浅谈数列在高中数学的解题思路与技巧

浅谈数列在高中数学的解题思路与技巧
摘要：数列是高中数学的重要内容之一，它与数、式、函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切，数列中的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧贯穿与整个高中数学之中。

关键词：数列通项公式数列求和解题思路解题技巧
众所周知，数列是高中数学的重要内容之一，也是中学数学联系实际的重要渠道之一。

数列与数、式、函数、方程、不等式、三角函数、解析几何的关系十分密切，数列中的递推思想、函数思想、分类讨论思想以及数列求和、求通项公式的各种方法和技巧在中学数学中都有十分重要的地位。

因此，笔者根据自己对数列的理解与认识，现对数列中的两个特征：数列的同项公式和数列的前n项和公式的解题技巧进行归纳和总结，希望能够给读者带来帮助，对数列有更深刻的认识。

在我看来，数列无非是数列的定义、通项公式、数列的前n项和（即数列求和）、等差数列、等比数列以及数列在现实生活中的应用，它们之间的关系可以由下图表示出来：
在这些内容中，数列的定义和有关概念是数列的基础，通项公式是数列的灵魂，等差（比）数列是数列的核心，数列求和是数列应用的前提，而数列的应用是数列学习的目的。

数列问题以其多变的形式和灵活的解法而倍受青睐，研究数列的通项公式是研究数列的基本问题之一，现就对数列的通项公式的几种常见的求法和技巧以及数列求和进行归纳和总结.
第一部分：几种常见的求数列通项公式的方法
方法一：观察法
例1：分别写出下面数列{}n a 的一个通项公式，使它前4项分别是下列各数。

（1）1，2，1，2，…n a = ； （2）1，3，5，7，…n a = ； （3）3，33，333，3333，…n a = ；
【解析】 （1）21)1(23⋅-+=n n a 或⎩⎨⎧-=+==12,212,1k n k n a n
（2）12-=n a n
（3）)110(3
1
-=n n a
【小结】从各项共性的结合特征入手，通过观察、归纳、猜想总结出数列的通项公式，即为观察法.
方法二：由n S 求n a 法
题型一：由)(n f S n =，求n a .有⎩⎨⎧≥-==-2
111
n S S n S a n n n
例2:在数列{}n a 中,n S 表示其前n 项和,且2n S n =,求通项n a . 【解析】 ①当1=n 时,111==S a ;
②当2≥n 时,12)1(221-=--=-=-n n n S S a n n n (2≥n ) 又 11211-⨯==a 满足121-=-=-n S S a n n n , 所以12-=n a n (1≥n )
题型二:由)(n n a f S =,求n a .可以得到)(11--=n n a f S ,然后两式相减,即可求得n a .
例3:在数列{}n a 中,n S 表示其前n 项和,且n n a S 32-=,求通项n a . 【解析】由n n a S 32-=① 可得:1132---=n n a S ②
由①-②可得:)(311----==-n n n n n a a a S S (2≥n )
整理可得:134-=n n a a 即4
3
1=-n n a a (2≥n ) 所以数列{}n a 是以2
11=
a 为首项,43
为公比的等比数列,
故数列{}n a 的通项公式为:1
4321-⎪
⎭
⎫
⎝⎛⨯=n n a
【小结】由n S 求n a 法时,其解题思路是首先由n S 的表达式的到1-n S 的表达式,然后将这两个式子相减,并且一定要验证1a 是否适合n a ,若适合,则合二为一;若不适合,则应将n a 写成分段函数的形式.
方法三：构造法
若题目特征符合递推关系式C Ba a A a n n +==+11, (A 、B 、C 均为常数，
0,1≠≠C B )时，可用构造等比数列的方法求数列n a 的通项公式。

即由
C Ba a n n +=+1 得：)(1m a B m a n n +=++ （其中1
-=
B C
m ），从而得到数列⎭⎬⎫⎩
⎨⎧-+1B C a n 是以B 为公比的等比数列。

例4： 已知数列{}n a 满足23,411-==-n n a a a ，求数列通项n a .
【解析】由231-=-n n a a 可得:)1(311-=--n n a a ,即
31
1
1=---n n a a .
所以数列{}1-n a 是以311=-a 为首项,3为公比的等比数列,由等比数列的通项公式可得:n n n a 33311=⨯=--.
所以数列{}n a 的通项公式为:13+=n n a
【小结】用构造法求数列的通项公式的思路就是将所给数列递推关系式适当变形后,构造出一个新的等比数列.解题的关键有两点:一是所给数列的递推公式所必须具备的特征;二是快速准确的求出待定系数m .
方法四：叠代法
题型一：若题目特征符合递推关系式A a =1(A 为常数),)(1n f a a n n +=+时,可用叠加法求解数列的通项公式.
例5:在数列{}n a 中,n n n a a a 2,311+==+,求数列通项n a .
【解析】由n n n a a 21+=+可得:n n n a a 21=-+,则有:
⎪⎪
⎪⎩
⎪⎪⎪⎨⎧=-⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-=-=---1
13342
231122222n n n a a a a a a a a 将这1-n 个等式相加,得:
222
1)
21(22
22211
3
2
1
1-=--=+⋅⋅⋅+++=---n n n n a a ;又因为31=a
所以所求数列的通项公式为12322+=+-=n n n a
题型二：若题目特征符合递推关系式A a =1,n n n a B a ⨯=+1(A 、B 为常数，且0≠B )时，可用叠乘法求数列的通项公式。

