二次函数中几何图形周长的最值问题题型及解法
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做法:
1.作A点关于对称轴的对称点对称点B
2.链接CB与对称轴的交点就是我们做 要求的G点的位置
G
3.连接AG
G 4.此时的△ACH的周长最小
(2)在直线BC上是否存在点H,使得△ACH的周长最小,若存在,
求出△GAC的周长最小值,并求出点G的坐标;若不存在,请说明
理由。
做法:
M
1.作A点关于直线BD的对
第二部分 基本题型及解法
例题
1. 一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值 45°角的直角三角形周长最大值的求法 例1:(1)已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0),
B(3,0),C(0,﹣3).如图,点P是直线BC上方抛物线上一动
点.过点P作PE平行y轴交BC于点E,作PF垂直BC交BC于点F,是否 存在点P,使△PEF的周长最大?若存在,求出△PEF周长最大值,并
做法: 1.作A点关于直线OM的对称点对称点A1
A1
2.作A点关于直线OM的对称点对称点A2
3.链接A1A2与OM,ON相交于点P,Q,
P
此时的交点就是我们做要找的吃草和喝
水的位置
4.连接AP,AQ
Q A2
4.此时走的路程最短
例4:已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0),B(3,0),
过D点做DN//y轴,设BD与AC相交于点K
根据直线BD与AC易求出 K(- 1,8),N(-1,2) 33
NK
所以, C△PMQ PQ PM QM 3
5 3
2 PQ
2. 四边形周长最大值转化为线段最大值
例2:(3)如图,抛物线 y=-x2-2x+3的图象与x轴交于A、B两点
(点A在点B的左边),与y轴交于点C,点D为抛物线的顶点.
求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
易知,△BOC≈△PFE,所以
BO PF
OC FE
BC PE
F E
因为OB=OC=3,所以 PF EF 2 PE
2
所以C△PEF = ( 2 1)PE
拓展: 如图1,含有30°(或60°)角的直角三角形周长最大值的求法
源自文库
30°
如图1
如图2
如图2,任意角的直角三角形周长最大值的求法
(1)求A、B、C的坐标;
(2)点M为线段AB上一点(点M不与点A、B重合)
,过点M作x轴的垂线,与直线AC交于点E,与抛物
线交于点P,过点P作PQ∥AB交抛物线于点Q,过
F
点Q作QN⊥x轴于点N.若点P在点Q左边,当矩形
PQMN的周长最大时,求△AEM的面积;
做法:
1.过D点作对称轴,与PQ相交于点F
2.C矩形 PQNM=2(PQ+PM)=2(2DF+PM)
3. 一个动点在一条直线上求三角形周长最小值
“将军饮马”模型——一次对称(两定点一动点)
一位将军骑马从城堡A到城堡B, 途中马要到河边饮水一次,问:这位
将军怎样走路程最短?
做法:
1.作A点关于河岸的对
A
称点对称点Q
B
P’ P
BP’ + QP’ > BQ
C(0,﹣3).如图,在直线BD和直线BC上是否分别存在点M、N,使得
△AMN的周长最小?若存在,请求出△AMN周长最小值以及M、N的坐标;
若不存在,请说明理由。
A1
做法:
E M
1.作A点关于直线BD的对称点对称点A1,与BD相交于点E 2.作A点关于直线BC的对称点对称点A2,与BD相交于点F
N F
A2
3.链接A1A2与BD,BC相交于点M,N,此时的交点就是我 们做要找的点的位置 4.连接AM,AN 5.此时走的路程最短
2 两个动点在抛物线上求四边形周长最大值 3 一个动点在一条直线上求三角形周长最小值 4 两个动点分别在两条相交直线上求三角形周长的最小值 5 两个动点分别在两条相交直线上求四边形周长的最小值
三 . 方法总结
第一部分
二次函数中几何图形周长的最值问题考法分析 以及学生对该题的态度
考法和学生情况
1. 根据历年重庆中考试卷分析来看,目前二次函数中几何图形周长 的最值问题是必考部分,主要是考查学生点在抛物线上求几何图 形的周长最大值的能力,以及点在直线上求几何图形的周长的最 小值的能力(“将军饮马”模型的应用能力)。 目前出现在中试卷的26题的第2小问,单独考的情况几乎没 有,一般都是伴随面积的最值一起考
原理:两点之间线段最短.
河
Q
2.链接BQ与河岸的交点就是 我们做要求的P点的位置
3.连接AP
4.此时的路程最短
例3:已知:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过点A(1,0),B(3, 0),C(0,﹣3).如图, (1)在抛物线的对称轴上是否存在点G,使得△GAC的周长最小?若存 在,求出△GAC的周长最小值,并求出点G的坐标;若不存在,请说明理 由;
称点对称点M
H
2.链接CM与BD的交点就
是我们做要求的H点的
位置
H
3.连接AH
4.此时的△ACH的周长最小
4.两个动点分别在两条相交直线上求三角形周长的最小值
“将军饮马”模型——两次对称(一定点两动点)
如图:一位将军骑马从驻地A出发,先牵马去草地OM吃
草,再牵马去河边ON喝水, 最后回到驻地A,
问:这位将军怎样走路程最短?
二次函数中几何图形周长的 最值问题题型及解法
目录
一. 二次函数中几何图形周长的最值问题考法分析以及学生对该题 的态度
二. 基本题型及解法 1 一个动点在抛物线上求三角形周长的最大值
含有45°角的直角三角形周长最大值的求法 含有30°(或60°)角的直角三角形周长最大值的求法 任意角的直角三角形周长最大值的求法
2. 根据我市现目前考试题型来看,该部分是个重点,也是个难点, 很大一部分学生对该部分望而生畏,几乎不敢动笔,分析了一下, 其主要原因有两点:其一,因为此题涉及的解题过程比较繁杂, 再加上思路不清晰,会花大量的时间思考,所以这部分学生就选 择放弃了;另外的,还有部分学生是压根就不会做这类题,对解 决该题没有思路,没有参考方向,所以根本不看这题。
④任意角的非直角三角形周长最大值的求法 例:(2)如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=﹣x2﹣2x+3与轴交于A、B两点,与y轴 交于点C,点D为抛物线的顶点. (1)求直线AC的解析式,并直接写出D点的坐标. (2)如图1,在直线AC的上方抛物线上有一动点P,过P点作PQ垂直于x轴交AC于点Q, PM∥BD交AC于点M.求△PQM周长最大值; 做法: