第三讲 概率及概率分布

（X的边际概率密度） （Y的边际概率密度） （X的期望） （Y的期望）
x 1 3 fY ( y) 8xydx 4x2 y |x 4 y 4 y y y
X xf X ( x)dx 4 x dx 4 / 5
4 0 0
1
1
Y 8/15
XY
1 0 0 1

联合概率密度函数关于其中一个变量的全部积分即得到 另一个随机变量的边际概率密度函数。
f X ( x)


f ( x, y)dy
条件分布概率密度函数(conditional probability density function)

设X和Y为联合连续型随机变量，联合概率密度为f(x,y)， 在给定X=x的条件下，Y的条件概率密度函数为：
1
i 1 j i 1
特别地有：
2 2 2 X 2Cov( X , Y ) Y
X Y

2 X Y
X Y 2Cov( X , Y )
2 2
例6：鸡蛋应该放在不同篮子里吗？

有两个项目，每个需投资100万元，预期投资回 报为随机变量。假设投资回报期望都是10万元， 已知不确定性（标准差）都是4万元，且两个项目 之间存在相关关系，相关系数假设为0.5。现在你 有200万元投资款，你应该将全部资金投于一个 项目还是分投两个项目？
1 2 1 2 ( x a) 2 ( y b) 2 2 ( x a)( y b) 1 exp 2 2 2 2 2(1 ) 1 1 2 1 2
f ( x, y )
试计算y的概率密度函数。
第三讲 概率及概率分布
沈建荣 jrshen@ynu.edu.cn
一、概率定义与计算 （略）
二、随机变量的统计特性
连续型随机变量的描述及特征

设f(x)为连续型随机变量X的概率密度函数，则累积分 布函数为
F ( x) P( X x) f (t )dt

x

连续型随机变量的期望（均值）、总体中位数xm
分析

投资（尤其是短期）决策主要考虑两个因素：预 期投资回报和风险。
预期投资回报可以用随机变量的期望来衡量；
分析则可以用随机变量标准差来衡量。

若投资回报相同，则选择风险较小的方案； 若投资回报不同相同，则根据决策者的风险偏好 来选择方案。（另：人类是风险喜好者还是规避者？如
果你是房产投资人，试考虑买和卖的决策过程。）
XY
可以证明，对于任意两个随机变量均有：
1 X,Y 1
随机变量线性组合的的均值与方差
c X
1 x c2 X 2 c p X p
c1X1 c2 X2 cp X p
n 1 n
2 p
2

c1X x c2 X 2 c p X p
2 2 2 2 c12 X c2 X c2 p X 2 c1c2Cov( X i , X j )
S 0.25 X 0.05 0.25X 0.05 0.62
2 2 2 2 S 0.25 0.25 X 0.625 X 0.05
独立随机变量线性组合的均值与方差

如果X1,X2,…,Xp为相互独立的随机变量，则线性组合
h( x) c1 X x c2 X 2 2 2cp X p
即X的边际概率分布依然是正态分布N（a, δ12), 。
续

进一步计算出Y的条件密度函数为：
fY | X ( y | x )
1 2 2
( y (b 2 11 ( x a))) 2 exp 2 2 2 2(1 ) 2 1
2 显然这也是正态分布 N (b 2 11 ( x a), (1 2 ) 2 )
0.8 0.8 1
1.25( x x5 / 5) |1 0.8 0.0819
面积即为概率
计算2、优等品率：
0.4 P( X 0.4) F (0.4) 1.25(x x5 ) |0 0.497
面积即为概率
计算3、均值、总体中位数和方差：
(1) X xf ( x)dx 1.25( x2 / 2 x6 / 6) |1 0 0.4167
续

作代数变换：
y b xa 2 t / 1 1 2 C exp(t 2 / 2)dt 2 1 2 2 2 1 2


代入前式得：
( x a) 2 1 f X ( x) exp 2 2 2 1 1
产品价格不能低于理赔额，保单价格应为35元加上管理和 销售成本，再加上合理的利润。
随机变量的线性函数

随机变量的线性函数
h( x) aX b

期望（均值）
h( x) aX b

方差
2 2 2 h a X ( x)
例2


某地居民家庭平均年收入为2.5万元，方差为1。人们习惯 将收入的25%扣除500元的保险后作为储蓄，问该地家庭 年均储蓄为多少？方差多少？ 计算：

Y的期望条件为：
E(Y | X ) b 211 ( x a)
相关系数


协方差包含着两个随机变量的单位，当多个随机变量两 两比较时，就无法确定相互间关系的强弱，相关系数可 以解决这一问题。 总体相关系数（population correlation）定义为：
X,Y
Cov( X , Y )


(2) F ( xm ) xm 0.4021
xm

f ( x)dx 1.25( x x5 / 5) 0.5
2 (3) x2 f ( x)dx X 2 X 2 1.25( x3 / 3 x7 / 7) |1 0.4167 0.0645 0
计算

