多种方法求多段图的最短路径问题算法设计与分析课程设计
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大二开设的《数据结构》课程中就包括最短路径这方面问题的讨论。当时老师介绍了 分别面向单源（Dijkstra 算法）与非单源（Floyd 算法）两种问题的算法——这是我们最早 的对最短路径方面的理解，也是我们接触的比较早的关于图的问题。
在这学期的《算法设计与分析》课程中，我们学习了很多基本的算法设计技术，蛮力 法、分治法、减治法、动态规划法、贪心法、回溯法、分支限界法等，它们把以前学习的 诸多方法都命名并归纳分类起来，其中有多种算法都可以用来解决最短路径问题，并且该 问题作为一个图的问题，对该问题的继续探讨优化的需求很大、本文将就不同算法在解决 该最短路径问题时的不同方法进行对比并给出该问题在不同基础上不同的最终解决方案。 由于时间的限制，本文将重点分析动态规划法下的情况，并会对图的情况加以简化、限制， 最后会对其它的图做一些拓展。
III
武汉理工大学《算法设计与分析》课程设计
1引 言
当前社会，关于最短路径的问题屡屡出现。例如在开车自驾游的一个过程中，排除其 它影响因素，从一个地点到另一点，这个时候必然是希望有一条距离最短的路程来尽量减 少消耗的时间以及花费的（它们在模型中被称为代价），市场上对该问题的解决有很大的 需求，因此，这里我将讨论多段图的最短路径的问题。
学 号：
《算法设计与分析 B》 大作业
题目
学院 专业 班级 姓名 指导教师
多种方法解决多段图的最短 路径问题
计算机科学与技术学院
软件工程
2014 年 12 月 26 日
武汉理工大学《算法设计与Байду номын сангаас析》课程设计
多种方法解决多段图的最短路径问题
摘要
多段图的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径。本文主要描述的是分别用 动态规划法、贪心法和分支限界法来解决多段图最短路径问题时的情况。文章首先阐述了 各个方法的原理，主要的思路是通过输入一组数据，比较三者的输出结果的准确性以及运 行时间，以之为基础来分析、讨论三者的性能区别。文章最后讲述了若这几种方法运行到 有向图中的情况，几种方法的对比和它们比较适应的使用情况的讨论，并给出了自己的建 议。
3.1 贪心法介绍 ...................................................... 2 3.2 问题分析 ........................................................ 3 4 动态规划法求解 ........................................................ 3 4.1 动态规划法介绍 .................................................. 3 4.2 问题分析 ........................................................ 4 5 分支限界法求解 ........................................................ 5 5.1 分支限界法介绍 .................................................. 5 5.2 问题分析 ........................................................ 5 6 程序清单 .............................................................. 6 6.1 源代码 .......................................................... 6 6.2 结果截图 ........................................................ 9 7 结果分析 .............................................................. 9 8 课程体会 ............................................................. 10 9 参考文献 ............................................................. 10
由于多段图将顶点划分为 k 个互不相交的子集，所以，可以将多段图划分为 k 段，每 一段包含顶点的一个子集。不失一般性，将多段图的顶点按照段的顺序进行编号，同一段 内顶点的相互顺序无关紧要。假设图中的顶点个数为 n，则源点 s 的编号为 0，终点 t 的编 号为 n-1，并且，对图中的任何一条边(u, v)，顶点 u 的编号小于顶点 v 的编号。
关键字：多段图最短路径问题；动态规划法；分支限界法；贪心法
II
武汉理工大学《算法设计与分析》课程设计
目录
摘 要 ................................................................. II 1 引 言 ................................................................. 1 2 问题描述 .............................................................. 1 3 贪心法求解 ............................................................ 2
2 问题描述
