材料力学电子教案

第五章 梁弯曲时的位移
边界条件(这里也就是支座处的约束条件)的示例如 下图所示。
第五章 梁弯曲时的位移
若由于梁上的荷载不连续等原因使得梁的弯矩方程 需分段写出时，各段梁的挠曲线近似微分方程也就不同 。而对各段梁的近似微分方程积分时，都将出现两个积 分常数。要确定这些积分常数，除利用支座处的约束条 件(constraint condition)外，还需利用相邻两段梁在交界 处的连续条件(continuity condition)。这两类条件统称为 边界条件。
土建工程中通常只限制梁的挠跨比， 机械工程中，对于主要的轴， 要求限制在安装齿轮处和轴承处的转角，
。在 ；对于传动轴还
。
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-8 图a所示简支梁由两根槽钢组成(图b)，试选择
既满足强度条件又满足刚度条件的槽钢型号。已知[]=170
MPa，[]=100 MPa，E=210 GPa，
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-1 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
解：该梁的弯矩方程为 挠曲线近似微分方程为 以x为自变量进行积分得
第五章 梁弯曲时的位移
该梁的边界条件为：在 x=0 处 于是得
，w =0
从而有 转角方程
第五章 梁弯曲时的位移
挠曲线方程
(a)
(b)
直梁弯曲时的挠度和转角这两个位移不但与梁的弯曲
变形程度(挠曲线曲率的大小)有关，也与支座约束的条件
有关。图a和图b所示两根梁，如果它们的材料和尺寸相同 ，所受的外力偶之矩Me也相等，显然它们的变形程度(也 就是挠曲线的曲率大小)相同，但两根梁相应截面的挠度
和转角则明显不同。
第五章 梁弯曲时的位移
。
第五章 梁弯曲时的位移
解：一般情况下，选择梁的截面尺寸或选择型钢的型 号时，先按正应力强度条件选择截面尺寸或型钢型号，然 后按切应力强度条件以及刚度条件进行校核，必要时再作 更改。
第五章 梁弯曲时的位移
1. 按正应力强度条件选择槽钢型号 作梁的剪力图和弯矩
图如图c和图e。最大弯矩 在距左支座0.8 m处， Mmax=62.4 kN·m。梁所需 的弯曲截面系数为
外力偶矩施加在悬臂梁和简支梁上，它们的指向和转向也
应与
的正负相对应，如图b及图c中所示。
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图c中所示简支梁BC的受力情况以及支座约束情况与原 外伸梁BC段完全相同，因此再注意到简支梁B支座左侧的外 力2qa将直接传递给支座B而不会引起弯曲后，便可知道按
图d和图e所示情况由本教材附录Ⅳ中的资料求qBq， q BM 和 wDq，wDM 并叠加后得到的就是原外伸梁的q B和wD。
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Ⅱ. 挠曲线近似微分方程的积分及边界条件
求等直梁的挠曲线方程时可将上式改写为
后进行积分，再利用边界条件(boundary condition)确定积分 常数。
第五章 梁弯曲时的位移
当全梁各横截面上的弯矩 可用一个弯矩方程表示时(例如 图中所示情况)有
以上两式中的积分常数C1， C2由边界条件确定后即可得出梁 的转角方程和挠曲线方程。
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根据对称性可知，两支座处的转角qA及qB的绝对值相
等，且均为最大值，故
最大挠度在跨中，其值为
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例题5-3 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
第五章 梁弯曲时的位移
解：约束力为
两段梁的弯矩方程分别为
为了后面确定积分常数的方便，右边那段梁的弯矩方 程M2(x)仍取x截面左边的梁为分离体，使方程M2(x)中的第 一项与方程M1(x)中的项相同。
此例题所示的悬臂梁，q0=0，w0=0， 因而也有C1=0 ，C2=0。
事实上，当以x为自变量时
第五章 梁弯曲时的位移
两式中的积分在坐标原点处(即x=0处)总是等于零，从而有
第五章 梁弯曲时的位移
思考: 试求图示等截面悬臂梁在所示坐标系中的挠曲线 方程和转角方程。积分常数C1和C2等于零吗？
