离散数学--第七章-图论---习题课
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利用奇数+奇数=偶数，偶数+偶数=偶数，所以， 在G中结点度数为奇数的结点，在其补图中的度 数也应为奇数，故G和其补图的奇数结点个数也 是相同的。
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
离散数学
河南工业大学 信息科学与工程学院
第7章 图 论 习题课
复习时注意
准确掌握每个概念 灵活应用所学定理 注意解题思路清晰 证明问题时，先用反向思维(从结论入手)分析问
题，再按正向思维写出证明过程。
图 图论的结构图
通路与回路 图的连通性
图的矩阵表示 欧拉图 汉密尔顿图
平面图的基本性质
设G的阶数为n，4个结点的度数分别为3，3，4，4, 其余n-4个结点的度数均小于或等于2，由握手定理 可得
2×(3+4)+(n-4)×2=14+2n-8
≥ ∑deg(vi) = 2m=20 解此不等式可得n≥7，即G中至少有7个结点，7
个结点时，其度数列为2,2,2,3,3,4,4，△=4,δ=2。
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
有环和平行边，u至多与其余n-1个结点中每一个 有一条边相连接，即deg(u)≤n-1，因此，⊿ (G) ＝maxdeg(u)≤n-1。
设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的 奇数。证明图G与它的补图中度数为奇数的结 点个数相等。
证明：
因为G是n阶无向简单图，且n是大于等于3的奇数， 故无向图的结点数为奇数，则所对应的n阶完全图 中每个结点的度数为n-1即为偶数，
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
d
推论:任何6人的人群中，或者有3人互相认识，或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识，边(x,y)着红色， 否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者 有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明： 设简单图G有n个结点。对任一结点u，由于G没
最小度δ(G)，小于或等于最大度△(G)。 (2) n阶非连通的简单图的边数最多可为n-1阶连通图
加上一个孤立点，所以边数为(n-1)(n-2)/2，最少为0。
一个图如果同构于它的补图，则该图称为自补图。
1)一个图是自补图，其对应的完全图的边数必为偶数; 2)证明：若n阶无向简单图是自补图，则n=4k或n=4k+1
割点。
{f，c}是不满定义的，因为{f}是{f，c}的真子集， 而删除{f}后，图是不连通的。
下图所示的六个图中，强连通，单向连通，弱连通 的分别有哪些？
强连通
单向连通
弱连通
单向连通
强连通
强连通
设图G的邻接矩阵为 则G的边数为( )． A．5 B．6 C．3 正确答案是：D。
D．4
当给定的简单图是无向图时，
3、若图G是不连通的，则G的补图G是连通的。
证明：
若图G＝<V，E>是不连通的，可设图G的连通分支是 G(V1)，G(V2)，…，G(Vm)(m≥2)。由于任意两个连通 分支G(Vi)与G(Vj)(i≠j)之间不连通，因此两个结点子 集Vi与Vj之间的所有连线都在图G的补图G'中。任取 两个结点u和v，有两种情形： a)u和v分别属于两个不同结点子集Vi与Vj。由上可 知G '包含边(u，v)，故u和v在G'中是连通的。 b)u和v属于同—个结点子集Vi。可在另一个结点子 集Vj中取一个结点w，由上可知边(u,w)及边(v,w)均 在G '中，故邻接边(u,w)和(w,v)组成的路连接结点u 和v，即u和v在G'中也是连通的。
