南通大学《试验设计与数据处理》复习要点

《试验设计与数据处理》复习要点第一章误差分析
一、真值与平均值
1、真值：指在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值。

2、平均值
（1）算术平均值：x̅=x1+x2+⋯+x n
n =∑x i
n
同样试验条件下，多次试验值服从正态分布，算术平均值是这组等精度试验值中的最佳值或最可信赖值。

（2）加权平均值：x̅w=w1x1+w2x2+⋯+w n x n
w1+w2+⋯+w n =∑w i x i
∑w i
（3）对数平均值：x̅L=x1−x2
ln x1
x2=x2−x1
ln x2
x1
，试验数据的分布曲线具有对称性
（4）几何平均值：lg x̅G=∑lg x̅i
n
（5）调和平均值：H=n
∑1
x i
二、误差的基本概念
1、绝对误差=测得值-真值，结果可正可负。

2、相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值，结果可正可负。

3、算术平均误差∆=∑|x i−x̅|
n
4、标准误差
（1）样本标准差s=√∑(x i−x̅)2
n−1=√∑x i2−(∑x i)2/n
n−1
（2）总体标准差σ=√∑(x i−x̅)2
n =√∑x i2−(∑x i)2/n
n
三、误差来源及分类
根据误差的性质或产生原因，可分为随机误差、系统误差、粗大（过失）误差。

1、随机误差：在一定试验条件下，以不可预知的规律变化着的误差；
2、系统误差：在一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差；
3、粗大（过失）误差：一种显然与事实不符的误差。

四、试验数据的精准度
1、精密度：反映随机误差大小的程度，是指在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度或一致程度；
2、正确度：指大量测试结果的（算术）平均值与真值或接受参照值之间的一致程度，反映了系统误差的大小，是指在一定的试验条件下，所有系统误差的综合；
3、准确度：反映系统误差和随机误差的综合，表示了试验结果与真值或标准值的一致程度。

五、试验数据误差的统计检验
1、随机误差的检验
随机误差的大小可用试验数据的精密程度来反映，而精密度的好坏又可用方差来度量，所以对测试结果进行方差检验，即可判断随机误差之间的关系。

（1）χ2检验
总体方差σ2已知，数据服从正态分布（i=1,2，…，n）
χ2=(n−1)S2
σ2
~χ2(n−1)（S2为样本方差，σ2为原总体方差）
由显著水平α=0.01或0.05可查得临界值；
①双侧检验：若χ2
1−α
2<χ2<χ2α
2
，则可判断该组数据的方差与总体方差无显著差异，否则有。

②单侧检验：
1）左侧检验：若χ2>χ21−α(n−1)，χ2<n−1，则方差与原总体方差无显著减小，否则有显著减小；2）右侧检验：若χ2<χ2α(n−1)，χ2>n−1，则方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大；（2）F检验（适用于两组具有正态分布的试验数据之间的精密度比较）
x1，x2，…，x n1与y1，y2，…，y n2都服从正态分布，样本方差为S12和S22
F=S12
S22
~F(n1−1,n2−1)，由α（显著度）查F分布表，可得临界值。

①双侧检验：若F
1−α
2(n1−1,n2−1)<F<Fα
2
(n1−1,n2−1)，则无显著差异，否则有。

②单侧检验：
1）左侧检验：若F<1，F>F1−α
2
(n1−1,n2−1)，则无显著减小，否则有；
2）右侧检验：若F>1，F<Fα(n1−1,n2−1)，则无显著增大，否则有
2、系统误差的检验
（1）t检验法
1）平均值与给定值比较
t=0
s/√n
−1)，其中：x̅—试验值的算术平均值；S—n（n＜30）个试验值的样本标准差；μ0—给定值。

①双侧检验：若|t|<tα
2
，则该组数据的平均值与给定值无显著差异，否则有；
②单侧检验：
A. 左侧检验，若t<0，且|t|<tα，则无显著减小，否则有；
B. 右侧检验，若t>0，且t<tα，则无显著增大，否则有。

2）两个平均值的比较x1，x2，…，x n1与y1，y2，…，y n2都服从正态分布
①两组数据无显著差异时，t=
S w√1
n1+1
n2
1
+n2−2)，S w=√(n1−1)S12+(n2−1)S22
n1+n2−2
②两组数据有显著差异时，t=
√S1
n1+S2
n2
，df=
(S1
2
n1
+S2
2
n2
)2
(
S12
n1)
2
n1+1
+
(
S22
n2)
2
n2+1
−2
A. 双侧检验：|t|<tα
2
，则两平均值无显著差异，否则有；
B. 单侧检验：
a. 左侧检验，若t<0，且|t|<tα，则1比2无显著减小，否则有；
b. 右侧检验，若t>0，且t<tα，则1比2无显著增大，否则有。