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第五章 梁弯曲时的位移
§5-1 梁的位移——挠度和转角
直梁在对称平面xy内弯曲时其原来的轴线AB将弯曲成 平面曲线AC1B。梁的横截面形心(即轴线AB上的点)在垂直 于x轴方向的线位移w称为挠度(deflection)，横截面对其原
来位置的角位移q 称为横截面的转角(angle of rotation)。
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悬臂梁和简支梁在简单荷载(集中荷载，集中力偶，分 布荷载)作用下，悬臂梁自由端的挠度和转角表达式，以及 简支梁跨中挠度和支座截面转角的表达式已在本教材的附 录Ⅳ中以及一些手册中给出。根据这些资料灵活运用叠加 原理，往往可较方便地计算复杂荷载情况下梁的指定截面 的挠度和转角。
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根据该梁边界条件和全梁横截面上弯矩均为负值， 以及挠曲线应光滑连续描出了挠曲线的示意图。
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可见该梁的qmax和wmax均在x=l的自由端处。于是有
第五章 梁弯曲时的位移
由此题可见，当以x为自变量对挠曲线近似微分方程 进行积分时，所得转角方程和挠曲线方程中的积分常数 是有其几何意义的：
第五章 梁弯曲时的位移
从几何方面来看，平面曲线的曲率可写作
式中，等号右边有正负号是因为曲率1/r为度量平面曲线( 挠曲线)弯曲变形程度的非负值的量，而w"是q = w' 沿x方
向的变化率，是有正负的。
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再注意到在图示坐标系中，负弯矩对应于正值w" ，正弯矩对 应于负值的w" ，故从上列两式应有 由于梁的挠曲线为一平坦的曲线，上式中的w2与1相比可略 去，于是得挠曲线近似微分方程
当梁的变形微小，且梁的材料在线弹性范围内工作时 ，梁的挠度和转角均与梁上的荷载成线性关系。在此情况 下，当梁上有若干荷载或若干种荷载作用时，梁的某个截 面处的挠度和转角就等于每个荷载或每种荷载单独作用下 该截面的挠度和转角的代数和。这就是计算梁的位移时的 叠加原理(principle of superposition)。
例题5-2 试求图示等直梁的挠曲线方程和转角方程，
并确定其最大挠度wmax和最大转角qmax。
解：该梁的弯矩方程为 挠曲线近似微分方程为 以x为自变量进行积分得：
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于是有 即
从而有 转角方程 挠曲线方程
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该梁的边界条件为 在 x=0 处 w=0， 在 x=l 处 w=0
第五章 梁弯曲时的位移
弯曲后梁的轴线——挠曲线(deflection curve)为一平 坦而光滑的曲线，它可以表达为w=f(x)，此式称为挠曲线 方程。由于梁变形后的横截面仍与挠曲线保持垂直，故
横截面的转角q 也就是挠曲线在该相应点的切线与x轴之
间的夹角，从而有转角方程：
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在横力弯曲下，梁的横截面上除弯矩M=M(x)外，还 有剪力FS=FS(x)，剪力产生的剪切变形对梁的变形也会产 生影响。但工程上常用的梁其跨长l 往往大于横截面高度h 的10倍，此时剪力FS对梁的变形的影响可略去不计，而有
注意：对于有些l/h>10的梁，例如工字形截面等直梁，如同 在核电站中会遇到的那样，梁的翼缘由不锈钢制作，而主 要承受剪力的腹板则由价廉但切变模量较小的复合材料制 作，此时剪切变形对梁的变形的影响是不可忽略的。
例题5-6 试按叠加原理求图a所示等直外伸梁其截面B
的转角qB，以及A端和BC段中点D的挠度wA和wD。
第五章 梁弯曲时的位移
解：为利用本教材附录Ⅳ中简支梁和悬臂梁的挠度和
转角资料，将图a所示外伸梁看作由悬臂梁(图b)和简支梁
(图c)连接而成。原来的外伸梁在支座B左侧截面上的剪力
和弯矩
应当作为外力和
第五章 梁弯曲时的位移
由上式还可知，当集中荷载F 作用在右支座附近因而b值甚小， 以致 b2 和 l2 相比可略去不计时有
它发生在 中点C)的挠度wC为
处。而此时
处(跨
第五章 梁弯曲时的位移