(5) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ 答：长度4的通路88条，其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
简单无向图 G 必有2结点同度数。
证: 令 G={v1,…,vn}，
若 G 中没有孤立点,则 G 中 n个结点的度只取 n-1 个 可能值：1,2,…,n-1，从而 G 中至少有两个结点的度 数相同。
(1)设n阶图G中有m条边，证明：δ(G)≤2m/n≤△(G) (2)n阶非连通的简单图的边数最多可为多少？最少呢？
(1)证明中关键步骤是握手定理：
2m=∑deg(vi) δ(G)≤deg(vi)≤△(G)，于是得 nδ(G)≤2m≤n△(G)
⇒ δ(G)≤2m/n≤△(G) 易知2m/n为G的平均度数，因而它大于或等于
点割集，割点，点连通度k(G) 边割集，割边(桥)，边连通度λ(G) 短程线，距离
有向图连通的分类，强连通，单侧连通，弱连 通， 强分图，单侧分图，弱分图
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
正确答案是：C。 对割边、边割集的概念理解到位。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有边集E1E， 使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通 图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连 通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一 个边割集，则称该边为割边（或桥）
如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不 连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错 误的。
(3)E (a,b),(b,e),(e, d),(c,c)
不是
下列各序列中，可以构成无向简单图的度数序列的
有哪些？
(1) (2,2,2,2,2)
可以
(2)(1,1,2,2,3)
不可以
(3)(1,1,2,2,2)
可以
(4)(0,1,3,3,3)
不可以
(5)(1,3,4,4,5)
不可以
图G如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ． A．{(a, d)}是割边 B．{(a, d)}是边割集 C．{(d, e)}是边割集 D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集
4 4 3 2 2 2 2 1
(2) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少条？ 答： v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为1,1,3,5。
(3) D中长度为4的通路（不含回路）有多少条？ 答：长度为4的通路(不含回路)为33条.
(4) D中长度为4的回路有多少条？ 答： 长度为4的回路为11条。
即n=0,1 (mod 4)。
对于任何一个具有6个结点的简单图，要么它包含 一个三角形，要么它的补图包含一个三角形。
解：
设6个结点的简单图为G。考察G中的任意一个结点 a， 那么，另外6个结点中的任何一个结点，要么在 G中与a邻接，要么在G的补图G’中与a邻接。这样， 就可把5个结点分成两类，将那些在G中与a邻接的 结点归成一类，而将那些在G’中与a邻接的结点归 在另一类。于是必有一类至少含有三个结点，不妨 假设其中的三个结点为b，c，d，如图所示。若边(b， c)，(c，d)，(b，d)中有一条在G’中，那么这条边所 关联的两个结点都与a邻接形成一个三角形；若边(b， c)，(c，d)，(b, d)都不在G’中，则(b，c)，(c，d)， (b, d)形成一个三角形。
