电磁场理论基础答案解析

E0
z 0
zˆ
E1
d 2 0
zˆ
zd 2
E1
d 2 0
zˆ
2-4 已知某种形式分布的电荷在球坐标系中所产生的
电位为 (r) qe，br 其中 、q 均b 为常数，周围介质
为 ，求此电荷r分布
解： 利用 D 可求出电荷分布
先求出 D ： D E
E
rˆ
r
q r2
(br
1)ebr rˆ
R Rˆ
R3
R2
得证
1-5
在球坐标系中，已知
P cos 4 0r 2
，其中
试求此标量场的负梯度构成的矢量场，即
P、0 为常数。
E
。
解： ∵ 在球坐标系中
rˆ 1 ˆ 1 ˆ r r r sin
P cos 4 0
(2r 3 )rˆ
P( sin
4 0r
2
)
ˆ
P cos 2 0r3
ra
ra
Q
S E1 dS 0
S
E2
dS
Q
0
E1 0
E2
4
r2
Q
0
a
E2
Q
40r 2
rˆ
再求电位：选无限远处为电位参考点
ra
a
(r) r E dl r E1 dr a E2 dr
a
Q
4 0 r 2
rˆ
dr
Q
40a
r a
(r)
E dl
r
r E2 dr
r
Q
4 0 r 2
利用高斯散度定理，则有
∵ 在直角坐标系中
S A dS V AdV
A Ax Ay Az 3x2 3y2 3z2 3r 2 x y z
∴ A dS AdV 3r2dV a 3r2 4 r2dr 12 a5
S
V
V
0
5
2.1-2.2 习题解答
P62 2-1 一半径为 a 的圆环，环上均匀分布着线电荷，
证明：
1 Rˆ
( ) R
R2
∵ 1
1
f (x, y, z)
R (x x)2 ( y y)2 (z z)2
( 1 ) f f xˆ f yˆ f zˆ
R
x y z
1 2(x x)xˆ 2( y y) yˆ 2(z z)zˆ 2 (x x)2 ( y y)2 (z z)2
qb 2 e br
(r
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0)
r
设 r 0 处有电荷 q 存在，空间中的场 (r) qebr 是由 和
r
q 共同作用产生的。即：
SE
dS
Q
1
(V
dV
q)
于是
q (br 1)ebr 4r 2 1 r qb2ebr 4r 2dr q
r2
0
r
q 4 q(br 1)ebr r 4 qb2re br dr 0
x y z
y z
z x
x y
( Az Ay )xˆ xˆ ( Ax Az ) yˆ yˆ ( Ay Ax )zˆ zˆ
x y z
y z x
z x y
2 Az 2 Ay 2 Ax 2 Az 2 Ay 2 Ax 0 xy xz yz yx zx zy
得证
P19 1-2 设 R (x x)xˆ ( y y) yˆ (z z)zˆ
R2 a2 z2
Rˆ R r r zzˆ arˆ
RR
a2 z2
E
Rˆ
l a 4 0 R
2
d
2
l a
0 40 (a2 z2 )
zzˆ arˆ d
a2 z2
l az
20
(a2
z2
3
)2
2-2 求半径为 a电量为 Q 的均匀带电球面所产生的
电位、电场强度。
Q
解： 先求电场强度：
4 q(br
1)e br
4q(ebr
brebr )
r 0
4q
2-10 同轴电缆的内导体半径为 a ，外导体半径为b ，
其间填充介电常数 的电介质。已知外导体接地，内
导体的电位为 U0。求（1）介质中的电场和电位；（2）
介质中的极化电荷分布。
解:（1）介质中的电场和电位
设内导体上带电荷量为 q
rˆ dr
Q
40r
2-3 求厚度为 d 、体电荷密度为 的均匀带电无
限大平板在空间各区域所产生的电场。
解：如图建立坐标系
z
S
先求带电平板之外的电场
作一关于 y 轴对称、高为2z(z 的立方体为高斯面，如图所示
d 2
)
d
y
设通过立方体两底面的电场为 E1
x
E1
S
E1
dS
q
0
E1
d 2 0
E1S
xy
xz
yx
yz
zx
zy
xˆ yˆ yˆ xˆ xˆ zˆ zˆ xˆ yˆ zˆ zˆ yˆ
∴ f 0
得证
证明： A 0
A
xˆ yˆ zˆ
x y z
Ax
Ay
Az
xˆ(Az Ay ) yˆ( Ax Az ) zˆ( Ay Ax )
y z
z x
x y
A
( xˆ yˆ zˆ) [xˆ( Az Ay ) yˆ( Ax Az ) zˆ( Ay Ax )]
a
作半径为 r(a r b) 的圆柱面： E dS q
E 2 rL q
E1S
1
0
d S
方向垂直于带电平板向外
再求带电平板内的电场 作一关于 y 轴对称、高为2 z ( z d ) 2z 的立方体为高斯面，如图所示 2
z
S
d
y
设通过该立方体两底面的电场 E0
为
S
E2
dS
q
0
z
E0S
E0S
1
0
2
z
S
x
E0
综合 起来
E0 0
d zd
2
2
zd 2
方向垂直于带电平板向外
其线电荷密度为 ，求l 圆环轴线上任一点处的电场
解： 在带电圆环上任取一小段 dl
P(0, 0, z)
对应的元电荷为 dq ldl
R
它在 P(0,0, z) 点处引起的电场为
dE
dq
4 0 R 2
Rˆ
dq ldl
整个带电圆环在 P(0,0, z) 点处引起的电场为
E
dq
4 0 R 2
Rˆ
采用柱坐标系 dq ldl lad
1.1-1.6习题解答 补充作业：
证明： f 0
证明：∵ xˆ yˆ zˆ
x y z
f f xˆ f yˆ f zˆ x y z
f xˆ yˆ zˆ (f xˆ f yˆ f zˆ)
x y z x y z
2 f xˆ yˆ 2 f xˆ zˆ 2 f yˆ xˆ 2 f yˆ zˆ 2 f zˆ xˆ 2 f zˆ yˆ
rˆ
P sin 4 0r 2
ˆ
E
P cos 2 0r3
rˆ
P sin 4 0r 2
ˆ
1-7 求矢量场 A 从所给球面 S 内穿出的通量。
A x3xˆ y3 yˆ z3zˆ
S 为：x2 y2 z2 a2
提示：利用高斯散度定理求解
解：矢量场 A 从所给球面 S 内穿出的通量可表示为
S A dS