例6：在数列{}n a 中，n n n a a a 2,311⨯==+，求数列通项n a .
【解析】由n n n a a 21⨯=+得：n n n a a 21=+，则有：11
3342231122,,2,2,2--=⋅⋅⋅===n n n a a a a a a a a ，
将这1-n 个等式相乘,得:
2)
1(13211
22222--=⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯=n n n n
a a （2≥n ） 又因为2
)11(112
1-==a
所以所求数列的通项公式为：2
)1(2
-=n n n a （1≥n ）
【小结】用叠代法求数列的通项公式，其解题思路是：将由递推公式所得的1-n 个式子相加或相乘，通过消项化简，从而得到求解数列通项公式的目的。

方法五：倒数法 若题目特征符合D
Ca Ba a A a n n
n +=
=+11,（A 、B 、C 、D 均为常数）时，求数列
的通项公式时，常用倒数法求通项。

例7：（2008·陕西·文·20变形）已知数列{}n a 的首项123a =
，121
n
n n a a a +=+，1,2,3,n =…．
求数列1
{
1}n
a -的通项公式； 【解析】（Ⅰ）因为121n n n a a a +=
+，∴ 111
111222n n n n
a a a a ++==+⋅， ∴
11111(1)2n n a a +-=-，又123a =，∴111
12
a -=，
∴数列1
{
1}n
a -是以为12首项，12为公比的等比数列．
即n n n a 2
1
2121111
=
⎪⎭
⎫
⎝⎛⨯=-- 所以所求数列的通项公式为：1
21
1+-=n n a
【小结】在由递推D
Ca Ba a n n
n +=
+1求数列的通向公式的过程中，若B=D ，对
其求倒数后，得到的数列是一个等差数列，；若D B ≠,对其求倒数后，得到的却是一个新的递推公式
n a m
a n
n +=+1
11
（n m ,为常熟，其中B C n B D m =≠=,1）,这时
可令n
n a b 1
=
，再利用构造法求得{}n b 的通向公式，最后即可得到{}n a 的通向公式。

方法六：对数法（不常用）
例8：在数列{}n a 中，2
11,3n n a a a ==+，则数列的通向公式n a = 。

【解析】由题意可知，数列{}n a 中的各项均为整数， 即：0>n a ；对等式2
1n n a a =+取以3为底数的对数，可得：
n n n a a a 32
333log 2log log ==+，
即：
2log log 31
3=+n
n a a ，进而可知数列{}n a 3log 是以1log 13=a 为首项，2为公比
的等比数列。

所以：113221log --=⨯=n n n a
故所求数列{}n a 的通向公式为：1
23-=n n a
【小结】用对数法求数列的通向公式由四点特别需要注意：一是要深刻理解和潜心体会所给数列递推关系式的特征；二是数列中的各项均为正数；三是所取对数的底数既要兼顾数列首项1a 的值，还要兼顾系数A 的值，其目的是为了在计算的方便；四是取完对数后，就得到一个新的递推关系式，有时还需要对这个新的关系式再用其它方法进行进一步的求解。

由以上介绍的几种求数列的通向公式的方法可知，要想求数列的通向公式，就要仔细观察所给题目的特征，采取行之有效的方法达到求解的目的。

第二部分：常用的数列求和的方法
要想对数列进行求和，那就要弄清楚所给数列的特征，即数列通向公式的特征，采取恰当的方法进行求和，所以若所给题目中直接给出数列的通向公式，那就直接分析其通向公式的特征采取相应的方法即可；若题目中没有给出数列的通向公式，那就利用前面讲的方法求出数列的通向公式，再分析其通向公式的特征采取相应的方法。