重要定理：握手定理及其推论
无向图：
有向图：
且
推论 ： 任何图(无向的或有向的)中，奇度结点的 个数是偶数。
典型题
设图G=<V,E>，其中V={a,b,c,d,e}，E分别由下面给 出。判断哪些是简单图，哪些是多重图？
(1)E (a,b),(b,c),(c, d),(a,e)
简单图
(2)E (a,b),(b,e),(e,b),(a,e),(d,e) 多重图
少条？
(3) D中长度为4的通路（不含回路）有 多少条？
(4)D中长度为4的回路有多少条？ (5) D中长度≤4的通路有多少条？其中
有几条是回路？
(6) 写出D的可达矩阵。
有向图D如图所示，回答下列诸问：
(1) D是哪类连通图? D是强连通图。
解答为解(2)—(6)，只需先求D的邻 接矩阵的前4次幂。
邻接矩阵为对称的．即当结 点vi与vj相邻时，结点vj与vi也 相邻，所以连接结点vi与vj的 一条边在邻接矩阵的第i行第j 列处和第j行第i列处各有一个 1，题中给出的邻接矩阵中共 有8个1，故有82=4条边。度 数之和等于2倍的边数。
有向图D如图所示，回答下列问题：
(1) D是哪类连通图? (2) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多
（k为正整数）。 解：
1)设图G 是自补图，G 有 e 条边，G 对应的完全图的 边数为 A。G 的补图 G’的边数应为 A 一 e。因为 G～G’， 故边数相等，e=A 一 e，A＝2e，因此 G 对 应的完全图的边数 A 为偶数。
2)由 1)可知，自补图对应的完全图的边数为偶数。n 个结点的完全图 Kn 的边数为n(n-1)/2 ， 所以 n(n-1)/2=2m ，即n(n-1)=4m，因而 n为4的倍数，即n=4k， 或n-1为4的倍数，即n=4k+1，
1 2 0 0 A 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0 1 0
3 2 2 2 A3 1 2 1 0
2 2 2 1 1 2 1 0
1 2 2 0 A2 1 0 0 1
1 2 1 0 1 0 0 1
5 6 4 2 A4 2 2 2 1
零图与平凡图；简单图与多重图； 完全图；子图，生成子图，补图；图的同构。 2、运用。 (1) 灵活运用握手定理及其推论， (2) 判断两个图是否同构， (3) 画出满足某些条件的子图，补图等。
二、通路、回路、图的连通性
1、基本概念 路，回路，迹， 通路，圈
无向图和有向图中结点之间的可达关系；连通 图，连通分支，连通分支数W(G)
平面图的判断 欧拉公式
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
一、无向图与有向图
1wenku.baidu.com基本概念。
有向图与无向图的定义；有向边,无向边,平行边, 环, 孤立结点
关联与邻接(相邻)； 结点的度数；结点的度, 结点的出度, 结点的入
度, 图的最大度Δ(G),最小度δ(G),
证明 ：
设从结点u到结点v长度为偶数的通路是 ue1u1e2u2…e2kv，
长度为奇数的通路是ue11u11e12u12…e12h-1v， 那么路ue1u1e2u2…e2kve12h-1…u12e12u11e11u就是一条回
路，它的边数＝2k+(2h-1)＝2(h+k)-1，是奇数，故 这条回路的长度是奇数。
否则，G中有孤立点，不妨设 vk,…,vn为全部孤立点, 则 v1,…,vk-1的度只取 k-2个可能值: 1,2,…,k-2，从而 此 k-1个结点中至少有两个同度数点。
握手定理及其推论的应用
设无向图G有10条边，3度与4度结点各2个，其余 结点的度数均小于3，问G中至少有几个结点？在 最少结点的情况下，写出G的度数列△(G)、δ(G)。
P286 2、无向图 G恰有的2个奇数度数的结点可 达。
