圆周运动中的临界问题.(课堂PPT)
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BA o
17
滑动与否的临界问题：
例:如图所示，细绳的一端系着质量为M=2kg 的物体，静止在水平粗糙的圆盘上，另一端通 过光滑的小孔吊着质量为m的物体，M的重心与 圆孔的距离为0.5m，已知当圆盘转动的角速度 满足1rad/s＜ω＜3rad/s时，物体m将保持静止 状态。求M所受的最大静摩擦力和m的质量？
D．可能会再次落到圆轨道上
7
圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动 ②轻杆模型 ： 能过最高点的临界条件：
v临界＝0
8
9
轻杆模型
杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力
①能过最高点v临界＝0，此时支持力N＝mg；
②当 0v rg 时，Fra Baidu bibliotek为支持力，有0＜N＜mg，且N
随v的增大而减小；
③当v rg 时，N＝0；
11
例1 如图4所示，细杆的一端与一小球相连，
可绕过O的水平轴自由转动。现给小球一初速 度，使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球 轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能 是 （A、B ）
A、a处为拉力，b处为拉力
b
B、a处为拉力，b处为推力
C、a处为推力，b处为拉力
D、a处为推力，b处为推力
a
可知（ B ）
A.小球在最高点对杆的作用力不断增大 B.小球在最高点对杆的作用力先减小后增大 C.小球在最高点对杆的作用力不断减小 D.小球在最高点对杆的作用力先增大后减小
15
用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管径远小于R）竖直放
置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）质量为
m=0.2kg在环内做圆周运动，求:小球通过最高点A时，下列
两种情况下球对管壁的作用力. 取g=10m/s2 (1)A的速率为1.0m/s (2)A的速率为4.0m/s
m A
O
N1
m
m
A mg O
A mg N2 O
16
滑动与否的临界问题：
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置 用长L=0.1m的细线相连的A、B两小物体。已知A距轴心 O的距离r=0.2m，A、B的质量均为m=1kg，它们与盘面 间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.3倍，取 g=10m/s2，求： （1）当细线刚要出现拉力时，圆盘转动的角速度ω0？ （2）当A与盘面间刚要发生相对滑动时，细线受到的拉 力？ （3）当即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？
12
例2 长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有
一质量为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球
以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过
最高点时小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，
则此时细杆OA受到
（ ）B
A、6.0N的拉力 C、24N的拉力
B、6.0N的压力 D、24N的压力
13
例3：长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其
6
(2)当v= 3 gL 时，求出绳对物体的拉力。
2
24
双体转动模型
如图所示，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直
面内转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的
小球A和B，球心到轴O的距离分别为AO=0.8m，
BO=0.2m。已知A球转到最低点时速度为
vA=4m/s，问此时A、B球对杆的作用力的大小
和方向？
N
fA AB mg
19
变式训练
如图所示，A、B、C三个物体放在旋 转平台上，最大静摩擦因数均为μ， 已知A的质量为2m，B、C的质量均 为m，A、B离轴距离均为R，C距离 轴为2R，则当平台逐渐加速旋转时 （ ABC） A.C物的向心加速度最大 B.B物的摩擦力最小 C.当圆台转速增加时，C比A先滑动 D.当圆台转速增加时，B比A先滑动
M
o
m
18
例、A、B两个物体放在旋转圆台上，动摩擦因 数均为μ，A的质量为m，B的质量为2m，A离轴 为R/2，B离轴为R，则当圆台旋转时：(设A、B 都没有滑动，如下图所示)( ) A.B的向心加速度是A的向心加速度的两倍 B.B的静摩擦力是A的静摩擦力的两倍 C.当圆台转速增加时，A比B先滑动 D.当圆台转速增加时，B比A先滑动
④当v rg ，N为拉力，有N＞0，N随v的增大而增
大
10
结论：
物体在没有支撑物时: 在竖直平面内做圆周运动过最高点的临界条件是： 物体的重力提供向心力即 mg m v02
r
临界速度是：v0 gr
在其它位置要能做圆周运动，也必须满足F供=F需。 物体在有支撑物时，物体恰能达到最高点的v临界=0
ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，DB为竖
直线，AC为水平线，AE为水平面，今使小球自A点正
上方某处由静止释放，且从A点进入圆形轨道运动，
通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过
最高点D，则小球在通过D点后A（
）
