ACB=300，现将矩形ABCD 绕着点A 顺时针旋转α得矩形AB 1C 1D 1，

C 1B 1的延长线交直线BC 于点E ，连结AE ．

（1）如图5，当α=600时，∠AEC= ； （2）如图6，当α=900时，∠AEC= ； （3）如图7，当001200<<α时，猜想∠AEC 的度数，并证明你的结论；

（4）如图8，当00180120<<α时，（3）中得到的结论还成立吗？若不成立，试探究∠AEC 的度数，并写出你的结论（不需要证明）．

解析 由旋转的性质，易证1AEB ABE ∆≅∆，所以∠1=∠2．

（1）因为线段BC 和线段B 1C 1是对应边，由性

质“*”，0

603==∠α，所以=∠-=

∠=∠2

3

180210 600．所以∠AEC=∠2+∠3=1200；

（2）同理（1），得∠AEC=1350；

（3）因为线段BC 与线段B 1C 1是对应边，由性质“*”，得（∠2+∠1）+α=1800．又因为∠1=∠2，

所以∠2=2

1800α

-，而∠3=1800-（∠2+∠1）=α，

所以∠AEC==∠2+∠3=21800α-+α=2900α

+；

（4）由（3），得∠1=∠2=

2

90218000α

α-=-，所以∠AEC=2

900α

-

．

注 当旋转角为锐角或直角时，对应边所在直线的夹角等于旋转角；当旋转角为钝角时，对应边所在直线的夹角与旋转角互补．

上述性质虽然在考试中不一定能直接使用，但由于该性质的证明过程比较简单，在使用前，略作证明即可．记住并掌握该性质对提高我们的识图能力、发现旋转中的等量关系等都是大有裨益的．

曾庆丰，全国数学优质课一等奖获得者，襄樊名师．系人民教育出版社课标实验教材讲师团成员，湖北省骨干教师培训授课教师，襄樊市教育讲师团教师，襄城区数学兼职教研员，市七中教科室主任．先后在《数学通报》、《数学教学》、《中学数学教学参考》等30余种数学专业类期刊上发表专业论文150余篇，近10篇被人大报刊复印社《中学数学教与学》全文转载；主编（参编）《人教版新课标教材教师用书》、《中考复习指南》、《中学数学思想方法》等教、学辅书籍28部；主持（参与）国家、省、市级课题各一项，主讲省级以上示范课、学术报告20余次（场），培训各级骨干教师万余人．现为《中学数学》、《中学数学教学参考》等10余家报刊社特邀编辑、编委和特邀撰稿人．