数学实验与数学建模(浅谈分形)
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Polygon[{ptlist[[3i + 1]],
AppendTo[tmp,
ptlist[[3i + 2]], ptlist[[3i + 3]]}]]];
Show[Graphics[tmp], AspectRatio -> 1/GoldenRatio]]
po1 = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, Sqrt[3]}};
(ptlist[[3i + 1]] + ptlist[[3i来自百度文库+ 2]])/2, ptlist[[3i + 3]])/2,
(ptlist[[3i + 1]] + ptlist[[3i + 3]])/2,
ptlist[[3i + 2]], (ptlist[[3i + 2]] +
(ptlist[[3i + 1]] + ptlist[[3i + 3]])/2, (ptlist[[3i + 2]] +
ptlist[[3i + 3]])/2,
ptlist[[3i + 3]]}]];
tmp]
Showsierpinski[ptlist_List] := Block[{tmp = {}, i, pnum = Length[ptlist]/3},
For[i = 0, i < pnum, i = i + 1,
{-0.9, -0.05}, {-0.9, -0.25}}]]]
Mandelbrot3 = DensityPlot[iter[x, y, 50], {x, -0.9, -0.7}, {y, -0.25, -0.05},
PlotPoints -> 120, Mesh -> False]
1.5
1
0.5
ptlist[[i + 1]]/3, (ptlist[[i]] + ptlist[[i + 1]])/
2 + {ptlist[[i]][[2]] - ptlist[[i + 1]][[2]], ptlist[[i + 1]][[1]] - ptlist[[i]][[1]]}*Sqrt[3]/6, ptlist[[i]]/3 + ptlist[[i + 1]]*2/3, ptlist[[i + 1]]}]]; tmp] Inko01 = {{0, 0}, {1, 0}}; Show[Graphics[Line[Nest[redokoch, Inko01, 4]],
给s以不同的值
0.75 1 0.5 0.25 0.5
-1
-0.5 -0.25 -0.5
0.5
1
-1
-0.5 -0.5 -1
0.5
1
-0.75
S=1.2
S=1.5
2 7.5 1 5 2.5 -1 -0.5 -1 -5 -2 -7.5 0.5 1
-1
-0.5 -2.5
0.5
1
S=1.7
S=1.99
复变函数的迭代
AspectRatio -> Sqrt[3]/6]]
Koch 曲线的特点
自相似性 精细结构：复杂性不随尺度减小而消失
处处不光滑，每一点是尖点
长度：En的长度＝(4/3)n趋于无穷
本身定义方式简单 问题
Koch曲线在有限区域却长度无限，它是否一维的？
单参数的函数曲线是一维的吗？
设是平面上边长为1/2的正三角形，构造 fn
制作Mandelbrot集
设定最大迭代次数N，图形分辨率a,b, 使用颜 色数 K
设定一个上界 M 设将矩形域{－M≤x, y ≤ M}分成ab网格 以每个网格点作为（p,q）,以原点作初值作迭代 若对所有n ≤ N， xn2 + yn2 ≤ M2 ,将迭代的 所有 点用黑色显示；而若从迭代某m步起 xn2 + yn2 ≤ M2 则将迭代所有点用第m(modK)种颜色显示
维数＝？
redosierpinski[ptlist_List] := Block[{tmp = {}, i, pnum = Length[ptlist]/3}, For[i = 0, i < pnum, i = i + 1, tmp = Join[tmp, {ptlist[[3i + 1]],
(ptlist[[3i + 1]] + ptlist[[3i + 2]])/2,
Showsierpinski[Nest[redosierpinski, po1, 3]]
Weierstrass 函数
W(x)=(s－2)ksin(kx) , >1,1<s<2
数学分析中的著名例子：处处连续，但无处可微 的函数，自仿射
使用Mathematica
lambda = 2; nmax = 20; s = 1.2; Plot[Sum[lambda^((s - 2)k)Sin[(lambda^k)x], {k, 1, nmax}], {x, -1, 1}]
f1
f3
f2
以此方式得到 fn ，在[0,1] 一致收敛到极限函数 f 的象将为整个三角形
分形维数
将单位边长的线段，正方形，立方体 分成边长为1/2的同样几何物体，得到21，22，23 个小线段，正方形，立方体 注意指数给出了几何物体的维数 定义分形维数 若将几何物体的长度（线度）缩小为1/r， 得到N个相似小几何物体，那么维数d满足 N=rd
数学实验
从一些奇妙 图象浅谈分形
海岸线有长度吗？
法国的Mandelbrot.B 开创了分形几何 （fractal geometry）的研究 1967年的论文：“英国海岸线的长度不确 定” 海岸线的长度随测量尺度变化 对自然几何形态的数学研究
（1）具有无限嵌套层次的精细结构