3）成对数据的比较
x1，x2，…，x n与y1，y2，…，y n
t=̅0
S/√n −1)，d0可取0或给定值，S d是n对数据之差的样本标准差，S d=√∑(d i−d̅)2
n−1
=√∑d i2−(∑d i)2/n
n
，
d为成对测定值之差的算术平均值d=∑(x i−y i)
n =∑d i
n
如果|t|<tα
2
，则成对数据之间不存在显著的系统误差，否则有。

（2）秩和检验法
x1，x2，…，x n1与y1，y2，…，y n2相互独立，假设n1≤n2
1）将这两组数据混在一起，按从小到大的顺序排列，每个试验值在序列中的次序叫做该值的秩。

2）将属于第一组数据的秩相加，其和记为R1，称为第一组数据的秩和。

3）对于给定的显著性水平α和n1、n2，由秩和临界值表可查得R1的上限T1和T2。

如果R1＞T2或R1＜T1，则认为两组数据有显著差异，否则无。

注：几个数据相等时，它们的秩等于相应几个秩的算术平均值。

3、异常值的检验
拉依达检验法、格拉布斯检验法、狄克逊检验法
六、有效数字和试验结果的表示
1、有效数字：能够代表一定物理量的数字。

2、有效数字的运算：
（1）加、减运算，结果的小数位数应与其中小数位数最少的数据；
（2）乘、除运算，以有效位数最少的数据位数为准；
（3）乘方、开方运算，结果的有效数字应与其底数相同；
（4）对数运算，对数的有效数字与其真数相同；
3、有效数字的修约规则：
（1）舍去数字的最左一位数字＜5，舍去；
（2）舍去数字的最左一位数字≥5，且其后跟有非零数字时，末位数字+1；
（3）舍去数字的最左一位数字＝5，且其右无数字或皆为0时，末位数凑成偶数。

七、误差的传递
根据直接测量值的误差来计算间接测量值的误差，就是误差传递问题。

某些误差传递公式如下表。

第二章 试验数据的表图表示法 1、列表法：记录表和结果表示表。

2、图示法：线图、XY 散点图、条形图和柱形图、圆形图和环形图、三角形图、三维表面图、三维高等线图 第三章 试验的方差分析 单因素试验的方差分析
单因素试验数据表
1、基本步骤 （1）计算平均值
x̅=1n ∑∑x ij n i
j=1
r
i=1=1n ∑n i x̅i r
i=1
=1
n
∑T i r
i=1
，n =∑n i r
i=1
（2）计算离差平方和 1）总离差平方和：
SS T =∑∑(x ij −x̅)2n i
j=1
r
i=1
2）组间离差平方和：
SS A =∑∑(x i ̅−x̅)2n i
j=1
r
i=1=∑n i (x i ̅−x̅)2r
i=1
3）组内离差平方和：
SS e =∑∑(x ij −x i ̅)2
n i
j=1
r
i=1
三者关系为：SS T =SS A +SS e （3）计算自由度
1）SS T 对应的自由度称为总自由度，即df T =n-1； 2）SS A 对应的自由度称为组间自由度，即df A =r-1； 3）SS e 对应的自由度称为组内自由度，即df e =n-r ； 三个自由度的关系：df T =df A +df e 。

（4）计算平均平方
1）组间均方：MS A =SS A /df A ；
2）组内均方（误差均方）：MS e =SS e /df e 。

（5）F 检验
F A =
组间平方组内平方
=
MS A
MS e
~F(df A ,df e ) 对于给定的显著性水平α，查表得临界值F α(df A ,df e )，如果F A >F α(df A ,df e )，则认为因素A 对试验结果有显著影响，否则因素A 对试验结果没有显著影响。

单因素试验的方差分析表
1）若F A >F 0.01(df A ,df e )，则称因素A 对试验结果有非常显著的影响，即高度显著（**）； 2）若F 0.05(df A ,df e )<F A <
F 0.01(df A ,df e )，则因素A 对试验结果有显著的影响，即显著（*）； 3）若F A <F 0.05(df A ,df e )，则因素A 对试验结果的影响不显著。

2、方差分析处理实例（《试验设计与数据处理》P70）
例3-1：为考察温度对某种化工产品得率的影响，选取了五种不同的温度，在同一温度下各做三次实验，试验数据如下表。

试问温度对得率由于显著影响。

解：（1）计算平均值
依题意，本题为单因素试验的方差分析，单因素为温度，有5种水平，即r=5，在每种水平下做了3次试验，故n i =3（i=1,2，…，5），总试验次数n=15。

有关的计算如下表。

（2）计算离差平方和
SS T =∑∑(x ij −x̅)23
j=15
i=1=(90−89.6)2+(92−89.6)2+⋯+(88−89.6)2=353.6
SS A ==∑n i (x i ̅−x̅)2r
i=1
=3[(90−89.6)2+(94−89.6)2+⋯+(84−89.6)2]=303.6
SS e =SS T −SS A =353.6−303.6=50
（3）计算自由度：df T =n-1=15-1=14；df A =r-1=5-1=4；df e =n-r=15-5=10
； （4）计算平均平方：MS A =SS A /df A =303.6/4=75.9；MS e =SS e /df e =50.0/10=5.0。

