静态模型静态特性指标

说明： a. 线性检测系统：灵敏度为常数； y a bx K b
b. 非线性检测系统：灵敏度为变数 y f (x) K df (x)
dx
例：间隙式平板电容传感器 C S
d
灵敏度
K
C d
S d2
双曲线、非线性
10
检测系统的动态特性
动态特性：检测系统在被测量随时间变化的条件下输入输出关系
a0 y(t) b0x(t)
一阶系统：
例: 无质量单自由度振动系统、无源积分电路、
液位温度计
a1
dy(t) dt

a0
y(t)

b0
x(t
)
dy(t) y(t) Kx(t)
dt
12
检测系统的动态特性
二阶系统：
a2
d 2 y(t) dt2

a1
dy(t) dt

a0 y(t)

b0x(t)
x(t)


A
t0
当>1时： 无过冲，无震荡，过阻尼
曲线上升慢，响应速度低
当<1时： 产生衰减震荡 欠阻尼
曲线上升块，响应速度高
当=1时：临界阻尼 一般取： =0.6~0.8
应用实例： 压电式动态测力传感器
运动微分方程：
m
d2y dt2

c
dy dt

ky

F
固有频率: n a0 / a2 k / m
第三章 检测系统的特性与技术指标
§ 3.1 静态特性
静态模型、静态特性指标
§ 3.2 动态特性
动态模型、动态特性 传感器典型环节动态特性分析
1
检测系统的静态特性
静态特性：检测系统在被测量处于稳定状态时的输入输出关系
§ 3.1.1 静态模型
输入量x
检测系统
输出量y
理想状态： 线性关系 y a bx
14
检测系统的动态特性
§ 3.2.2 动态特性
过程： 稳态过程（输出量达到稳定的状态）
暂态过程（输出量由一个稳态到另一个稳态的过渡过程）
激励： 信号----正弦信号、阶跃信号、线性信号、脉冲信号
15
检测系统的动态特性
(1) 频率响应特性：
输入：正弦信号---一系列，频率不同，幅值相等 输出：正弦信号---观察：幅值、相位、频率
a0 dt
a0
a1 / a0 时间常数 K b0 / a0 静态灵敏度
幅频特性： A() K / ()2 1
相频特性： () arctan()
幅频特性和相频特性 对数图（伯德图）：
<<1/时： A()=K <<1/10时： ()=0
零阶 无滞后
>1/时： A() ()
标准差：大，则分散性大；反之亦然
计算：贝塞尔公式
n
( yi y)2
i1 n 1
yi---测量输出值，i=1,2,…,n y---输出值的平均值
9
检测系统的静态特性
(5) 灵敏度 ( sensitivity )
定义：测量系统在稳态下输出量的增量与输入量的增量之比
斜率： K y / x (灵敏度系数)
幅值衰减 相位滞后
失真
20
检测系统的动态特性
阶跃响应： 输入阶跃信号：
x(t)

0

A
t0 t0
一阶环节微分方程： y KA(1 et / )
动态误差：
ed

KA KA(1 et / ) et / KA
t=2：ed=13.5%； t=3：ed=5%； t=5：ed=0.7%；
频率响应特性
输入量： x X sin t
频率响应函数：
输出量： y Y sin(t ) (稳态)
H ( j)
Y ( j) X ( j)

bm( j)m bm1( j)m1 b1( j) b0 an ( j)n an1( j)n1 a1( j) a0
弹簧(k) 阻尼(c) 质量(m)
阻尼比: a1 / 2 a0a2 c / 2 km 静态灵敏度系数： K k
23
算法： 相对误差
eH

H max 100 % yF.S.
Hmax：正反行程输出值的最大偏差
7
检测系统的静态特性
(3) 分辨力:
定义：能够检测出的被测量的最小变化量 表征测量系统的分辨能力 ( resolution )
说明： 1、分辨力 --- 是绝对数值，如 0.01mm，0.1g，10ms，…… 2、分辨率 --- 是相对数值： 能检测的最小被测量的变 换量相对于 满量程的百分 数，如： 0.1%, 0.02% 3、阀值 --- 在系统输入零点附近的分辨力

b1
dx dt

b0 x
ai、bi (i=0,1,…)：系统结构特性参数，常数，系统的阶次由 输出量最高微分阶次决定。常见为O阶、一阶、二阶系统
优点：概念清晰，输入-输出关系明了，可区分暂态响应和稳态响应 缺点：求解方程麻烦，传感器调整时分析困难
11
检测系统的动态特性
O阶系统：例电位计、电子示波器
(2) 检测系统的阶跃响应特性：
输入：阶跃信号 输出：阶跃响应
u(t
)

