离散系统稳定性判据

§ 5、4 离散时间系统状态稳定性及判别法 1、 离散时间系统的平衡状态(点) 设
0(1)(),(0),0,1,2,,x k Ax k x x k +===L (5、17)
称=e Ax 0的e x 为(5、17)的平衡状态(点)、 当A 奇异时, 有无数个平衡状态、 2、 平衡状态(点)的稳定性
(1)稳定:∀>∃>0,0εδ,使当-<e x x 0δ时,有
-<≥e x k x k (),0ε;
(2)渐近稳定:∃>0δ,
使当-<e x x 0δ时,有
→∞
-=e k x k x lim ()0;
(3)全局渐近稳定:任意∈n
x 0R ,
都有→∞
-=e k x k x lim ()0;
(4)不稳定:∃>00ε, 无论δ 多小正数, 总有>k 10, 使
->e x k x 10()ε
对定常系统, 渐近稳定 全局一致渐近稳定、 3、稳定性判别
对定常系统(1)()x k Ax k +=
若0e x =稳定(渐近稳定),则其它e x 也稳定(渐近稳定);
若0e x =渐近稳定,则e x 必为一致全局渐近稳定; 简单介绍0e x =稳定性条件 设(5、17)的解
==k
x k A x k 0(),0,1,2,L
则渐近稳定
⇔→∞
→∞
-==k
k k x k A x 0lim ()0lim 0(≠x 00),
⇔→∞
=k k A lim 0⇔-→∞
=k k TJ T
1
lim 0⇔→∞
=k
k J lim 0
⇔A 的所有特征值的模全小于1
⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内、
其中J为A的若当形、
如
11
......
k k
k
k
r r J J
J
J J
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==⎢⎥
⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
且再如
1122
11
1
10
0100
0000
k k k
k
k k
k k k
k
k
C C
J C
λλλ
λ
λλλ
λλ
--
-
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
==→
⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎢⎥
⎣⎦
⇔A的所有特征值的模全小于1
⇔A 的所有特征值都位于复平面上的单位圆内、 例 设A 有互不相同特征值n 12,,,λλλL , 则T , 使
⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥
⎢
⎥⎢
⎥==⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣
⎦
k
k
k k
k n n A T T T T 11
2
-1-12
λλλλ
λλO
O
由此可得
→∞
<=⇔==k
i i k i n i n ||1,1,2,,lim 0,1,2,,λλL L
→∞
⇔=k
k A lim 0、
定理5、12 系统为(5、17)的稳定性判定如下: (i) 0e x =稳定⇔A 所有特征值的模全s 小于1或等于1,
且模等于1的特征值对应的约当块就是一阶的; (ii) 0e x =渐近稳定⇔A 的所有特征值模全小于1、 对一般非线性系统
+==x k F x k k (1)(()),0,1,2,L (5、18)
在=e x 0(设=F (0)0)的稳定性判定方法有
定理5、13 对(5、18), 若()x k 的标量函数V x k ((()),满
足
(i) V x k (())为正定;
(ii) ()=+-V x k V x k V x k (())((1))(())∆负定; (iii) 当→∞x k ||()||时,有→∞V x k ((())、 则=e x 0全局渐近稳定的、 若无(iii), 则=e x 0就是渐近稳定的;
再若(ii)中V x k (())∆为半负定, 则=e x 0仅就是稳定的、 定理用于定常系统(5、17), 即得
定理5、14 线性定常离散(5、17)的=e x 0为渐近稳定
⇔对∀Q > 0, 李雅普诺夫方程
-=-T
A PA P Q
有唯一正定解P 证只证充分性,
即已有对∀Q > 0, -=-T
A PA P Q 有唯一解0P >, 令=T k k
k V x x Px (), 则有
+++=-=-T T k k k k k k
k V x V x V x x Px x Px 111()()()∆
=-=-T T
T k
k k
k x A PA P x x Qx (),
显见k V x ()∆为负定, 故=e x 0渐近稳定、
例5、6 设
⎡⎤
+=⎢⎥
⎣⎦
a x k x k
b 0(1)()0 试分析稳定的条件、
解 选Q = I , 则有-=-T
A PA P I , 即 -⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤
-=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
⎣⎦⎣⎦p p p p a a p p p p b b 111211
1221
2221
2200100001 整理且比较, 得
,1)1(,0)1(,1)1(2
22122
11=-=-=-b p ab p a p
要P 为正定, 需满足
<<a b ||1,||1, (5、19)
解出
===--p p p a
b
1112222
2
1
1
,0,11, =e x 0一致全局渐近稳定、
实质上:<<a b ||1,||1⇔所有特征值的模全小于1、。