设图 G=(V, E)是一个带权有向连通图，如果把顶点集合 V 划分成 k 个互不相交的子集 Vi（2≤k≤n, 1≤i≤k），使得 E 中的任何一条边(u, v)，必有 u∈Vi，v∈Vi+m（1≤i＜k, 1 ＜i+m≤k），则称图 G 为多段图，称 s∈V1 为源点，t∈Vk 为终点。多段图的最短路径问 题是求从源点到终点的最小代价路径。多段图的最短路径问题是求从源点到终点的最小代 价路径。
在这学期的《算法设计与分析》课程中，我们学习了很多基本的算法设计技术，蛮力 法、分治法、减治法、动态规划法、贪心法、回溯法、分支限界法等，它们把以前学习的 诸多方法都命名并归纳分类起来，其中有多种算法都可以用来解决最短路径问题，并且该 问题作为一个图的问题，对该问题的继续探讨优化的需求很大、本文将就不同算法在解决 该最短路径问题时的不同方法进行对比并给出该问题在不同基础上不同的最终解决方案。 由于时间的限制，本文将重点分析动态规划法下的情况，并会对图的情况加以简化、限制， 最后会对其它的图做一些拓展。
III
武汉理工大学《算法设计与分析》课程设计
1引 言
当前社会，关于最短路径的问题屡屡出现。例如在开车自驾游的一个过程中，排除其 它影响因素，从一个地点到另一点，这个时候必然是希望有一条距离最短的路程来尽量减 少消耗的时间以及花费的（它们在模型中被称为代价），市场上对该问题的解决有很大的 需求，因此，这里我将讨论多段图的最短路径的问题。
学 号：
《算法设计与分析 B》 大作业
题目
学院 专业 班级 姓名 指导教师
多种方法解决多段图的最短 路径问题
计算机科学与技术学院
软件工程
2014 年 12 月 26 日
武汉理工大学《算法设计与Байду номын сангаас析》课程设计
多种方法解决多段图的最短路径问题
摘要
多段图的最短路径问题是求从源点到终点的最小代价路径。本文主要描述的是分别用 动态规划法、贪心法和分支限界法来解决多段图最短路径问题时的情况。文章首先阐述了 各个方法的原理，主要的思路是通过输入一组数据，比较三者的输出结果的准确性以及运 行时间，以之为基础来分析、讨论三者的性能区别。文章最后讲述了若这几种方法运行到 有向图中的情况，几种方法的对比和它们比较适应的使用情况的讨论，并给出了自己的建 议。
3.1 贪心法介绍 ...................................................... 2 3.2 问题分析 ........................................................ 3 4 动态规划法求解 ........................................................ 3 4.1 动态规划法介绍 .................................................. 3 4.2 问题分析 ........................................................ 4 5 分支限界法求解 ........................................................ 5 5.1 分支限界法介绍 .................................................. 5 5.2 问题分析 ........................................................ 5 6 程序清单 .............................................................. 6 6.1 源代码 .......................................................... 6 6.2 结果截图 ........................................................ 9 7 结果分析 .............................................................. 9 8 课程体会 ............................................................. 10 9 参考文献 ............................................................. 10
由于多段图将顶点划分为 k 个互不相交的子集，所以，可以将多段图划分为 k 段，每 一段包含顶点的一个子集。不失一般性，将多段图的顶点按照段的顺序进行编号，同一段 内顶点的相互顺序无关紧要。假设图中的顶点个数为 n，则源点 s 的编号为 0，终点 t 的编 号为 n-1，并且，对图中的任何一条边(u, v)，顶点 u 的编号小于顶点 v 的编号。
关键字：多段图最短路径问题；动态规划法；分支限界法；贪心法
II
武汉理工大学《算法设计与分析》课程设计
目录
摘 要 ................................................................. II 1 引 言 ................................................................. 1 2 问题描述 .............................................................. 1 3 贪心法求解 ............................................................ 2
2 问题描述
设图 G=(V, E)是一个带权有向连通图，如果把顶点集合 V 划分成 k 个互不相交的子集 Vi（2≤k≤n, 1≤i≤k），使得 E 中的任何一条边(u, v)，必有 u∈Vi，v∈Vi+m（1≤i＜k, 1 ＜i+m≤k），则称图 G 为多段图，称 s∈V1 为源点，t∈Vk 为终点。多段图的最短路径问 题是求从源点到终点的最小代价路径。多段图的最短路径问题是求从源点到终点的最小代 价路径。