解1：令u,w为G恰有的2个奇度结点。考察u所在的连通 分支G’。因图G’的奇度点为偶数，故G’至少还有另 一奇度点w，但v在G和G’中有相同的度，所以G’恰 有2个奇度点而且就是u和w。再由G’的连通性推出u 到w可达。
解2：反证法 设G中的两个奇度结点为u与v，若u与v不连通，即 它们之间无路，因而u与v处于G中恰有不同连通分 支中，设u在 G1中，v在G2中， G1与 G2是G的连 通分支，由于G中恰有两个奇度结点，因而当作为 独立的图时，均有一个奇度结点，这与握手定理 的推论相矛盾。
P286 1、在无向图G中，从结点u到结点v有一条长度为 偶数的通路，从结点u到结点v又有一条长度为奇 数的通路，则在G中必有一条长度为奇数的回路。
1、基本概念。 无向图的邻接矩阵A 根据邻接矩阵判断:各结点的度, 有向图结点 出,入度。 由Ak可以求一个结点到另一个结点长度为k 的路条数. 有向图的可达矩阵P 用P可以判定:各结点的度. 有向图的强分图。 关联矩阵M:是结点与边的关联关系矩阵. 用M判定:各结点的度
离散数学
河南工业大学 信息科学与工程学院
第7章 图 论 习题课
复习时注意
准确掌握每个概念 灵活应用所学定理 注意解题思路清晰 证明问题时，先用反向思维(从结论入手)分析问
题，再按正向思维写出证明过程。
图 图论的结构图
通路与回路 图的连通性
图的矩阵表示 欧拉图 汉密尔顿图
平面图的基本性质
设G的阶数为n，4个结点的度数分别为3，3，4，4, 其余n-4个结点的度数均小于或等于2，由握手定理 可得
2×(3+4)+(n-4)×2=14+2n-8
≥ ∑deg(vi) = 2m=20 解此不等式可得n≥7，即G中至少有7个结点，7
个结点时，其度数列为2,2,2,3,3,4,4，△=4,δ=2。
设给定图G(如由图所示)，则图G的点割集
是
．
应该填写：{f}，{c，e}。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有点集
V1V，使图G删除了V1的所有结点后，所得的子
图是不连通图，而删除了V1的任何真子集后，所
得的子图是连通图，则称V1是G的一个点割
集．若某个结点构成一个点割集，则称该结点为
有环和平行边，u至多与其余n-1个结点中每一个 有一条边相连接，即deg(u)≤n-1，因此，⊿ (G) ＝maxdeg(u)≤n-1。
设G是一个n阶无向简单图，n是大于等于3的 奇数。证明图G与它的补图中度数为奇数的结 点个数相等。
证明：
因为G是n阶无向简单图，且n是大于等于3的奇数， 故无向图的结点数为奇数，则所对应的n阶完全图 中每个结点的度数为n-1即为偶数，
a c
a c
b
d
b
d
a c
a c
b
d
b
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推论:任何6人的人群中，或者有3人互相认识，或者有 3人彼此陌生。(当二人x,y互相认识，边(x,y)着红色， 否则着兰色。则6人认识情况对应于K6边有红K3或者 有兰K3。)
证明简单图的最大度小于结点数。
证明： 设简单图G有n个结点。对任一结点u，由于G没
最小度δ(G)，小于或等于最大度△(G)。 (2) n阶非连通的简单图的边数最多可为n-1阶连通图
加上一个孤立点，所以边数为(n-1)(n-2)/2，最少为0。
一个图如果同构于它的补图，则该图称为自补图。
1)一个图是自补图，其对应的完全图的边数必为偶数; 2)证明：若n阶无向简单图是自补图，则n=4k或n=4k+1
割点。
{f，c}是不满定义的，因为{f}是{f，c}的真子集， 而删除{f}后，图是不连通的。
下图所示的六个图中，强连通，单向连通，弱连通 的分别有哪些？
强连通
单向连通
弱连通
单向连通
强连通
强连通
设图G的邻接矩阵为 则G的边数为( )． A．5 B．6 C．3 正确答案是：D。
D．4
当给定的简单图是无向图时，
3、若图G是不连通的，则G的补图G是连通的。
证明：
