1.1.3瞬时变化率——导数——瞬时速度与瞬时加速度教案二

《瞬时变化率

瞬时速度与瞬时加速度

、教学目标

(1)

理解瞬时速度与瞬时加速度的定义， 掌握如何由

平均速度和平均加速度 逼近”瞬

时速度与瞬时加速度的过程.理解平均变化率的几何意义；理解△ X 无限趋近于0的含义;

(2)运用瞬时速度与瞬时加速度的定义求解瞬时速度与瞬时加速度 二、教学重点、难点

重点：瞬时速度和瞬时加速的定义 难点：求瞬时速度和瞬时加速的的方法 三、教学过程 【复习回顾】

1. 曲线上一点处的切线斜率：设曲线 C 是函数y=f(X)的图象，在曲线C 上取一点・P(x,y) 及邻近的一点 Q(x + X, f(x+ X))，过P 、Q 两点作割线，,则割线PQ 的斜率为

匸^^一

.当X 0时，动点Q 将沿曲线趋向于定点 P,从而割线PQ 也

PT 的斜率，当△ X T0时，割线PQ 的斜率的极限，就是曲线在点

练习：曲线的方程为 y=x 2

+i ，求曲线在点P(1,2)处的切线方程.

X

将随之变动而趋向于切线 P 处的切线的斜率即

K 为-——X)

一.在△ X 70时的极限值.

k pQ

解：f(X o

X) f(X o ) (1

X)2

1 (1 1)

2 X ( X)

£

M

-^0

X 0 时，f(X

o X)

f(x

o) 2

X

•••曲线在点P (1,2)处的切线斜率为2.

因此，点p(1,2)切线的方程为 y-2=2(x-1)，即 y=2x.

t

时:

，在2 t,2这段时间内t 0时，在2,2 t这段时间内

V h 2 h 2 t 4.9 t213.1 t V h 2 t h 2 4.9 t213.1 t

2 2 t t 2 t 2 t

4.9 t 13.1 4.9 t 13.1

当t 时，V ；当t时，V ；

当t 时，V 1 ；当t时，V

9

；

当t 1时，

V

51

；

当t 1时，V 49；

当t 01 时，V 951；当t 01时，V 049；

我们现在会算任意一段的平均速度，先来观察一下2秒附近的情况•

【问题情境1】

平均速度：物体的运动位移与所用时间的比称为平均速度•平均速度反映物体在某一段

时间段内运动的快慢程度•那么如何刻画物体在某一时刻运动的快慢程度?

【问题情境2】

跳水运动员从10m高跳台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的•假设t秒后运动员相对于水面的高度为H t 4.9t26.5t 10，那么我们就会计算任意一段的平均

速度V,通过平均速度v来描述其运动状态，但用平均速度不一定能反映运动员在某一时刻

的瞬时速度，那么如何求运动员的瞬时速度呢? 问题：2秒时的瞬时速度是多少?

关于这些数据，下面的判断对吗?

2. 当t 趋近于0时，即无论t 从小于2的一边，还是t 从大于2的一边趋近于2时,

平均速度都趋近于一个确定的值 m/s .

分析:t 2秒时有一个确定的速度，2秒附近的任何一段上的平均速度都不等于瞬时速 度，所以比大的数作为 2秒的瞬时速度不合理， 比小的数作为2秒的瞬时速度也不合理， 因

此，运动员在2秒时的瞬时速度是 m/s .

【构建数学】 瞬时速度和瞬时加速度

(1)平均速度： 物理学中，运动物体的位移与所用时间的比称为平均速度

s(t o t) s(t o )

(2) 位移的平均变化率：

s(t o t)

s(t o )

(3)瞬时速度：当 t

无限趋近于O 时，

数称为t t o 时的瞬时速度.逼近”思想和以直代曲思想;

如何得到求瞬时速度的步骤?

3. 靠近且比大的任何一个数都可以是某一段 2 t,2上的平均速度;

4. 靠近且比小的任何一个数都可以是某一段 2,2 t 上的平均速度;

5. 表示在2秒附近，运动员的速度大约是

m/s .

无限趋近于一个常数，这个常

a 、先求时间改变量

t

和位置改变量

s s(t o

t)

s(t o

)

v

b 、再求平均速度

s

__s

t

c 、后求瞬时速度：当

t

无限趋近于o, t

无限趋近于常数 V

为瞬时速度.

(4)速度的平均变化率:

V （t o t ） V

（t o ）

常数称为t t 0时的瞬时加速度r

以及加速度与瞬时加速度的

逼近”关系.

三、例题分析

2

设一辆轿车在公路上做加速直线运动，假设

t(s)时的速度为v(t) t 3

，求

t t o

(s)

时轿车的加速度.

分析：(1)先求轿车在

t to,to

t

时，轿车的平均加速度.

(2)当

t 0

时，平均加速度

a

逼近一个常数，这个常数就是

t 2s

时运动员的瞬时

速度.

由例1和例2我们能发现一个问题： 位移在时间上的改变量就是速度， 而速度在时间上 的改变量就是加速度.

例3将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需对原油进行冷却和加热

原油的瞬时变化率，并说明意义

四、课堂练习

时，质点的瞬时加速度为

(5)瞬时加速度U ：当t

无限趋近于0时,

V(t o t) V(t o )

无限趋近于一个常数，这个

注：瞬时加速度是速度对于时间的瞬时变化率,

感受速度的平均变化率与加速度的关系,

例题 是

s

位是 1 2

-gt ，其中位移单位是 m ，时间单位

1 2

物体作自廉落体运动

，运动方程为：s 2 gt 其中位移单 m,时间单位是 s,g=1om/s 2

.求： 上的平均速度；

1物体做自由落体运动，运动方程为

(1) 物体在时间区间 [2,2.1] ⑵ 物体在时间区间 [2,2.o1] ⑶ 物体在t =2(s) 时的瞬时速度

.如 果在第x h 时原油的温度(C)为f(x) X 2

7x 15 (o

x 8).计算第2 h 和第

6 h 时，

1.质点沿

x

轴运动，设距离为X(m )，时间为t(s )时，X

1o 5t 2

，则当 t o

t

t o t

时，质点的平均速度为 ；当

t t

o

时, 质点的瞬时速度为

；当

t o

t t

o

t 时，质点的平均加速度为

当t

t

o