作业-北京理工大学现代教育技术研究所

(30)北京理工大学继续教育学院2004～2005学年第一学期

“数字信号处理”习题集

第三章习题

1．图P3-1的序列1()x n 是具有周期为4的周期序列。试确定傅立叶级数的系数

1()X k 。

2．(a)试证明下面列出的周期序列离散傅立叶级数的对称性。在证明中，可以利

用离散傅立叶级数的定义及任何前面的性质，例如在证明性质3时可以利用性质1和2。

序列 离散傅立叶级数

1）*

()x n *

()X k - 2）*()x n -

*

()X k 3）()e R x n ⎡⎤⎣⎦ ()e X k 4）()m jI x n ⎡⎤⎣⎦

0()X k

(b) 根据已在(a)部分证明的性质，证明对于实数周期序列()x n ，离散傅立叶级数

的下列对称特性成立 1）()()e e R X k R X k ⎡⎤⎡⎤=-⎣⎦⎣⎦ 2）()()m m I X k I X k ⎡⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦

3）

()()

X k X k =-

4）arg ()arg ()X k X k ⎡

⎤⎡⎤=--⎣⎦⎣⎦

3．在图P3-2中表示了两个周期都为6的周期序列，确定这两个学列的周期卷积

的结果3()x n ，并画出草图。

31

P -图n

1

n

4．求下列序列的DFT (a) {}1111， ，－，－ (b) {}11j j ， ，－，－

(c) (),01n x n c n N =≤≤-

(d)

2()sin(

),01n

x n n N N

π=≤≤- 5．计算下列各有限长序列的离散傅立叶变换（假设长为N ）：

(a) ()()x n n δ=

(b) 00()(),0x n n n n N δ=-<<

(c)

(),01n x n a n N =≤≤-

6．在图P3－4中表示了一有限长序列()x n ，画出序列1()x n 和2()x n 的草图。（注

意：1()x n 是()x n 的圆周位移两各点）

144()((2))()x n x n R n =- 144()(())()x n x n R n =-

7．在图P3-5中表示了两个有限长序列，试画出它们的六点圆周卷积。

8．列长为8的一个有限长序列具有8点离散傅立叶变换()X k ，如图3－7－1

所

n ()

x n 34P -图

35P -图

示。列长为16点的一个新的序列()y n 定义为

()()20

n n n

x y n ⎧⎪=⎨⎪⎩为偶数

为奇数

试从图P3－7－2的几个图中选出相当于()y n 的16点离散傅立叶变换序列图。

9．图P3-8表示一个四点序列()x n

371

P -图－

n

()

X k 37P -图－2

k

(a k

(b

k

(

c k

(d k

(e k

(f

(a) 试绘出()x n 同()x n 线性卷积略图；

(b) 试绘出()x n 同()x n 四点圆周卷积略图； (c) 试绘出()x n 同()x n 十点圆周卷积略图；

(d) 若()x n 同()x n 的某个N 点圆周卷积同其线性卷积相同，试问此时N 点的

最小值是多少？

10．现有一伪随机信号谱分析所使用的处理器，该处理器所用的取样点数必须是

2的整数次方，并假设没有采取任何特殊的数据处理措施。已给的条件是：(1)频率的分辨率5Hz ≤，(2)信号的最高频率 1.25kHz ≤，要求确定下列参量：a)最小记录长度；b)取样点间隔的最大间隔；c)在一个记录中的最少点数。

第四章习题

1．如果一台通用计算机的速度为平均每次复乘需100s μ，每次复加需20s μ，今用来计算1024N =点的[]()DFT x n ，问直接运算需多少时间，用FFT 运算需多少时间？

2．书中图4－2给出了首先计算两个4点DFT 来完成一个8点DFT 的流图，试画出首先计算8点DFT ，来执行一个16点DFT 的对应流图。

3．试用基－2按时间抽取与按频率抽取法分别作出N=16时的信号流图。 4．把16点序列(0),(1),

,(15)x x x 排成反序序列。

5．试画出4点按时间抽取的FFT 算法流图，要求利用本书图4－8的蝶形，具有反序的输入序列，并且表示成“原位”计算。

6．在下列说法中选取正确的结论。线性调频z 变换可以用来计算一个有限长序

列()h n 在z 平面实z 轴上诸点{}k z 的z 变换()H z ，使 (a),0,1,,11k k z a k N a a ==-≠±为实数。，。 (b) ,0,1,

,10k z ak k N a a ==-≠为实数。，。

(c) (a)和(b)两者都行。

38

P -图

(d) (a)和(b)两者都不行，即线性调频z 变换不能计算()H z 在z 为实数时的

取样。

11．设对列长N ＝64及列长N ＝48的两序列用(1)直接计算法，(2)快速卷积法求

线性卷积，试比较它们的运算量。

第五章习题

1．按照下面所给出的系统函数，求出该系统的两种形式的实现方案：直接型I 和直接型Ⅱ。

12

12

3 3.60.6()10.10.2z z H z z z

----++=+- 2．就题1系统给出：级联和并联实现方案。

3．用一阶和二阶的级联形式实现下面所给出的系统函数

22

2(1)( 1.41421361)

()(0.5)(0.90.81)

z z z H z z z z -++=+-+ 4．给出题3系统函数的并联实现方案。 5．已知滤波器单位取样响应为

0.205

()0

n

n

n h n ⎧≤≤=⎨

⎩其它

求FIR 滤波器直接型结构。

6．已知FIR 滤波器的16个频率取样值为

(0)12(1)3(2)1(3)(14)1(15)3H H H j H H H j

H ==--=+=-=-+到（13）都为零 计算滤波器的频率取样结构，设选择修正半径r=1（即不修正极点位置）。

7．已知FIR 线性系统的系统函数，111111

()(1)(12)(1)(14)24

H z z z z z ----=++--画

出下列每种型式的实现流图

1）级联型 2）直接型

3）线性相位型 4）频率取样型。

8. 设有一模拟滤波器21

()1

a H s s s =++，取样周期T ＝2，试用双线性变换法将以

上模拟系统函数转变为数字系统函数()H z 。

9．试用脉冲响应不变法将上题中模拟系统函数转变为数字系统函数()H z 。 10．图P5－3表示一数字滤波器的频率响应，(a)确定采用脉冲响应不变变换法