0 1
t0 t0
时间常数：系统输出值上升到稳态值yc的63.2%所需的时间 上升时间Tr： 传感器输出从稳态值yc的10%上升到90%所需时间
响应时间Ts： 输出值达到允许范围%的所需时间 超调量a1：响应曲线第一次超过稳态值yc的峰高：ymax-yc 衰减率： 相邻两个波峰（或波谷）高度下降的百分数 稳态误差ess： 无限长时间后，传感器稳态值与目标值偏差的相对误差
理想环节
d) 实际零阶环节：缓慢变化，频率较低 --- 近似零阶环节
实例： 电位计式角位移传感器
UE
微分方程： U0 UE /180 K
静态灵敏度系数： K UE /180
θ
U0
19
检测系统的动态特性
b) 一阶系统：
微分方程：
a1
dy dt

a0
y

b0 x
a1 dy y b0 x
a2
d2y dx2

a1
dy dt

a0
y

b0 x
n a0 / a2 固有频率 a1 / 2 a0a2 阻尼比
幅频特性： A()
K [1 (/ n )2 ]2 [2/ n ]2
相频特性：
()


arctan[ 1
2 (
/ n / n )2
]
幅频特性与相频特性 伯德图：
100 %
Lmax 输出值与理想直线的最大偏差值
yF.S. 理论满量程输出值
理想直线： 一般不存在或很难获得准确结果
Δ
x
利用测量数据，通过计算获得
拟合直线
5
检测系统的静态特性
获取拟合直线方法：
y
(a) 端点连线法：
算法： 检测系统输入输出曲线的两端点连线 特点： 简单、方便，偏差大，与测量值有关
wenku.baidu.com n
b
n
xi yi xi2 (
xi yi xi )2
a
xi2 yi xi xi yi n xi2 ( xi )2
特点：精度高
6
检测系统的静态特性
(2) 回程误差
定义： 检测系统在正行程和反行程的输入输出曲线不重合的程度
亦称空程误差、滞后 ( hysteresis )
13
检测系统的动态特性
(2) 传递函数：
利用拉氏变换，将微分方程转换成为复数域的数学模型，输出量 的拉氏变换与输入量的拉氏变换之比：
H (s)

Y (s) X (s)

bmsm an s n
bm1sm1 b1s b0 an1sn1 a1s a0
优点：表示了传感器本身特性，与输入输出无关，可通过实验求得
8
检测系统的静态特性
(4) 重复性 ( repeatability )
同一条件下，对同一被测量，同一方向，多次重复测量，差异程度
对同一被测量值：各次测量数值的偏差程度 对不同被测数值：各次测量曲线的偏差程度
测量数据的分散性
重复性是检测系统最基本的技术指标，是其他各项指标的前提和保证
重复性误差：随机误差
18
§ 3.2.3 典型检测系统的动态特性
a) 零阶系统： 微分方程： a0 y b0x
幅频特性： A() K
y b0 x Kx a0
相频特性： () 0
特点： a) 属于静态环节： 静态灵敏度系数 K b0 / a0
b) 输出 输入
又称：比例环节
c) 与时间无关，与频率无关，无滞后，无惯性

Ae j()
系统频率特性：稳态输出与输入幅值之比和两者相位差是输入频率的 函数：幅--频、相—频
16
检测系统的动态特性
A() 幅频特性：幅值比与频率关系
A() H( j) Y ( j) Y Re()2 Im()2 X ( j) X
A(ω ) ：输出幅值与静态幅值比 --- 系统的动态灵敏度（增益）
§ 3.2.1 动态模型
(1) 微分方程：根据相应的物理定律（如牛顿定律、能量守恒定律、 基尔霍夫电路定律等），用线性常系数微分方程表示 系统的输入x与输出y关系的数字方程式
an
dny dtn

an1
d n1 y dt n 1

a1
dy dt

a0 y

bm
dmx dtm

bm1
d m1x dt m 1
y
a --- 零点输出
b --- 理论灵敏度
a
x
O
实际状态： 非线性关系 y f (x)
2
检测系统的静态特性
非线性原因：
(结构原理性原因除外)
外界干扰
温 湿 压 冲 振 电磁 度 度 力 击 动 场场
输入 x
检测系统
输入 y = f(x)
摩 间 松 迟 蠕 变老 擦 隙 动 滞 变 形化
误差因素
特点： 动态响应特性主要取决于时间常数；
小 阶跃响应迅速 截止频率高 惯性小 惯性环节
实例： 带阻尼弹簧测力传感器
运动方程： c dy ky bx k-弹簧刚度
dt
c-阻尼系数
时间常数： c / k
静态灵敏度系数： K b / k
21
检测系统的动态特性
c) 二阶环节：
微分方程：
3
检测系统的静态特性
§ 3.1.2 静态特性指标
线性度 回程误差 分辨力 重复性 灵敏度
4
检测系统的静态特性
(1) 线性度:
定义: 检测系统输入输出曲线与理想直线的偏离程度
亦称非线性误差 ( non-linearity )
y
表达: 相对误差
eL


Lm a x yF.S.
典型的对数幅频特性曲线：
20lg A() / dB
理想幅频特性： 0dB水平线 （幅值不变）
频响范围： 误差3dB对应的频率范围 通频带、频带、工作频带
相频特性： 相位与频率的关系 ()
相频特性
幅频特性

(
)

H
(
j
)

arct
an

Im Re

17
检测系统的动态特性
Δ
x
(b) 最佳直线法： 算法：使得正负行程的非线性偏差相等且最小 y
特点： 精度最高，计算法（迭代、逐次逼近）
Δ
简单实用，三点作图法（两高一低/两低一高） Δ
(c) 最小二乘法：
x
算法： 计算：有n个测量数据: (x1,y1), (x2,y2), … , (xn,yn)， (n>2)
残差：i = yi – (a + b xi) 残差平方和最小：2i=min
当/n<<1时：A()K，() 0 近似零阶 当/n>0.3时：与阻尼有关
较小时 ：A()随出现较大波动
当 =0时，A(n) =, 附近谐振 较大时：A()<0 衰减 0.7时：A()平坦段最宽，()接近斜直线
22
检测系统的动态特性
阶跃响应： 输入
0 t 0