南通大学《试验设计与数据处理》复习要点

《试验设计与数据处理》复习要点第一章误差分析

一、真值与平均值

1、真值：指在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值。

2、平均值

（1）算术平均值：x̅=x1+x2+⋯+x n

n =∑x i

n

同样试验条件下，多次试验值服从正态分布，算术平均值是这组等精度试验值中的最佳值或最可信赖值。

（2）加权平均值：x̅w=w1x1+w2x2+⋯+w n x n

w1+w2+⋯+w n =∑w i x i

∑w i

（3）对数平均值：x̅L=x1−x2

ln x1

x2=x2−x1

ln x2

x1

，试验数据的分布曲线具有对称性

（4）几何平均值：lg x̅G=∑lg x̅i

n

（5）调和平均值：H=n

∑1

x i

二、误差的基本概念

1、绝对误差=测得值-真值，结果可正可负。

2、相对误差=绝对误差/真值≈绝对误差/测得值，结果可正可负。

3、算术平均误差∆=∑|x i−x̅|

n

4、标准误差

（1）样本标准差s=√∑(x i−x̅)2

n−1=√∑x i2−(∑x i)2/n

n−1

（2）总体标准差σ=√∑(x i−x̅)2

n =√∑x i2−(∑x i)2/n

n

三、误差来源及分类

根据误差的性质或产生原因，可分为随机误差、系统误差、粗大（过失）误差。

1、随机误差：在一定试验条件下，以不可预知的规律变化着的误差；

2、系统误差：在一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差；

3、粗大（过失）误差：一种显然与事实不符的误差。

四、试验数据的精准度

1、精密度：反映随机误差大小的程度，是指在一定的试验条件下，多次试验值的彼此符合程度或一致程度；

2、正确度：指大量测试结果的（算术）平均值与真值或接受参照值之间的一致程度，反映了系统误差的大小，是指在一定的试验条件下，所有系统误差的综合；

3、准确度：反映系统误差和随机误差的综合，表示了试验结果与真值或标准值的一致程度。

五、试验数据误差的统计检验

1、随机误差的检验

随机误差的大小可用试验数据的精密程度来反映，而精密度的好坏又可用方差来度量，所以对测试结果进行方差检验，即可判断随机误差之间的关系。

（1）χ2检验

总体方差σ2已知，数据服从正态分布（i=1,2，…，n）

χ2=(n−1)S2

σ2

~χ2(n−1)（S2为样本方差，σ2为原总体方差）

由显著水平α=0.01或0.05可查得临界值；

①双侧检验：若χ2

1−α

2<χ2<χ2α

2

，则可判断该组数据的方差与总体方差无显著差异，否则有。

②单侧检验：

1）左侧检验：若χ2>χ21−α(n−1)，χ2n−1，则方差与原总体方差无显著增大，否则有显著增大；（2）F检验（适用于两组具有正态分布的试验数据之间的精密度比较）

x1，x2，…，x n1与y1，y2，…，y n2都服从正态分布，样本方差为S12和S22

F=S12

S22

~F(n1−1,n2−1)，由α（显著度）查F分布表，可得临界值。

①双侧检验：若F

1−α

2(n1−1,n2−1)

2

(n1−1,n2−1)，则无显著差异，否则有。

②单侧检验：

1）左侧检验：若F<1，F>F1−α

2

(n1−1,n2−1)，则无显著减小，否则有；

2）右侧检验：若F>1，F

2、系统误差的检验

（1）t检验法

1）平均值与给定值比较

t=0

s/√n

−1)，其中：x̅—试验值的算术平均值；S—n（n＜30）个试验值的样本标准差；μ0—给定值。

①双侧检验：若|t|

2

，则该组数据的平均值与给定值无显著差异，否则有；

②单侧检验：

A. 左侧检验，若t<0，且|t|

B. 右侧检验，若t>0，且t

2）两个平均值的比较x1，x2，…，x n1与y1，y2，…，y n2都服从正态分布

①两组数据无显著差异时，t=

S w√1

n1+1

n2

1

+n2−2)，S w=√(n1−1)S12+(n2−1)S22

n1+n2−2

②两组数据有显著差异时，t=

√S1

n1+S2

n2

，df=

(S1

2

n1

+S2

2

n2

)2

(

S12

n1)

2

n1+1

+

(

S22

n2)

2

n2+1

−2

A. 双侧检验：|t|

2

，则两平均值无显著差异，否则有；

B. 单侧检验：

a. 左侧检验，若t<0，且|t|

b. 右侧检验，若t>0，且t

x1，x2，…，x n与y1，y2，…，y n

t=̅0

S/√n −1)，d0可取0或给定值，S d是n对数据之差的样本标准差，S d=√∑(d i−d̅)2

n−1

=√∑d i2−(∑d i)2/n

n

，

d为成对测定值之差的算术平均值d=∑(x i−y i)

n =∑d i

n

如果|t|

2

，则成对数据之间不存在显著的系统误差，否则有。

（2）秩和检验法

x1，x2，…，x n1与y1，y2，…，y n2相互独立，假设n1≤n2

1）将这两组数据混在一起，按从小到大的顺序排列，每个试验值在序列中的次序叫做该值的秩。

2）将属于第一组数据的秩相加，其和记为R1，称为第一组数据的秩和。

3）对于给定的显著性水平α和n1、n2，由秩和临界值表可查得R1的上限T1和T2。如果R1＞T2或R1＜T1，则认为两组数据有显著差异，否则无。

注：几个数据相等时，它们的秩等于相应几个秩的算术平均值。

3、异常值的检验

拉依达检验法、格拉布斯检验法、狄克逊检验法

六、有效数字和试验结果的表示

1、有效数字：能够代表一定物理量的数字。

2、有效数字的运算：

（1）加、减运算，结果的小数位数应与其中小数位数最少的数据；

（2）乘、除运算，以有效位数最少的数据位数为准；

（3）乘方、开方运算，结果的有效数字应与其底数相同；

（4）对数运算，对数的有效数字与其真数相同；

3、有效数字的修约规则：

（1）舍去数字的最左一位数字＜5，舍去；

（2）舍去数字的最左一位数字≥5，且其后跟有非零数字时，末位数字+1；

（3）舍去数字的最左一位数字＝5，且其右无数字或皆为0时，末位数凑成偶数。

七、误差的传递

根据直接测量值的误差来计算间接测量值的误差，就是误差传递问题。某些误差传递公式如下表。