(整理)多元数量值函数积分学复习.

第七章 多元数量值函数积分学

7．1 多元数量值函数积分的概念与性质 一、多元数量值函数积分的概念

⎰

Ω

Ωd M f )(＝I ＝0

lim

→d ∑=n

i i

M f 1

)(i

∆Ω

可积的必要条件 若函数f (M )在几何形体Ω上可积，则f (M )在Ω上闭有界。 可积的充分条件 若函数f (M )在有界闭几何形体Ω上连续，则f (M )在Ω上必可积。

二、多元数量值函数积分的性质

1 Ω=Ω=Ω⎰⎰Ω

Ω

d d 1. 2⎰⎰⎰Ω

Ω

Ω

Ω+Ω=Ω+d M g d M f d M g M f )()()]()([βαβα.

3 ⎰

⎰⎰ΩΩΩ

Ω+Ω=Ω2

1

)()()(d M f d M f d M f 4 )()(M g M f ≤，则

⎰⎰

Ω

Ω

Ω≤Ωd M g d M f )()(⎰⎰Ω

Ω

Ω≤Ωd M f d M f |)(||)(|

5 设m M ,分别是f (M )在闭几何形体Ω上的最大值和最小值，则

Ω≤Ω≤Ω⎰Ω

M d M f m )(

6 积分中值定理 设函数f (M )在闭几何形体Ω上连续，则在Ω上至少存在一点0M ，使得

Ω=Ω⎰

Ω

)()(0M f d M f

三、多元数量值函数积分的分类

1．二重积分⎰⎰D

d y x f σ),(=i i i n

i f σηξλ∆∑=→),(lim 1

。

2．三重积分⎰⎰⎰Ω

dv z y x f ),,(=0lim →λi i n

i f ηξ,(1

=∑,i ζ)i v ∆

(1)

3．对弧长的曲线积分⎰L

ds y x f ),(＝∑=→∆n

i i i i s f 1

),(lim ηξλ

或∑⎰=→Γ

∆=n

i i i i i s f ds z y x f 1

),,(lim ),,(ζηξλ

4．对面积的曲面积分

⎰⎰∑

dS z y x f ),,(＝0

lim →λ

∑=∆n

i i i

i

i

S f 1

),,(ζηξ,

7.2 二重积分 计算方法：“画线定限”⇒累次积分积之。 说明： 1 方法：“画线”定限（切点D ）

2 选择积分次序要合适，若先y 后x ⎰

⎰=x x

dx y

y

dx I sin 1

0不能积出结果。

3 不可积函数 x

x

x x e x sin ,

sin ,cos ,222

-等等 例1 计算⎰⎰-2

2

2

x

y dy e dx

解 ⎰⎰⎰--==2

2

2

2

dy ye dx dy e I y y y

)1(2

121214

2020222----=-==

⎰e e dy e y y ；

习题 1 计算⎰⎰-+∞

x

x

y dy e dx 20

2

2 计算⎰

⎰-x

dy y y

dx 0

10

1

sin 3 f 于]1,0[上连续，A dx x f =⎰1

)(，求⎰⎰1

1

)()(x

dy y f x f dx 。

解 令⎰=x

dx x f x F 0

)()(，则0)0(=F ，A F =)1(，)()(x f x F ='，

原式⎰⎰⎰⎰-'=⋅='=1

10

1110

)]()1()[(|)()()()(dx x F F x F dx y F x f dy y F dx x f x x

21

2102

1|)(21|)(A x F x AF =-= 例2 交换积分次序

（1）⎰

⎰⎰

⎰⎰

⎰------+==x

x y

y fdx dx fdx dx dx y x f dy I 10

10

10

1

1110

2

2

),(

（2）⎰⎰⎰

⎰⎰

⎰+--+-++--=+=x

x y

y y

y

fdy dx fdx dy fdx dy I 11

21

11

30

1101

2

例4 （函数的奇偶性与区域对称性）

引例 01

3=⎰⎰D dxdy y

21:y x D =和1=x 围成

⎰⎰

=2

0sin D xydxdy y 2

222:R y x D ≤+ 1D 区域关于x 轴对称 f 关于y 是奇函数 2D 关于y 轴对称，f 关于x 是奇

函数。

规范语言：1I 中被积函数关于y 是奇函数，区域关于0=y 对称，

2I 中被积函数关于x 奇函数，区域关于0=x 对称，则积分为零。

反之，被积函数关于x 是偶函数，区域关于0=x 对称，

则积分等于一半区间上积分值的二倍。

例 计算⎰⎰++D

dxdy y x yf x )](1[22，其中:D 由3x y =，

1=y ，1-=x 围成，f 连续。

解 作3x y -=，分区域为1D ，2D ，3D ，4D 如图 原式

0|

|2

20

|

|2

24321)()(⎰⎰

⎰⎰

⎰⎰++++++

=D D D D D

dxdy y x xyf dxdy y x xyf xdxdy 5

2223

3

4

32

10

1

|

|-

===+

=

⎰

⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰--++x D D D D D dy xdx xdxdy xdxdy xdxdy

注：如上奇偶性分析对三重积分，一型线积分，一型曲面积分其结论都是对的。

例5 （极坐标）计算双纽线22222)(y x y x -=+围成区域的面积。 解 )sin (cos 2224θθ-=r r

θ2cos 2=r