设套孔直径为X1，轴直径X2，则间隙：
C 0.5 X1 0.5 X 2
C 0.5 X 0.5 X 0.5X 0.5X 0.05
1 2 1 2
C 2
0.5 X10.5 X 2
2 0.52 2 0.5 0.018 X X
1 2
联合连续型随机变量
计算

设随机变量X和Y分别表示两个项目的投资回报，则可以 表示：预期回报和分析为：
X Y 10, X Y 4, X ,Y 0.5

方案1：分别投资于两个项目，则预期回报和风险分别为：
X Y X Y 20,
2 2 X Y X Y 2Cov( X , Y ),
计算

先计算X的边际概率密度函数：
f X ( x)


f ( x, y)dy
注意到：
( x a)2

2 1 2

( y b) 2

2 2

2 ( x a)( y b)
1 2
xa
(1 )
( x a)2
12
(
1

y b
2
)2
续

积分得到：

x
xy (8 xy )dydx ( 8 x 2 y 2 dy )dx
0 0
1
x
8 5 4 x dx 0 3 9
（XY的期望）
Cov( X , Y ) XY X Y 4 / 225 0.01778
例5b

已知（X,Y）服从二维正态分布N（a,b,δ12,δ22,ρ),联合概率 密度函数为：
例5a

某物体在由坐标系X轴、直线x=1以及直线y=x围成的 区域A（如图示）内随机出现，(X,Y)表示物体在某一 时间内出现的位置，且X和Y的联合概率密度为：
8xy f ( x, y) 0
求X和Y的协方差。
(x,y) A (x,y) A
计算
x 3 f X ( x) 8xydy 4 xy 2 | y 4 x y 0 0 1 x
fY | X ( y | x) fY ( y)
即随机变量的独立与事件的独立很相似，Y的条件分 布不依赖于X
协方差（covariance）

当两个随机变量不独立时，协方差可以衡量二者之 间的关系方向与强度。 随机变量X和Y的总体协方差
C ov( X , Y ) ( X X )(Y Y ) XY X Y

计算

记理赔值为随机变量X，则X的概率分配为：
X（元） 500 10000
200000
P(X=x)
1% 0.1%
备注 轻伤 重伤
0.01%
死亡
无事故
0
99.89%
续
X xi p( xi )
xi
来自百度文库
500 1% 10000 0.1% 200000 0.01% 0 98.9% 35

例1b

（离散型随机变量）
某保险公司设计一款一日游健康保险产品。根据 市场调查，产品设计为：轻伤赔付500元（平均 发生比例1%），重伤赔付10000元（平均发生比 例0.1%），死亡赔付200000元（平均发生比例 0.01%）。问按照盈亏平衡原则的收费最少为多 少？
分析

只需计算出每一份产品的理赔值即可。因为该变 量为不确定的随机变量，所以应该计算变量的期 望值。 （产品价格当然还应加上产品的销售、管理等等 成本以及合理的利润点，关于这些方面的问题， 本例不作探讨）
f ( x, y ) where
2 x a y b 1 C exp dy 2 2(1 ) 1 2
f ( x, y )dy
1 2 1 2
( x a) 2 exp C 2 2 1 1
1.25(1 x 4 ) f ( x) 0 0 x 1 other
1、若间隙大于0.8则不合 格，问该厂加工的废品率 是多少？ 2、优等品（间隙小于0.4） 的比例是多少？ 3、求间隙的均值、总体中 位数和方差。
计算1、废品率：
P( X 0.8) f ( x)dx 1.25(1 x 4 )dx

期望

X Y
X Y
2
2
h( x) c1X c2 X cp X
1

方差
2
X Y 2 2 1 X1


2
h( x)
2 2 2 c c2 X c2 p X
2
2 X
Y
p
2
p
例3

在例1中，设套件直径的均值为30.35cm，标准差为 0.03cm，轴直径30.25cm。标准差为0.02cm。求间隙的 均值，假设轴和套的选取是相互独立的，求间隙的标准差。

如果随机变量X和Y的概率可以通过对一个二元函数的 积分得到，则称X和Y是联合连续，这个二元函数称为X 和Y的联合概率密度函数（joint probability density function）
P(a X b, c Y d )
b
a

d
c
f ( x, y)dxdy
边际概率密度函数(marginal probability density function)
X xf ( x)dx


F ( xm )

xm

f ( x)dx 0.5

连续型随机变量的方差
2 ( x X ) f ( x)dx x2 f ( x)dx X 2 X 2
例1a （连续型随机变量）

某厂加工一种圆孔套件，轴与孔径的间隙为随机变量 X(cm），其概率分布密度函数为：
f ( x, y) fY | X ( y | x ) f X ( x)
在给定X=x的条件下，Y的条件期望为：
E (Y | X x) y fY | X ( y | x)dy


独立性

当下列条件成立时，称X和Y是相互独立的
f ( x, y) f X ( x) fY ( y)

显然，当X和Y是相互独立的，则有