A．会落到水平面AE上
B．一定会再次落到圆轨道上
C．可能会落到水平面AE上
下端固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg 的小球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受 力：
①当A的速率v1＝1m／s时:
②当A的速率v2＝4m／s时:
14
变式训练
.一轻杆下端固定一质量为M的小球,上端连在轴 上,并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻 力，在最低点给小球水平速度v0时,刚好能到达最 高点,若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大,则
B
vB
vA
A
25
A 300
B 450 m
23
圆锥面上的临界问题：
如图，一光滑圆锥体固定在水平面上，OC┴AB， ∠AOC=30o，一条不计质量、长为L的绳(L<OA)一端固 定在顶点O，另一端拴一质量为m的质点，质点以速度 v绕圆锥体的轴线OC在水平面内作匀速圆周运动。
⑴当v= 1 gL 时，求出绳对物体的拉力；
轻绳模型
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没 有力的作用：
m gmR 2 v临界 Rg （2）小球能过最高点条件： v rg
（当 v rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件： v rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
6
如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道
轻杆模型
常见 类型
特点
在最高点时，没有物体支 撑，只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉 力，又能产生支持力
3
圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动 ①轻绳模型 ： 能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0，小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
m gmR 2 v临界 Rg
4
5
20
脱离与否的临界问题：
21
如图示，质量为M的电动机始 终静止于地面，其飞轮上固定 一质量为m的物体，物体距轮 轴为r，为使电动机不至于离 开地面，其飞轮转动的角速度 ω应如何？
T
Mω
Mg
m mg
T
m r
Mω
22
绳伸直与否的临界问题： 如图所示，两绳的系一质量为m=0.1kg的小球， 上面绳长l=2m，两绳都伸直时与轴的夹角分别 为300和450.问球的角速度在什么范围内两绳始 终张紧？当角速度ω=3rad/s时，上下两绳的拉 力分别为多大？
专题：
圆周运动中的临界问题
1
一、竖直平面内的圆周运动
竖直面内圆周运动的临界问题分析 对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典
型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题 ，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语 ，常分析两种模型——轻绳模型和轻杆模型， 分析比较如下：
2
一、竖直平面内的圆周运动
轻绳模型
17
滑动与否的临界问题：
例:如图所示，细绳的一端系着质量为M=2kg 的物体，静止在水平粗糙的圆盘上，另一端通 过光滑的小孔吊着质量为m的物体，M的重心与 圆孔的距离为0.5m，已知当圆盘转动的角速度 满足1rad/s＜ω＜3rad/s时，物体m将保持静止 状态。求M所受的最大静摩擦力和m的质量？
D．可能会再次落到圆轨道上
7
圆周运动的临界问题
竖直平面内的圆周运动 ②轻杆模型 ： 能过最高点的临界条件：
v临界＝0
8
9
轻杆模型
杆与绳不同，它既能产生拉力，也能产生压力
①能过最高点v临界＝0，此时支持力N＝mg；
②当 0v rg 时，Fra Baidu bibliotek为支持力，有0＜N＜mg，且N
随v的增大而减小；
③当v rg 时，N＝0；
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例1 如图4所示，细杆的一端与一小球相连，
可绕过O的水平轴自由转动。现给小球一初速 度，使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球 轨道的最低点和最高点，则杆对球作用力可能 是 （A、B ）
A、a处为拉力，b处为拉力
b
B、a处为拉力，b处为推力
C、a处为推力，b处为拉力
D、a处为推力，b处为推力
a
可知（ B ）
A.小球在最高点对杆的作用力不断增大 B.小球在最高点对杆的作用力先减小后增大 C.小球在最高点对杆的作用力不断减小 D.小球在最高点对杆的作用力先增大后减小
15
用钢管做成半径为R=0.5m的光滑圆环（管径远小于R）竖直放
置，一小球（可看作质点，直径略小于管径）质量为
m=0.2kg在环内做圆周运动，求:小球通过最高点A时，下列
两种情况下球对管壁的作用力. 取g=10m/s2 (1)A的速率为1.0m/s (2)A的速率为4.0m/s
m A
O
N1
m
m
A mg O
A mg N2 O
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滑动与否的临界问题：
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿半径方向放置 用长L=0.1m的细线相连的A、B两小物体。已知A距轴心 O的距离r=0.2m，A、B的质量均为m=1kg，它们与盘面 间相互作用的最大静摩擦力为其重力的0.3倍，取 g=10m/s2，求： （1）当细线刚要出现拉力时，圆盘转动的角速度ω0？ （2）当A与盘面间刚要发生相对滑动时，细线受到的拉 力？ （3）当即将滑动时，烧断细线，A、B状态如何？