（2）在不同尺度下具有某种相似特性
1.5
0
1
-0.5
0.5
-1
0
-1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
-0.5
-1
-1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
选择一个局部
-0.05
-0.1
前面局部 的放大 自相似性， 精细结构
-0.15
-0.2
-0.25 -0.9
-0.85
-0.8
-0.75
-0.7
实验任务
d=logN/log r
Koch曲线的维数？ 约1.2618
分形的数学实例
Cantor集 从单位区间[0,1]出发，三分去中段，得E1， E1两个区间三分去中得E2 ，极限集合为Cantor集
数学名例：完备，完全不连通，长度0
自相似，精细结构，简单定义
Sierpinski集合
三角形四等分去中间小三角形所得极限图形
考虑 Zk+1=Zk2+
给定复数初值Z0, ，得到无穷复数序列{Zk}
Julia集：固定
J ={Z0序列{Zk}有界}
Mandelbrot集：固定Z0
MZ＝{ 序列{Zk}有界}
若Zk= xk+ iyk , = p+iq xk＋1＝xk2－yk2 ,＋p yk＋1＝2xkyk ,＋q
使用Mathematica
iter[x_, y_, lim_] := Block[{c, z, ct}, c = x + I*y; z = c; ct = 0; ++ct; z = z*z + c;]; Mandelbrot1 = DensityPlot[iter[x, y, 50], {x, -2.0, 1.0}, {y, -1.5, 1.5}, PlotPoints -> 120, Mesh -> False] Mandelbrot2 = Show[Mandelbrot1, Graphics[Line[{{-0.9, -0.25}, {-0.7, -0.25}, {-0.7, -0.05}, While[(Abs[z] < 2.0) && (ct < lim), Return[ct];]
选择制作一个分形的图形 自己设计一个分形的图形的制作 谈谈你所认识的分形
Koch 雪花曲线
设E0为单位直线段 三等分后，中间一段用与其组成等边三角形 的另两边代替，得到E1 对E1的4条线段的每一
条重复以上做法，得到E2
以此方法重复，可得En 当n趋于无穷，得到的极限曲线就是Koch 曲线
用Mathematica 画koch曲线
redokoch[ptlist_List] := Block[{tmp = {}, i, pnum = Length[ptlist]}, For[i = 1, i < pnum, i = i + 1, tmp = Join[tmp, {ptlist[[i]], ptlist[[i]]*2/3 +
AppendTo[tmp,
ptlist[[3i + 2]], ptlist[[3i + 3]]}]]];
Show[Graphics[tmp], AspectRatio -> 1/GoldenRatio]]
po1 = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, Sqrt[3]}};
(ptlist[[3i + 1]] + ptlist[[3i来自百度文库+ 2]])/2, ptlist[[3i + 3]])/2,
(ptlist[[3i + 1]] + ptlist[[3i + 3]])/2,
ptlist[[3i + 2]], (ptlist[[3i + 2]] +
(ptlist[[3i + 1]] + ptlist[[3i + 3]])/2, (ptlist[[3i + 2]] +
ptlist[[3i + 3]])/2,
ptlist[[3i + 3]]}]];
tmp]
Showsierpinski[ptlist_List] := Block[{tmp = {}, i, pnum = Length[ptlist]/3},
For[i = 0, i < pnum, i = i + 1,
{-0.9, -0.05}, {-0.9, -0.25}}]]]
Mandelbrot3 = DensityPlot[iter[x, y, 50], {x, -0.9, -0.7}, {y, -0.25, -0.05},
PlotPoints -> 120, Mesh -> False]
1.5
1
0.5
ptlist[[i + 1]]/3, (ptlist[[i]] + ptlist[[i + 1]])/
2 + {ptlist[[i]][[2]] - ptlist[[i + 1]][[2]], ptlist[[i + 1]][[1]] - ptlist[[i]][[1]]}*Sqrt[3]/6, ptlist[[i]]/3 + ptlist[[i + 1]]*2/3, ptlist[[i + 1]]}]]; tmp] Inko01 = {{0, 0}, {1, 0}}; Show[Graphics[Line[Nest[redokoch, Inko01, 4]],
给s以不同的值
0.75 1 0.5 0.25 0.5
-1
-0.5 -0.25 -0.5
0.5
1
-1
-0.5 -0.5 -1
0.5
1
-0.75
S=1.2
S=1.5
2 7.5 1 5 2.5 -1 -0.5 -1 -5 -2 -7.5 0.5 1
-1
-0.5 -2.5
0.5
1