（5）F 检验：F A =
MS A MS e
=
75.95
=15.2
查表得，临界值F 0.05(df A ,df e )=F 0.05(4,10)=3.48，F 0.01(4,10)=5.99，因为F A >F α(df A ,df e )，所以因素A 即温度对产品得率有非常显著影响。

有关计算结果列于方差分析表中得：
方差分析表
第四章 试验数据的回归分析——一元线性回归分析（见《误差理论与数据处理》） 第五章 优选法
优选法是根据生产和科研中的不同问题，利用数学原理，合理安排试验点，减少试验次数，以求迅速地找到最佳点的一类科学方法。

1、单因素优选法：来回调试方法、黄金分割法（0.618）、分数法、对分法、抛物线法、分批试验法（均分法、比例分割法）、逐步提高法（爬山法）、多峰情况。

2、双因素优选法：对开法、旋升法、平行线法、按格上升法、翻筋斗法
第六章正交试验设计——正交试验设计结果的方差分析法
1、方差分析的基本步骤
（1）计算离差平方和；（2）计算自由度；（3）计算平均离差平方和；（4）计算F值；（5）显著性检验。

2、二水平正交试验的方差分析（《试验设计与数据处理》P148）
例6-9：某厂拟采用化学吸收法，用填料塔吸收废气中的SO2，为了使排放的废气符合国家标准，通过正交试验对吸收工艺条件进行摸索，试验的因素与水平如图所示。

需要考虑交互作用A×B、B×C。

如果将A、B、C放在正交表L8(27)的1,2,4列，试验结果（SO2摩尔率，%）依次为0.15,0.25,0.03,0.02,0.09,0.16,0.08。

试进行方差分析（α=0.05）。

因素水平表
解：①列出正交表L8(2)和试验结果，如下表：
试验结果及分析
②计算离差平方和
总离差平方和：SST=Q-P=1625-1176.125=448.875
因素与交互作用的平方和：SS A=SS1=1
n (K1−K2)2=1
8
(45−52)2=6.125
SS B=SS2=1
n (K1−K2)2=1
8
(65−32)2=136.125
SS A×B=SS3=1
n (K1−K2)2=1
8
(67−30)2=171.125
SS C=SS4=1
n (K1−K2)2=1
8
(46−51)2=3.125
SS B×C=SS6=1
n (K1−K2)2=1
8
(34−63)2=105.125
SS5=1
n (K1−K2)2=1
8
(42−55)2=21.125
SS7=1
n (K1−K2)2=1
8
(52−45)2=105.125
误差平方和：SS e=SS5+SS7=21.125+6.125=27.250
或SS e=SS T−(SS A+SS B+SS A×B+SS C+SS B×C)=27.250
③计算自由度
总自由度：df T=n-1=8-1=7
各因素自由度：df A= df B= df C=r-1=2-1=1
交互作用自由度：df A×B=df A×df B=1×1=1
或df A×B=df3=r-1=1
df B×C=df B×df C= df6=1
误差自由度：df e=df5+df7=1+1=2
或df e=df T-(df A+df B+df A×B+df C+df B×C)=2
④计算均方
由于各因素和交互作用的自由度为1，所以它们的均方应该等于它们各自的离差平方和，即：MS A=SS A=6.125，MS B=SS B=136.125，MS A×B=SS A×B=171.125
MS C=SS C=3.125，MS B×C=SS B×C=105.125
但误差的均方为MS e=SS e
df e =27.250
2
=13.625
MS A<MS e，MS C<MS e，说明A、C对结果影响较小，为次要因素，归入误差，则：新误差平方和：SS e∆=SS e+SS A+SS C=36.500
新误差自由度：df e∆=df e+df A+df C=4
新误差均方：MS e∆=SS e∆
df e∆=36.500
4
=9.125
⑤计算F值
F B=MS B
MS e∆
=
136.125
9.125
=14.92
F A×B=MS A×B
MS e∆
=
171.125
9.125
=18.75
F B×C=MS B×C
MS e∆
=
105.125
9.125
=11.52
⑥F检验
查表得：F0.05(1，4)=7.71，F0.01(1，4)=21.20，所以对于给定显著性水平α=0.05，因素B和交互作用A×B，B×C对试验结果都有显著影响。

将分析结果列于方差分析表中，如下：
从F值得大小可以看出因素的主次顺序为A×B、B、B×C。

⑦优方案的确定
交互作用A×B、B×C都对试验指标有显著影响，所以因素A、B、C优水平的确定应依据A、B水平搭配表确定。

由于指标越小越好，所以A、B优水平搭配为A1B2。

于是，最后确定的优方案为A1B2C2，即碱浓度5%，操作温度20℃，填料选择乙。