可见在集中荷载作用于右支座附近这种极端情况下，跨中 挠度与最大挠度也只相差不到3%。因此在工程计算中，只要 简支梁的挠曲线上没有拐点都可以跨中挠度代替最大挠度。
自变量进行，故仍有C1=EIq0，D1=EIw0。
第五章 梁弯曲时的位移
该梁的两类边界条件为
连续条件：
在x=a处
，w1=w2
支座约束条件：在x=0处 w1=0，在 x=l 处 w2=0 由两个连续条件得：
由支座约束条件 w1|x=0=0 得 从而也有
由另一支座约束条件 w2|x=l=0 有
第五章 梁弯曲时的位移
注意到反对称荷载作用下跨中截面不仅挠度为零，而且该 截面上的弯矩亦为零，但转角不等于零，因此可将左半跨 梁 AC 和右半跨梁 CB分别视为受集度为 q/2 的均布荷载作 用而跨长为 l/2 的简支梁。于是利用附录Ⅳ表中序号8情况 下的公式有
按叠加原理得
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
例题5-5 试按叠加原理求图a所示等直梁的跨中截面
挠度 wC 和两支座截面的转角qA 及 qB。
(a)
解：此梁 wC 及qA，qB 实际上可不按叠加原理而直接
利用本教材附录Ⅳ表中序号13情况下的公式得出。这里是 作为灵活运用叠加原理的例子，假设没有可直接利用的现 成公式来讲述的。
第五章 梁弯曲时的位移
当集中荷载F作用于简支梁的跨中时(b=l/2)，最大转角
qmax和最大挠度wmax为
第五章 梁弯曲时的位移
思考: 试绘出图示两根简支梁的弯矩图，并描出它们的挠 曲线。并指出：(1) 跨中挠度是否最大？(2)跨中挠度的值 是否接近最大挠度值？
l/2
l/4
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§5-3 按叠加原理计算梁的挠度和转角
Ⅰ. 梁的刚度校核 对于产生弯曲变形的杆件，在满足强度条件的同时，
为保证其正常工作还需对弯曲位移加以限制，即还应该满 足刚度条件(stiffness condition)：
式中，l为跨长， 为许可的挠度与跨长之比(简称许可挠
跨比)，[q]为许可转角。上列刚度条件常称之为梁的刚度
条件。
第五章 梁弯曲时的位移
在图示坐标系中，挠度w向下为正，向上为负；
顺时针转向的转角q为正，逆时针转向的转角q为负。
第五章 梁弯曲时的位移
§5-2 梁的挠曲线近似微分方程及其积分
Ⅰ. 挠曲线近似微分方程的导出 在§4-4中曾得到等直梁在线弹性范围内纯弯曲情况
下中性层的曲率为
这也就是位于中性层内的挠曲线的曲率的表达式。
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
两段梁的挠曲线近似微分方程亦需分段列出，并分别进行积分：
左段梁 挠曲线近似微分方程
右段梁
积分得
第五章 梁弯曲时的位移
值得注意的是，在对右段梁进行积分运算时，对于含 有(x-a)的项没有以x 为自变量而是以(x-a)作为自变量进行 积分的，因为这样可在运用连续条件 w1 '|x=a=w2'|x=a 及 w1|x=a=w2|x=a 确定积分常数时含有(x-a)2和(x-a)3的项为零而 使工作量减少。又，在对左段梁进行积分运算时仍以x 为
第五章 梁弯曲时的位移
第五章 梁弯曲时的位移
图b所示悬臂梁AB的受力情况与原外伸梁AB段相同， 但要注意原外伸梁的B支座截面是可以转动的，其转角就是
上面求得的qB，由此引起的A端挠度w1=|qB|·a应叠加到图b
所示悬臂梁的A端挠度w2上去才是原外伸梁的A端挠度wA：
第五章 梁弯曲时的位移
§5-5 梁的刚度校核·提高梁的刚度的措施
作用在该简支梁左半跨上的均布荷载可视为与跨中截面 C正对称和反对称荷载的叠加(图b)。
(a)
(b)
第五章 梁弯曲时的位移
C
在集度为q/2的正对称均布荷载作用下，利用本教材 附录Ⅳ表中序号8的公式有
第五章 梁弯曲时的位移
在集度为q/2的反对称均布荷 载作用下，由于挠曲线也是与跨
C
中截面反对称的，故有
即 从而也有
第五章 梁弯曲时的位移
从而得两段梁的转角方程和挠曲线方程如下：
左段梁
右段梁
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左、右两支座处截面的转角分别为
第五章 梁弯曲时的位移
当a>b时有
第五章 梁弯曲时的位移
根据图中所示挠曲线的大致形状可知，最大挠度wmax 所在 处在现在的情况下应在左段梁内。令左段梁的 转角方程 等于零，得
显然，由于现在a>b，故上式 表明x1<a，从而证实wmax确实 在左段梁内。将上列x1的表达 式代入左段梁的挠曲线方程得