(完整版)几种插值法比较与应用
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多种插值法比较与应用
（一）Lagrange 插值 1． Lagrange 插值基函数 n+1个n 次多项式
∏≠=--=
n
k
j j j k
j
k x x
x x x l 0)( n k ,,1,0 =
称为Lagrange 插值基函数 2． Lagrange 插值多项式
设给定n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠，满足插值条件
)()(k k n x f x L =，n k ,,1,0 =
的n 次多项式
∏∏
∏=≠==--==n
k n
k
j j j
k j k k n
k k n x x x x x f x l x f x L 0
00
))(()()()(
为Lagrange 插值多项式，称
∏=+-+=-=n
j j x n n x x n f x L x f x E 0
)1()()!1()()()()(ξ 为插值余项，其中),()(b a x x ∈=ξξ （二）Newton 插值 1．差商的定义 )(x f 关于i x 的零阶差商
)(][i i x f x f = )(x f 关于i x ，j x 的一阶差商
i
j i j j i x x x f x f x x f --=
][][],[
依次类推，)(x f 关于i x ，1+i x ，……，k i x +的k 阶差商
i
k i k i i k i i k i i i x x x x f x x f x x x f --=
+-+++++]
,,[],,[],,,[111
2． Newton 插值多项式
设给定的n+1个互异点))(,(k k x f x ，n k ,,1,0 =，j i x x ≠，j i ≠， 称满足条件
)()(k k n x f x N =，n k ,,1,0 =
的n 次多项式
)()](,,,[)](,[][)(10100100---++-+=n n n x x x x x x x f x x x x f x f x N
为Newton 插值多项式，称
],[,)(],,,[)()()(010b a x x x x x x f x N x f x E n
j j n n ∈-=-=∏=
为插值余项。 （三）Hermite 插值
设],[)(1b a C x f ∈，已知互异点0x ，1x ，…，],[b a x n ∈及所对应的函数值为0f ，1f ，…，n f ，导数值为'0f ，'1f ，…，'n f ，则满足条件
n i f x H f x H i i n i i n ,,1,0,)(,)(''1212 ===++ 的12+n 次Hermite 插值多项式为
)()()(0
'12x f x f x H j n
j j j n
j
i n βα∏∏=++=
其中
)())((,)]()(21[)(2
2'x l x x x l x l x x x j j j j j j j j ---=βα
称为Hermite 插值基函数，)(x l j 是Lagrange 插值基函数，若
],[22b a C f n +∈，插值误差为
220)
22(12)()()!
22()
()()(n x n n x x x x n f
x H x f --+=
-++ ξ，),()(b a x x ∈=ξξ
（四）分段插值
设在区间],[b a 上给定n+1个插值节点 b x x x a n =<<<= 10
和相应的函数值0y ，1y ，…，n y ，求作一个插值函数)(x ϕ，具有性质
①i i y x =)(ϕ （n i ,,2,1,0 =）。
②)(x ϕ在每个小区间内],[1+i i x x （n i ,,2,1,0 =）上是线性函数。 （五）样条插值
设在区间],[b a 上取n+1个节点
b x x x a n =<<<= 10 给定这些点的函数值)(i i x f y =。
若函数)(x s 满足条件： ①i i y x s =)(，n i ,,2,1,0 =；
②在每个区间],[1+i i x x （n i ,,2,1,0 =）上是3次多项式； ③],[)(2b a C x s i ∈； ④取下列边界条件之一：
（ⅰ）第一边界条件：)()(0'0'x f x s =，)()(''n n x f x s =，
（ⅱ）第二边界条件：)()(0''0''x f x s =，)()(''''n n x f x s =或
0)()(''0''==n x s x s
（ⅲ）周期边界条件：)()(0n k k x s x s =，2,1=k
称)(x s 为3次样条插值函数。 （六）有理插值
设在区间],[b a 上给定n+m+1个互异节点
0x ，1x ，2x ，……，1-+m n x ，m n x + 上的函数值)(i i x f y =，m n i +=,,2,1,0 ，构造一个有理插值
m
m m m n
n n n m n mn b x b x b x b a x a x a x a x Q x p x R ++++++++=
=----11101110)()()( ， 满足条件：
)()(i i mn x f x R =，m n i +=,,2,1,0
则称)(x R mn 为点集{0x ，1x ，2x ，……，1-+m n x ，m n x +}上的有理插值函数。
例1．设0x ，1x ，…，n x 为n+1个互异的插值节点，)(0x l ，)(1x l ，…，
)(x l n 为Lagrange 插值基函数，证明 ∏=≡n
j j x l 01)(
证 考虑1)(≡x f ，利用Lagrange 插值余项定理
)())(()!
1()
()()(101n n n x x x x x x n f x L x f ---+=-+ ξ
显然 1)()(≡=x f x L n 。
利用Lagrange 基函数插值公式，有
k j n
j k j j n
j j n x x l x x l x f x L =⋅==∏∏==)()()()(0
例2 给出下列表格：