数字控制系统建模与分析

u
*
(t)
1*
(t
)
1, k 0, k
0 0
作用下系统的输出为
k
k
k
y(k) u(k)*h(k) u( j)h(k j) h(k j) h(m)
j0
j0
m0
所以可采用阶跃响应试验法为离散系统建模。
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y(t)
h(4) h(3) h(2)
h(1)
0 T 2T 3T 4T
作用下的输出。
Y
(
z)
Gd
(
z)U
(z)
源自文库
(1
z
1
)Z[
G(s) s
]
1
1 z
1
Z[ G(s) ] s
— 说明带零保的连续对象在单位阶跃序列u * (t) 1* (t)
作用下的输出，等于连续对象在单位阶跃信号 （1 t）作用
下的输出。
例4-3-1
已知连续对象G(s)
s
a
a ，求Gd
( z )。
Gd
t
辨识步骤： 1. 在带零保的对象前施加1*(t)，得到阶跃响应y(t)； 2. 取y(t)在采样点上的值y(k)； 3. 由离散卷积和定理求h(k)=y(k)-y(k-1) ； 4. 得到带零保的对象的Z传递函数：
f(t)
t 问题：已知G(z,Δ)，若给出输入信号u(t)，求系统输出 y(t)采样点之间的响应。
步骤： 1 求Y(z,Δ)=G (z,Δ)U(z)； 2 求y(kT+ΔT)=Z-1[Y(z, Δ)]，当ΔT从0→T时，可求得系统输 出在采样点之间任意时刻的值。
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例4-2-2 已知系统G(s) 1 ，当T 1秒时， s 1
数字 控制器
保持器
连续 y(t) 对象
D(z)
Gh0(s)
G(s)
数字控制系统离散化 第1页/共66页
4.2 改进的 Z 变换（广义Z变换或扩展Z变换）
4.2.1 定义——在信号 f(t) 超前或滞后不是 T 的整数倍情
况下的 Z 变换。与普通 Z 变换并无本质区别。
1、超前改进Z变换
f (t) f (t ), 0 T。 令 T , 则0 1
Gd
(z)
(1
z
1
)Z[
G(s) s
]
(1 z 1 )Z[ a e s ] s(s a)
(1 z 1 )Z[ 1 e s 1 e s ]
s
sa
(1 z 1 )[ 1 e (T )a ] z 1 z e aT
z[1 e a(T ) ] [e a(T ) e aT ] z(z e aT )
4.1 引言
本章主要阐述如下几个问题：
➢ 建立数控系统的离散化数学模型，即带零阶保持器的连续 对象离散化；
➢ 改进的Z变换及其应用，建立具有迟后特性的连续对象的 离散化模型及求取系统采样点之间的响应；
➢ 系统性能分析，包括时、频、Z域几方面的动、静态特性 分析；
➢ 扰动对系统的影响。
Gd(z)
r(t)
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几点说明：
1、若对象迟后 nT , 0 T，则带零保的对象
的Z传递函数为：Gd (z) znGd (z)。 2、通过示例可知，一阶和二阶环节的Gd (z)，分子的阶次 比分母的阶次都低一阶，所以有h(0) 0，则y(0) 0，说 明带零保的对象至少是迟后一步才有响应。
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4.3 带零阶保持器的连续对象的 Z传递函数
为了用Z传函描述离散系统，需要首先将系统的连续部 分离散化。本节研究带零阶保持器的连续对象的Z传递函 数，分解析法和试验法两种。
Gh0 (s) G(s)
Gd (z)
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4.3.1 解析法
已知连 续对象传递函 数为G ( s ),
(z)
(1
z
1
)Z[
G(s) s
]
(1
z
1
)Z[
s(
a s
a)
]
(1 z 1 )Z[ 1 1 ] (1 z 1 )[ 1
1]
s sa
1 z 1 1 e aT z 1
1 e aT z e aT
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例4-3-2
已知G(s)
a sa
e s (0
T )，求Gd (z)。
e z a(t 0.4T ) k k0
e 0.4aT e 0.4aT e aT z 1
e 0.4aT z
z e aT
Z[e a(t 0.6T ) ]
e z a(t 0.6T ) k k0
0 e e 0.4aT aT z 1
e 0.4aT
z e aT
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4.2.2 求系统采样点之间的响应
零阶保持器传递函数为Gh0 (s)
1
e Ts s
，
由于保持器与对象之间无采样开关，所以可视为串联 在一起的一个连续对象。求其Z传递函数：
Gd (z) Z[Gh0 (s)G(s)] Z[ 1 e Ts G(s)] s (1 z 1 )Z[ G(s) ] s
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例 带零保的连续对象在单位阶跃序列u * (t) 1* (t )
求采样点之间的脉冲响应。
解 ： 求G(z, ) Z[G(s)e Ts ] Z[ 1 e Ts ] Z[e (tT ) ] s1 e T z z e T
求 上 式 之 反 变 换 ， 即 可得 采 样 点 之 间 的 脉 冲 响应 ： h(kT T ) Z 1[G(z, )] e (kT T )。
先迟后一步，再超前不到一步。 第2页/共66页
例4-2-1
Z[（1 t 0.4T )]
1(t 0.4T )z k k0
1 z 1 z 2
z z 1
Z[（1 t 0.4T )]
1(t 0.4T )z k k0
0 z 1 z 2
1 z 1
Z[e a(t 0.4T ) ]
F (z, ) Z[F (s)eTs ] f (kT T )zk k 0 2、迟后改进Z 变换
f (t) f (t ), 0 T.令 lT , m 1 l 则0 m,l 1
F (z, m) z1Z[F (s)emTs ] f (kT lT )zk k 0
z1 f (kT mT )zk k 0
3、Gd (z)与采样周期T有关，同一G(s)，T不同，Gd (z) 也不同。 4、注意：分子分母阶次差指的是z的阶次差，而不是z1 的阶次差。
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4.3.2 试验法—阶跃响应法
试验法，即依据对象的输入输出数据建模，这是系统辨 识问题。由3.3 脉冲响应与卷积和 可知:
例3-3-1 已知离散系统脉冲响应h(k), 在