若图G＝<V，E>是不连通的，可设图G的连通分支是 G(V1)，G(V2)，…，G(Vm)(m≥2)。由于任意两个连通 分支G(Vi)与G(Vj)(i≠j)之间不连通，因此两个结点子 集Vi与Vj之间的所有连线都在图G的补图G'中。任取 两个结点u和v，有两种情形： a)u和v分别属于两个不同结点子集Vi与Vj。由上可 知G '包含边(u，v)，故u和v在G'中是连通的。 b)u和v属于同—个结点子集Vi。可在另一个结点子 集Vj中取一个结点w，由上可知边(u,w)及边(v,w)均 在G '中，故邻接边(u,w)和(w,v)组成的路连接结点u 和v，即u和v在G'中也是连通的。
(5) D中长度4的通路有多少条？其中有几条是回路？ 答：长度4的通路88条，其中22条为回路。
(6) 写出D的可达矩阵。 44的全1矩阵。
简单无向图 G 必有2结点同度数。
证: 令 G={v1,…,vn}，
若 G 中没有孤立点,则 G 中 n个结点的度只取 n-1 个 可能值：1,2,…,n-1，从而 G 中至少有两个结点的度 数相同。
(1)设n阶图G中有m条边，证明：δ(G)≤2m/n≤△(G) (2)n阶非连通的简单图的边数最多可为多少？最少呢？
(1)证明中关键步骤是握手定理：
2m=∑deg(vi) δ(G)≤deg(vi)≤△(G)，于是得 nδ(G)≤2m≤n△(G)
⇒ δ(G)≤2m/n≤△(G) 易知2m/n为G的平均度数，因而它大于或等于
点割集，割点，点连通度k(G) 边割集，割边(桥)，边连通度λ(G) 短程线，距离
有向图连通的分类，强连通，单侧连通，弱连 通， 强分图，单侧分图，弱分图
2、运用 (1) 判断有向图或无向图中通路(回路)的类型。 (2) 求短程线和距离。 (3) 判断有向图连通的类型。
三、图的矩阵表示
正确答案是：C。 对割边、边割集的概念理解到位。
定义 设无向图G=<V, E>为连通图，若有边集E1E， 使图G删除了E1的所有边后，所得的子图是不连通 图，而删除了E1的任何真子集后，所得的子图是连 通图，则称E1是G的一个边割集．若某个边构成一 个边割集，则称该边为割边（或桥）
如果答案A正确，即删除边(a, d)后，得到的图是不 连通图，但事实上它还是连通的。因此答案A是错 误的。
(3)E (a,b),(b,e),(e, d),(c,c)
不是
下列各序列中，可以构成无向简单图的度数序列的
有哪些？
(1) (2,2,2,2,2)
可以
(2)(1,1,2,2,3)
不可以
(3)(1,1,2,2,2)
可以
(4)(0,1,3,3,3)
不可以
(5)(1,3,4,4,5)
不可以
图G如右图所示，以下说法正确的是 ( ) ． A．{(a, d)}是割边 B．{(a, d)}是边割集 C．{(d, e)}是边割集 D．{(a, d) ,(a, c)}是边割集
4 4 3 2 2 2 2 1
(2) D中v1到v1长度为1,2,3,4的回路各多少条？ 答： v1到v1长度为1,2,3,4的回路数分别为1,1,3,5。
(3) D中长度为4的通路（不含回路）有多少条？ 答：长度为4的通路(不含回路)为33条.
(4) D中长度为4的回路有多少条？ 答： 长度为4的回路为11条。
即n=0,1 (mod 4)。
对于任何一个具有6个结点的简单图，要么它包含 一个三角形，要么它的补图包含一个三角形。
解：
设6个结点的简单图为G。考察G中的任意一个结点 a， 那么，另外6个结点中的任何一个结点，要么在 G中与a邻接，要么在G的补图G’中与a邻接。这样， 就可把5个结点分成两类，将那些在G中与a邻接的 结点归成一类，而将那些在G’中与a邻接的结点归 在另一类。于是必有一类至少含有三个结点，不妨 假设其中的三个结点为b，c，d，如图所示。若边(b， c)，(c，d)，(b，d)中有一条在G’中，那么这条边所 关联的两个结点都与a邻接形成一个三角形；若边(b， c)，(c，d)，(b, d)都不在G’中，则(b，c)，(c，d)， (b, d)形成一个三角形。
重要定理：握手定理及其推论
无向图：
有向图：
且
推论 ： 任何图(无向的或有向的)中，奇度结点的 个数是偶数。
典型题
设图G=<V,E>，其中V={a,b,c,d,e}，E分别由下面给 出。判断哪些是简单图，哪些是多重图？
