1.5.1曲边梯形的面积(优秀课件一)

上的值，可以用( C )近似代替
A.
f (1) n
C.
f (i ) n
B.f
(2 n
)
D. f 0
练习
2、在“近似代替”中，函数f(x)在区间 xi , xi1
上的近似值等于（ C ） A.只能是左端点的函数值 f (xi ) B.只能是右端点的函数值 f (xi1) C.可以是该区间内任一点的函数值 f (i )(i xi , xi1 ) D.以上答案均不正确
y=f(x)，直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边
梯形。 y
y=f (x)
x=a
Oa
x=b
bx
P 放大
P
再放大
P
因此，我们可以用这条直线L来代替点P附 近的曲线，也就是说：在点P附近，曲线可以看 作直线（即在很小范围内以直代曲）．
y = f(x) y
A1
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Oa
b
x
用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A，
1x
图1.5 4
i
12
1
i
1,2,
,n.
n n
3求和 由2,图1.5 4中阴影部分的面积Sn 为
Sn
n
ΔSi'
i1
n f i 1Δx i1 n
n
i
12
1
i1 n n
0 1 1 2 1 n 12 1
n n n
n n
1 n3
12
22
n 12
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
曲边梯形的面积
割圆术：刘徽在《九章算术》注中讲到
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
曲边梯形 A B C
一. 求曲边梯形的面积
1. 曲 边 梯 形 ： 在 直 角 坐 标 系 中 ， 由 连 续 曲 线
1 n
1 n3
[12
22
(n
1) 2
n2 ]
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S
1 n3
[12
22
(n
1)2
n2 ]
1 n(n 1)(2n 1) 1 1 1 1
n3
6
(1 )(2 ) 6n n3
可以证明,取f
x
x2在区间i
1, n
i n
上任意一
点ξi处的值fξi 作近似值,都有
y
"以直代曲"的思想
y x2 S
启发
o
1x
用直边形(比如矩形)逼近 曲边形的方法,求图中阴 影部分面积
为了计算曲边三角形的面积S，将它分割成许多小曲边 梯形
对任意一个小曲边梯形，用“直边”代替“曲边”（即 在很小范围内以直代曲），有以下三种方案“以直代 曲” 。
y
y x2
o
i1 i nn
1x
得 A A1.
y = f(x) y
A1
A2
Oa
b
x
用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A，得 A A1+ A2
y = f(x)
y
A1
A2
A3
A4
Oa
b
x
用四个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A， 得 A A1+ A2+ A3+ A4
y = f(x) y
A1
Ai
An
Oa
bx
将曲边梯形分成 n个小曲边梯形，并用小矩阵
图1.5 5,可以看到,当n趋向于无穷大,即Δx趋向
于0时,Sn
1 1 3
1 1 n
1 趋向于S,从而有S 2n
lim Sn
n
lim
n
n i1
1 n
f i
1 n
lim
n
1 1 3
1 1 n
1 2n
1. 3
我们通过下表还可以从数值上看出这一变化趋势.
区间0,1的等分数n
2 4 8 16 32 64 128 256 512
形的面积代替小曲边梯形的面积， 于是曲边梯形
的面积A近似为
A A1+ A2 + + An
—— 以直代曲,无限逼近
下面先研究一个特殊情形 : 如何求抛物线y x2 与直线x 1, y 0，x轴所围成的平面图形的面 积S ?
y
y x2
S
o
1
思考 左图中的曲边多边形
与我们熟悉的"直边图形"的 主要区别是什么?能否将求 x 这个曲边多边形面积 S 的问 题转化为求 "直边图形"面积 问题?
1.5.1 曲边梯形的面积
问题二：如何求出下列图形的面积？
y
A
从中你有何 启示？
“分割”得到熟悉
o
Bx
的图形
曲边梯形的面积
将圆分成16等份
曲边梯形的面积
平分16等份
(b)宽
平分32等份
(a) 长
曲边梯形的面积
C 2
=
2∏r 2
＝
πr
r
因为: 长方形面积 = 长 × 宽
所以: 圆 的 面 积 = πr × r ＝ πr 2
可以证明
12 22 n 12 n 1n2n 1.