12
例2 长度为L＝0.5m的轻质细杆OA，A端有
一质量为m＝3.0kg的小球，如图5所示，小球
以O点为圆心在竖直平面内做圆周运动，通过
最高点时小球的速率是2.0m／s，g取10m／s2，
则此时细杆OA受到
（ ）B
A、6.0N的拉力 C、24N的拉力
B、6.0N的压力 D、24N的压力
13
例3：长L＝0.5m，质量可以忽略的的杆，其
6
(2)当v= 3 gL 时，求出绳对物体的拉力。
2
24
双体转动模型
如图所示，轻细杆可绕光滑的水平轴O在竖直
面内转动，杆的两端固定有质量均为m=1kg的
小球A和B，球心到轴O的距离分别为AO=0.8m，
BO=0.2m。已知A球转到最低点时速度为
vA=4m/s，问此时A、B球对杆的作用力的大小
和方向？
N
fA AB mg
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变式训练
如图所示，A、B、C三个物体放在旋 转平台上，最大静摩擦因数均为μ， 已知A的质量为2m，B、C的质量均 为m，A、B离轴距离均为R，C距离 轴为2R，则当平台逐渐加速旋转时 （ ABC） A.C物的向心加速度最大 B.B物的摩擦力最小 C.当圆台转速增加时，C比A先滑动 D.当圆台转速增加时，B比A先滑动
M
o
m
18
例、A、B两个物体放在旋转圆台上，动摩擦因 数均为μ，A的质量为m，B的质量为2m，A离轴 为R/2，B离轴为R，则当圆台旋转时：(设A、B 都没有滑动，如下图所示)( ) A.B的向心加速度是A的向心加速度的两倍 B.B的静摩擦力是A的静摩擦力的两倍 C.当圆台转速增加时，A比B先滑动 D.当圆台转速增加时，B比A先滑动
④当v rg ，N为拉力，有N＞0，N随v的增大而增
大
10
结论：
物体在没有支撑物时: 在竖直平面内做圆周运动过最高点的临界条件是： 物体的重力提供向心力即 mg m v02
r
临界速度是：v0 gr
在其它位置要能做圆周运动，也必须满足F供=F需。 物体在有支撑物时，物体恰能达到最高点的v临界=0
ABCD，其A点与圆心等高，D点为轨道最高点，DB为竖
直线，AC为水平线，AE为水平面，今使小球自A点正
上方某处由静止释放，且从A点进入圆形轨道运动，
通过适当调整释放点的高度，总能保证小球最终通过
最高点D，则小球在通过D点后A（
）
A．会落到水平面AE上
B．一定会再次落到圆轨道上
C．可能会落到水平面AE上
下端固定于O点，上端连接着一个质量m＝2kg 的小球A，A绕O点做圆周运动（同图5），在A 通过最高点，试讨论在下列两种情况下杆的受 力：
①当A的速率v1＝1m／s时:
②当A的速率v2＝4m／s时:
14
变式训练
.一轻杆下端固定一质量为M的小球,上端连在轴 上,并可绕轴在竖直平面内运动,不计轴和空气阻 力，在最低点给小球水平速度v0时,刚好能到达最 高点,若小球在最低点的瞬时速度从v0不断增大,则
B
vB
vA
A
25
A 300
B 450 m
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圆锥面上的临界问题：
如图，一光滑圆锥体固定在水平面上，OC┴AB， ∠AOC=30o，一条不计质量、长为L的绳(L<OA)一端固 定在顶点O，另一端拴一质量为m的质点，质点以速度 v绕圆锥体的轴线OC在水平面内作匀速圆周运动。
⑴当v= 1 gL 时，求出绳对物体的拉力；
轻绳模型
（1）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没 有力的作用：
m gmR 2 v临界 Rg （2）小球能过最高点条件： v rg
（当 v rg 时，绳对球产生拉力，轨道对球产生压力）
（3）不能过最高点条件： v rg
（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）
6
如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆弧形轨道
轻杆模型
常见 类型
特点
在最高点时，没有物体支 撑，只能产生拉力
轻杆对小球既能产生拉 力，又能产生支持力
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圆周运动的临界问题
1.竖直平面内的圆周运动 ①轻绳模型 ： 能过最高点的临界条件：
小球在最高点时绳子的拉力刚好 等于0，小球的重力充当圆周运 动所需的向心力。
m gmR 2 v临界 Rg
4
5
20
脱离与否的临界问题：
21
如图示，质量为M的电动机始 终静止于地面，其飞轮上固定 一质量为m的物体，物体距轮 轴为r，为使电动机不至于离 开地面，其飞轮转动的角速度 ω应如何？
T
Mω
Mg
m mg
T
m r
Mω
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绳伸直与否的临界问题： 如图所示，两绳的系一质量为m=0.1kg的小球， 上面绳长l=2m，两绳都伸直时与轴的夹角分别 为300和450.问球的角速度在什么范围内两绳始 终张紧？当角速度ω=3rad/s时，上下两绳的拉 力分别为多大？
专题：
圆周运动中的临界问题
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一、竖直平面内的圆周运动
竖直面内圆周运动的临界问题分析 对于物体在竖直面内做的圆周运动是一种典
型的变速曲线运动，该类运动常有临界问题 ，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语 ，常分析两种模型——轻绳模型和轻杆模型， 分析比较如下：
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一、竖直平面内的圆周运动
轻绳模型