第2课时 空间向量与垂直关系

C
y
x
4.正方体ABCD - A 1B1C1D1 ,E是AA 1的中点， z 求证：平面EBD ⊥ 平面C BD.
1
证明：设正方体棱长为2, 建立如图所示的空间直角坐标系， E 0,0,1 ,B 2,0,0 ,D 0,2,0 ，
E y
EB =(2, 0,-1), ED =(0,2,-1),
第2课时 空间向量与垂直关系
在上一节中，我们研究了空间中直线与 直线、直线与平面以及平面与平面的平行关 系与直线的方向向量和平面的法向量的关系； 那么，直线的方向向量和平面的法向量与空 间中直线与直线、直线与平面、平面与平面 的垂直关系间又有什么联系呢？
１．直线的方向向量 如图, l 为经过已知点 A 且平行于非零向量 a 的直线,那么非零向量 a 叫做直线 l 的方向向量.
换句话说,直线上的非零向量叫做直线的 方向向量.
l
A

a
P
直线l的向量式方程AP = ta
2.平面的法向量
如果直线l ⊥平面α ，取直线l的方向向量a, 则向量a叫做平面的法向量.
换句话说,与平面垂直的非零向量叫做平面 l 的法向量. 平面 α 的向量式方程
aAP 0
u
v
α
设直线l ,m的方向向量分别为a,b， 平面α , 的法向量分别为u,v，则 β 线线垂直 l ⊥ m ⇔ a ⊥ b ⇔ a b = 0; 线面垂直 l ⊥α ⇔ a ∥ u ⇔ a =λ u; 面面垂直 α ⊥β ⇔ u ⊥ v ⇔ u v = 0.
⑷解方程组,取其中的一个解,即得法向量.
例 1:在空间直角坐标系中,已知 A(3,0,0), B(0,4,0) , C (0,0, 2) ,试求平面 ABC 的一个法向量.
3 y 4 x, 解得 z 3 x, 2 取 x 4 ,则 n (4, 3, 6) 所以 n (4, 3, 6) 是平面 ABC 的一个法向量.
例2：已知AB =(2,2, 1),AC =(4,5,3), 求平面ABC的单位法向量.
解：设平面的法向量为n = （x，y，z）， 则n⊥AB， n⊥AC, 所以（x，y，z）(2,2,1)= 0， （x，y，z）(4,5,3)= 0,
2x + 2y + z = 0, 即 4x + 5y +3z = 0,
3.如图所示, 正方体的棱长为1 (1)直线OA的一个方向向量坐标为___________. (1,0,0) (0,0,1) (2)平面OABC 的一个法向量坐标为___________.
(-1,-1,1) (3)平面AB1C 的一个法向量坐标为___________.
z
O1 A1 B1 C1
o
A B
空间中的垂直关系及其向量证明方法
(1)线线垂直
①证明两直线的方向向量垂直． ②先证明线面垂直，利用线面垂直的性质． (2)线面垂直 ①证明直线的方向向量与平面的法向量平行．
②证明直线的方向向量与平面内两个不共线向
量垂直．
③先证明面面垂直，利用面面垂直的性质．
(3)面面垂直 ①证明两平面的法向量相互垂直． ②转化为线线垂直或线面垂直． [提醒]根据题目条件，要灵活选择基向量法或 坐标法．
a
A
P

1．求直线的方向向量和平面的法向量.(重点) 2．利用方向向量和法向量处理线线、线面、 面面间的垂直问题．(重点、难点)
探究点1垂直关系：
设直线 l , m 的方向向量分别为 a, b ，
(1) l m a b a b 0.
l
a b
m
平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 (2) l a / / u a u.
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l
a
u
C A B

平面 , 的法向量分别为 u, v ，则 （3） u v u v 0.
β
1 x = , 取z = 1，得 2 y = -1,
3 1 所以n =( ,-1,1), |n|= , 2 2
1 2 2 所以平面ABC的单位法向量为± ， ，）. ( 3 3 3
B
2．若直线l的方向向量为a＝(－1,0，－2)， B 平面α 的法向量为u＝ 4,0,8 ，则 ( ) A. l∥α B. l⊥α C. l⊂ α D. l与α 斜交
垂直关系
探究点 2 求平面的法向量 ⑴设平面的法向量为 n ( x , y , z ) .
⑵找出(求出)平面内的两个不共线的向量的 坐标 a (a1 , b1 , c1 ), b (a2 , b2 , c2 ) .
⑶根据法向量的定义建立关于 x, y, z 的方程 n a 0, 组 n b 0.
x
设平面EBD的一个法向量是
u ( x, y,1),
由u EB u ED 0,
1 1 得u ( , ,1). 2 2
平面C1BD的一个法向量是 v (1, 1,1),
u v 0,
所以平面EBD⊥平面C1BD.
人生的价值，并不是用时间，而是用深度 去衡量的.