S=1.7
S=1.99
复变函数的迭代
AspectRatio -> Sqrt[3]/6]]
Koch 曲线的特点
自相似性 精细结构：复杂性不随尺度减小而消失
处处不光滑，每一点是尖点
长度：En的长度＝(4/3)n趋于无穷
本身定义方式简单 问题
Koch曲线在有限区域却长度无限，它是否一维的？
单参数的函数曲线是一维的吗？
设是平面上边长为1/2的正三角形，构造 fn
制作Mandelbrot集
设定最大迭代次数N，图形分辨率a,b, 使用颜 色数 K
设定一个上界 M 设将矩形域{－M≤x, y ≤ M}分成ab网格 以每个网格点作为（p,q）,以原点作初值作迭代 若对所有n ≤ N， xn2 + yn2 ≤ M2 ,将迭代的 所有 点用黑色显示；而若从迭代某m步起 xn2 + yn2 ≤ M2 则将迭代所有点用第m(modK)种颜色显示
维数＝？
redosierpinski[ptlist_List] := Block[{tmp = {}, i, pnum = Length[ptlist]/3}, For[i = 0, i < pnum, i = i + 1, tmp = Join[tmp, {ptlist[[3i + 1]],
(ptlist[[3i + 1]] + ptlist[[3i + 2]])/2,
Showsierpinski[Nest[redosierpinski, po1, 3]]
Weierstrass 函数
W(x)=(s－2)ksin(kx) , >1,1<s<2
数学分析中的著名例子：处处连续，但无处可微 的函数，自仿射
使用Mathematica
lambda = 2; nmax = 20; s = 1.2; Plot[Sum[lambda^((s - 2)k)Sin[(lambda^k)x], {k, 1, nmax}], {x, -1, 1}]
f1
f3
f2
以此方式得到 fn ，在[0,1] 一致收敛到极限函数 f 的象将为整个三角形
分形维数
将单位边长的线段，正方形，立方体 分成边长为1/2的同样几何物体，得到21，22，23 个小线段，正方形，立方体 注意指数给出了几何物体的维数 定义分形维数 若将几何物体的长度（线度）缩小为1/r， 得到N个相似小几何物体，那么维数d满足 N=rd
数学实验
从一些奇妙 图象浅谈分形
海岸线有长度吗？
法国的Mandelbrot.B 开创了分形几何 （fractal geometry）的研究 1967年的论文：“英国海岸线的长度不确 定” 海岸线的长度随测量尺度变化 对自然几何形态的数学研究
（1）具有无限嵌套层次的精细结构
（2）在不同尺度下具有某种相似特性
1.5
0
1
-0.5
0.5
-1
0
-1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
-0.5
-1
-1.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1
选择一个局部
-0.05
-0.1
前面局部 的放大 自相似性， 精细结构
-0.15
-0.2
-0.25 -0.9
-0.85
-0.8
-0.75
-0.7
实验任务
d=logN/log r
Koch曲线的维数？ 约1.2618
分形的数学实例
Cantor集 从单位区间[0,1]出发，三分去中段，得E1， E1两个区间三分去中得E2 ，极限集合为Cantor集
数学名例：完备，完全不连通，长度0
自相似，精细结构，简单定义
Sierpinski集合
三角形四等分去中间小三角形所得极限图形
考虑 Zk+1=Zk2+
给定复数初值Z0, ，得到无穷复数序列{Zk}
Julia集：固定
J ={Z0序列{Zk}有界}
Mandelbrot集：固定Z0
MZ＝{ 序列{Zk}有界}
若Zk= xk+ iyk , = p+iq xk＋1＝xk2－yk2 ,＋p yk＋1＝2xkyk ,＋q
使用Mathematica
iter[x_, y_, lim_] := Block[{c, z, ct}, c = x + I*y; z = c; ct = 0; ++ct; z = z*z + c;]; Mandelbrot1 = DensityPlot[iter[x, y, 50], {x, -2.0, 1.0}, {y, -1.5, 1.5}, PlotPoints -> 120, Mesh -> False] Mandelbrot2 = Show[Mandelbrot1, Graphics[Line[{{-0.9, -0.25}, {-0.7, -0.25}, {-0.7, -0.05}, While[(Abs[z] < 2.0) && (ct < lim), Return[ct];]
选择制作一个分形的图形 自己设计一个分形的图形的制作 谈谈你所认识的分形
Koch 雪花曲线
设E0为单位直线段 三等分后，中间一段用与其组成等边三角形 的另两边代替，得到E1 对E1的4条线段的每一
条重复以上做法，得到E2
以此方法重复，可得En 当n趋于无穷，得到的极限曲线就是Koch 曲线
用Mathematica 画koch曲线
redokoch[ptlist_List] := Block[{tmp = {}, i, pnum = Length[ptlist]}, For[i = 1, i < pnum, i = i + 1, tmp = Join[tmp, {ptlist[[i]], ptlist[[i]]*2/3 +