6
1 n3
n 1n2n 1
6
1 1 3
1 1 n
1 . 2n
从而可得S的近似值S
Sn
1 1 3
1 1 n
1 . 2n
y y x2
y y x2
y y x2
y
y x2
o
1x o
1x o
1x
o
1x
图1.5 5
4取极限 分别将区间0,1等分成4,8,,20, 等份
,n上的值近似地等于右端
点
i 处的函数值 f i ,用这种方法能求出 S 的值吗?
n
n
若能求出,这个值也是
1 3
吗?
取任意ξi
i
1, n
i n
处
的函数值fξi 作为近似值,情况又怎样 ?
y
(过剩近似值)
y x2
12 nn
k n
nx
n
S
n i1
Si
n i1
f( i ) 1 nn
n ( i )2 i1 n
小结： 一.求曲边梯形面积的步骤：
分割
近似代替
求和
二.运用的数学思想： 1.以直代曲思想
2.逼近思想
取极限
作业： 1.阅读并思考课本P48页 《曲边梯形的面积》 2.书面作业：P50页B.1
曲边梯形的面积
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
——刘徽
当边数n无限增大时，正n边形面积无限逼近圆的面积
曲边梯形的面积
三国时期的数学家刘徽的割圆术
“…割之弥细，所失 弥少，割之又割，以 至于不可割，则与圆 周合体而无所失矣…”
S的近似值Sn 0.12500000 0.21875000 0.27343750 0.30273438 0.31787109 0.32556152 0.32943726 0.33138275 0.33235741
探究 在 "近似代替" 中,如果认为函数 fx x2 在
区间i
1, n
i n
i
1,2,
方案1 方案2 方案3
根据方案一，分割越细，面积的近似值就 越精确。当分割无限变细时，这个近似值 就无限逼近所求曲边梯形的面积S。
y y x2
y y x2
y y x2
y
y x2
o
1x o
1x o
1x
o
1x
第一种方案“以直代曲”的具体操作过程
y
（1）分割 把区间[0，1]等分成n个小区间：
S
lim
n
n i1
f
ξi
Δx
lim 1 f n n
ξi
1. 3
一般地,对如图1.5 1 y
f b
所示的曲边梯形,我们 也可以采用分割、近 fa
y fx
似代替、求和、取极
oa
bx
值的方法求出其面积.
图1.5 1
练习
1. 当n很大时，函数
f (x) x2
在区间
i
1 n
,
i n
2近似代替 记fx x2.
如图1.5 3 ,当n很大 ,即
o
i1 i nn
1x
Δx很小时,在区间i
1, n
i n
图1.5 3
上,可以认为函数fx x2
y
的值变化很小,近似等于一
y x2
个常数,不妨认为它近似地
等于左端点i 1处的函数 n
o
i1 i nn
1
x 值f i 1.从图形上看,就是 n
[0, 1 ],[ 1 , 2],,[i 1, i ],,[n 1, n ],
n nn
nn
nn
每个区间的长度为
y x2
x i i 1 1 nn n
O 12 nn
k n
nx
n
过各区间端点作x轴的垂线，从而得到n个小 曲边梯形，他们的面积分别记作
S1, S2,, Si ,, Sn.
y
y x2
图1.5 4
用平行于x轴的直线段近似
y y x2
地代替小曲边梯形的曲
边图1.5 4.这样,在区
o
i1 i nn
1x
图1.5 3
y
y x2
间
i
1, n
i n
上,用小矩形
的面积 ΔSi' 近似地代替 ΔSi,即在局部小范围内 "以直代曲",则有ΔSi
ΔSi'
f
i
1Δx n
o
i1 i nn