优化设计概论

1500
x1 1FR5ee0ag0siiobnle
1000
x2 1500
x2 1500 Optimal Solution
1000
500
x1 0 x2 0 500
500
x1 0
x1 x2 1750 x2 0 500
1000
1500
x1
2000
x1 x2 1750
1000
1500
x1
解： 设每天生产A、B、C三种产品分别是x1、x2、x3件,因此共盈利
7x1+3x2+6x3
其相应的材料限制为
工时限制为
4x1+4x2+5x3≤600
4x1+2x2+3x3≤1400 再考虑自然限制
x1≥0, x2≥0, x3≥0
因此生产安排问题就是在上述限制条件下,使得其盈利达到最大, 其数学表达式为
二、约束条件
按形式
等式约束 ci ( X ) 0,i 1, ,l 不等式约束 c j ( X ) 0, j 1, , m
约束类型
性能约束
按功能 边界约束
c(X ) 0 A X B
可行域
按作用 紧约束
c(X ) 0
松约束
c(X ) 0
满足所有约束的设计点的集合
D X Rn ci (X ) 0,i 1, ,l, cj (X ) 0, j 1, , m
传动角条件
边界条件
【例6】齿轮减速器的优化设计
图示为双级圆柱齿轮减速器结构简图。已知功率P，总传动比i，
和输入转速n1等，要求在满足强度条件下，尺寸最小。
设计变量
z1、z3、i1、mn1、mn1、
目标函数
a
1
2cos
mn1z1(1 i1)
mn2z3 (1
i
i1
)
约束条件 H H F F
多目标优化
准则法 规划法 进化法 拓扑法
§1－5 优化问题的迭代解法
数值法的一般迭代过程
d (2)
1. 搜索格式
d (3)
X (4)
d (1)
X (k 1) X (k ) k d (k )
X (3)
X (2)
2. 增量格式
X (k1) X (k) X (k)
3. 比例格式
X (0)
d (0)
点。
这个问题可用最小二乘原理求解,
即选择a、b、c的一组值,使得偏
差的平方和达到最小 。
最小
【例4】人字架最优设计问题 考虑下图所示的钢管构造的人字架，设钢管壁厚T和跨度 2B已给定，试求能承受负荷2F的最轻设计.
求钢管平均直径D 和人字架的高h，
使结构总质量最 小
满足强度约束条 件和稳定性约束 条件。
§1－1 机械设计中的优化问题 §1－2 优化设计的数学模型 §1－3 优化设计的几何描述 §1－4 设计优化的方法分类 §1－5 优化问题的迭代解法 §1－6 机械优化设计的一般步骤
【例1】生产安排问题 某工厂生产A、B、C三种产品,每件产品所消耗的材料、工时以
及盈利见下表
已知该工厂每天的材料消耗不超过600千克,工时不得超过1400小 时,问每天生产A、B、C三种产品各多少可使得盈利最大?
可行域
优 化 设 计 问 题 的 图 解 法
max 12x1 9x2 优化设计问题的图解法
s.t.
x1 1000
x2 1500
x1 x2 1750 4x1 2x2 4800
x2
2000
4x1 2x2 4800 x1 1500
x2
2000
1500
4x1 2xx12,x248000
机械优化设计
2016年5月
目录
第一章 优化设计概述 第二章 优化设计数学模型 第三章 一维搜索方法 第四章 线性规划 第五章 无约束优化方法 第六章 约束优化方法 第七章 多目标优化方法 第八章 智能优化方法 第九章 拓扑优化方法 第十章 优化方法程序实现 第十一章 优化设计示例
第一章 机械优化设计概论
三、目标函数 评价设计方案优劣的指标函数，也是设计最求的目标。
极小化目标函数
min f (X )
极大化目标函数
max f (X )
多目标函数
min F ( X ) [ f1( X ), f2 ( X ), , fm ( X )]
优化设计的数学模型
min f ( X ) X Rn s. t. gi ( X ) 0 i 1, 2, , p
汽车各部分间的动态 位移应规定许用值。
【例9】形状优化设计 设计变量是一个函数
【例10】结构拓扑优化设计
【例10】结构拓扑优化设计
构拓扑图
【例11】复合材料的组分与细观结构优化设计
两相材料的组分拓扑优化设计
点阵复合材料细观结构优化