(1)E (a,b),(b,c),(c, d),(a,e)
简单图
(2)E (a,b),(b,e),(e,b),(a,e),(d,e) 多重图
少条？
(3) D中长度为4的通路（不含回路）有 多少条？
(4)D中长度为4的回路有多少条？ (5) D中长度≤4的通路有多少条？其中
有几条是回路？
(6) 写出D的可达矩阵。
有向图D如图所示，回答下列诸问：
(1) D是哪类连通图? D是强连通图。
解答为解(2)—(6)，只需先求D的邻 接矩阵的前4次幂。
邻接矩阵为对称的．即当结 点vi与vj相邻时，结点vj与vi也 相邻，所以连接结点vi与vj的 一条边在邻接矩阵的第i行第j 列处和第j行第i列处各有一个 1，题中给出的邻接矩阵中共 有8个1，故有82=4条边。度 数之和等于2倍的边数。
有向图D如图所示，回答下列问题：
(1) D是哪类连通图? (2) D中v1到v4长度为1,2,3,4的通路各多
（k为正整数）。 解：
1)设图G 是自补图，G 有 e 条边，G 对应的完全图的 边数为 A。G 的补图 G’的边数应为 A 一 e。因为 G～G’， 故边数相等，e=A 一 e，A＝2e，因此 G 对 应的完全图的边数 A 为偶数。
2)由 1)可知，自补图对应的完全图的边数为偶数。n 个结点的完全图 Kn 的边数为n(n-1)/2 ， 所以 n(n-1)/2=2m ，即n(n-1)=4m，因而 n为4的倍数，即n=4k， 或n-1为4的倍数，即n=4k+1，
1 2 0 0 A 0 0 1 0
1 0 0 1 0 0 1 0
3 2 2 2 A3 1 2 1 0
2 2 2 1 1 2 1 0
1 2 2 0 A2 1 0 0 1
1 2 1 0 1 0 0 1
5 6 4 2 A4 2 2 2 1
零图与平凡图；简单图与多重图； 完全图；子图，生成子图，补图；图的同构。 2、运用。 (1) 灵活运用握手定理及其推论， (2) 判断两个图是否同构， (3) 画出满足某些条件的子图，补图等。
二、通路、回路、图的连通性
1、基本概念 路，回路，迹， 通路，圈
无向图和有向图中结点之间的可达关系；连通 图，连通分支，连通分支数W(G)
平面图的判断 欧拉公式
平面图的对偶图
无向树及其性质 根树及其应用
地图着色与平 面图着色
一、无向图与有向图
1wenku.baidu.com基本概念。
有向图与无向图的定义；有向边,无向边,平行边, 环, 孤立结点
关联与邻接(相邻)； 结点的度数；结点的度, 结点的出度, 结点的入
度, 图的最大度Δ(G),最小度δ(G),
证明 ：
设从结点u到结点v长度为偶数的通路是 ue1u1e2u2…e2kv，
长度为奇数的通路是ue11u11e12u12…e12h-1v， 那么路ue1u1e2u2…e2kve12h-1…u12e12u11e11u就是一条回
路，它的边数＝2k+(2h-1)＝2(h+k)-1，是奇数，故 这条回路的长度是奇数。
否则，G中有孤立点，不妨设 vk,…,vn为全部孤立点, 则 v1,…,vk-1的度只取 k-2个可能值: 1,2,…,k-2，从而 此 k-1个结点中至少有两个同度数点。
握手定理及其推论的应用
设无向图G有10条边，3度与4度结点各2个，其余 结点的度数均小于3，问G中至少有几个结点？在 最少结点的情况下，写出G的度数列△(G)、δ(G)。
P286 2、无向图 G恰有的2个奇数度数的结点可 达。
解1：令u,w为G恰有的2个奇度结点。考察u所在的连通 分支G’。因图G’的奇度点为偶数，故G’至少还有另 一奇度点w，但v在G和G’中有相同的度，所以G’恰 有2个奇度点而且就是u和w。再由G’的连通性推出u 到w可达。
解2：反证法 设G中的两个奇度结点为u与v，若u与v不连通，即 它们之间无路，因而u与v处于G中恰有不同连通分 支中，设u在 G1中，v在G2中， G1与 G2是G的连 通分支，由于G中恰有两个奇度结点，因而当作为 独立的图时，均有一个奇度结点，这与握手定理 的推论相矛盾。