【例12】航空传动系统动态优化
7
7
7
7
5
2
行星轮
5
5 系部分
2
5
3
4
3
3
4
3
8 8
8
8
6
6
1
0
1
1
0
【例13】柔性机构的多学科优化设计
驱
动
支承点
器
输出端
ห้องสมุดไป่ตู้
§1－2 优化设计的数学模型 一、设计变量
x , x , 设计变量 描述设计方案的独立可变参数 1 2 , xn
设计常量 设计过程中其值不变或取有限个值的参数
设计空间 Rn
设计维数 n
设计点
X [x1, x2 , , xn ]T
优化设计数学模型
【例2】下料问题
某工厂生产两种轴类零件A和B,每件产品所需原材料的长度分 别为3米和4米，每月生产零件A和B的数量皆不小于300件， 问在10米长的棒料上如何下料使每月的余料最少？
解：
下料方案表
下料方案 Ⅰ Ⅱ Ⅲ
3米个数 2 3 0
4米个数 1 0 2
余料长度 0 1 2
设计变量
2000
12 x1 9x2 12000 12 x1 9x2 6000
§1－4 优化问题与优化方法的分类
线性规划
按数学模型分
几何规划 非线性规划
按约束分
无约束 不等式约束 混合约束
按维数分
一维优化 按目标函数个数分
多维优化
按问题性质分
静态优化 动态优化 结构优化 形状优化
按优化策略分
单目标优化
分析问题 建立优化设计数学模型 选择适当的优化方法
编程求解 结果分析
x1 x2 x3
余料 0x1 1x2 2x3
最小
约束 2x1+3x2300 1x1+2x3300 x1>0, x2>0, x3>0
【例3】曲线拟合问题.
设有两个物理量ξ和η,根据某一物理定律得知它们满足 如下关系:
现由实验得到一给数据(ξ1,η1),(ξ2,η2),…,(ξm,ηm), 试选择a、b、c的值,使曲线η=a+bξc尽可能靠近所有的实验
故取x1＝1.0, x4＝5.0,确定连杆和摇杆的长，当 曲柄从0转到0＋900时，摇杆摆角实现函数
f0 () 0
2
3
(
0 )2
设计变量
优化设计数学模型
连杆长x2和摇杆长x3
目标函数 实际输出角与期望输出角的差别最小
min
f (X)
0
2
0
(
)2d
K i0
( i
i)2
曲柄存在条件
约束条件
X (1) 0
X (k1) ck X (k)
迭代终止条件 1. 相邻两点很靠近
X (k1) X (k)
2. 相邻两点目标值很靠近
f ( X (k1) ) f ( X (k) )
3. 梯度接近于零
f ( X (k1) )
其中收敛精度指标 107 ~ 105
§1－6 机械优化设计的一般步骤
ai xi bi
【例7】支承系统的优化设计
图示为轴和轴承组成的动力学模型。对系统 进行优化设计，使其振动最小。
设计变量 m1、k1和c1
轴的质量、轴承刚度和阻尼系数
m2、k2和c2
轴承的质量、轴承座的刚度和阻尼系数
目标函数 动柔度最小
min X F
约束条件 MX CX KX F sint
ωc 0.8ω,1.2ω
【例8】汽车悬架系统优化设计
图示为汽车5自由度悬架系统。在 汽车结构设计时，希望汽车能在不 同速度和道路条件下，司机座椅的 最大加速度最小。
设计变量 系统刚度ki和阻尼ci
目标函数
f max z1(t) min
约束条件为：
MZ CZ KZ F (t)
Z (t) MZ (t) F (t)
钢管的质量为
m 2 AL 2TD B2 h2
当负荷为2P时,杆件受到的压应力为
F1 F B2 h2 A TDh
钢管不出现屈服的条件是 [ ]
钢管稳定性条件是
[ c ]
其中稳定临界应力
c
2E(T 2 D2 ) 8(B2 h2 )
【例5】平面四杆机构的优化设计
在图示平面四杆机构中，机架长为曲柄长的五倍，
hj ( X ) 0 j 1, 2, , q
§1－3 优化设计的几何描述 目标函数等值线（等值面）
f ( X ) Ci
如下述目标函数
Min f(X)=(x1-2)2+(x2-2)2+4
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-5
-5 -4 -3 -2 -1
0
1
2
3
4
5
可行域的图形表示
D X Rn ci (X ) 0,i 1, ,l, cj (X ) 0, j 1, , m