现向大家介绍常用数列求和的方法。

方法一：公式法
若所给题目的特征，弄够直接判断出所求数列是等差（比）数列的话，那就直接应用这两个数列的有关性质或前n 项和公式进行求和。

例9．已知{}n a 是公比为2
1
的等比数列，若10097741=+⋅⋅⋅+++a a a a ，则
99963a a a a +⋅⋅⋅+++的值为（ ）
A 、25
B 、50
C 、75
D 、125
【解析】由等比数列的性质，得
9774199963a a a a a a a a +⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++297
7412
97741)(q a a a a q a a a a =+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++=
所以251004
1
)(97741299963=⨯=+⋅⋅⋅+++=+⋅⋅⋅+++a a a a q a a a a 故选A
【答案】A
例10．（2004·全国II ·6）等差数列{}n a 中，24321-=++a a a ，
78201918=++a a a ，则此数列的前20项等于（ ）
A 、160
B 、180
C 、200
D 、220
【解析】解法一：由24321-=++a a a ，78201918=++a a a 分别得：
⎩⎨
⎧=--=+78
3324
33201d a d a ，两式相加得：54)(3201=+a a ∴ 18201=+a a 故1802
)
(2020120=+=a a S
解法二： 183192201a a a a a a +=+=+
54)()(201918321=+++++a a a a a a
∴ 18201=+a a 故1802
)
(2020120=+=
a a S
【答案】B
【小结】用公式法对数列求和是最基础的方法之一，这要求熟练掌握等差（比）数列的前n 项和公式，等比数列尤其是要注意公比q 是否为1这中特殊情况。

【附】常见的数列求和的公式：
方法二：分组求和法
若从数列的通向公式看，所给数列既不是等差数列，又不是等比数列，但其通项却可以分解为一个等差数列和一个等比数列的和，我们就采取分组的方法对数列进行求和。

例11.求数列5，55，555，…，个
n 555 的前n 项和。

【解析】设此数列为{}n a ，则有()
()
1109
5
99995555n -==
=个个
n n n a 所以n n a a a a S ++++= 321)110()110()]110()110[(95
321-++-+-+-=n
)]111()1010101010[(95432个n n
+++-++++= n 9
510-1]10-[11095n -⨯=
n n 9
5
8111050--=）（
例12.已知等比数列的首项为a ，公比为q （0≠q ），n S 为其前n 项和，求
n S S S S ++++ 321.
【解析】因为公比1≠q ，所以q
q aq S n n --=1)1(，进而
n S S S S ++++ 321
)]1()1()1[(12n q q q q
a
-++-+--=
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡----=q q q n q a n 1)1(12)1()1(1q q aq q na n ----=
【小结】分组求和法的思路比较简单，但解这类题型的关键在于是否能够由所给数列通向公式，分析出它所固有的特征，从而采取恰当的方法。

方法三：并项求和法
若从数列的通向公式看没有什么明显的特征，但是若能将所给数列中的两项（甚至多项）相加运算后得到的新数列具有明显的特征（等差数列或等比数列），那么就用并项求和法对数列进行求和。

例13.求和：222222100994321-++-+- .
【解析】根据题设，我们可以将所给的式子进行分组，那么：
222222100994321-++-+- )10099()43()21(222222-++-+-=
)]10099)(10099[()]43)(43[()]21)(21[(+-+++-++-= )1991173(++++-= 50502
)
1993(50-=+-
=
例14.数列{}n a 中，211=
a ，112
3
++=+n n n a a ，*N n ∈，则 =+++2021a a a 。

【解析】解法一：有已知条件211=
a ，1123++=+n n n a a ，可求得8
1
,4132==a a ，…，故可猜想：n n a 21=。

所以2020
20212112
1121121⎪⎭⎫
⎝⎛-=-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++a a a
解法二：数列21a a +，43a a +，65a a +，…，2019a a +可以看成一个以21a a +=4
3
，
为首项，4
1
为公比的等比数列，所以
=+++2021a a a ))()(20194321a a a a a a ++++++
4
114113410
-⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2010211411⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=
【小结】从某种程度上说，这种数列求和的方法与分组求和法的思想恰恰相反。

但是分组求和法与并项求和法也有一致的地方，那就是：若所给数列的特征不是很明显上，就要考虑试用者两种方法，正所谓“穷则思变”。

方法四：裂项相消法
若所给数列的通项公式是分式形式，这种情况下往往采取裂项相消发对数列进行求和。

即将数列的通项公式写成两项之差，相加后再进行相项求和。

例15.求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+-)12)(12(1
n n 的前n 项和。

【解析】设⎪⎭
⎫
⎝⎛+--=+-=
12112121)12)(12(1n n n n a n ，所以
n n a a a a S ++++=321]1
21
)121(
)7151()5131()311[(21+--++-+-+-=n n 1
2121121+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=n n n
例16.在数列{}n a 中，11211++++++=n n n n a n ，又1
2+⋅=n n n a a b ，求数列{}n b 的前n 项和。

【解析】根据题设，有11211++++++=n n n n a n 212)1(n n n n =++=，则211+=+n a n ，所以12+⋅=
n n n a a b ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=+⋅=111
8)1(82
122n n n n n n . 所以数列{}n b 的前n 项和为：
n n b b b b S ++++= 321)]1
1
1()4131()3121()211[(8+-
++-+-+-=n n 1
81118+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛
+-=n n n 【小结】用裂项相消法对数列求和的思维较为清晰，但它的关键是能够看出数列的同项公式必须具备这种特征。

在某种情况下，若数列通项公式的这种特征不是很明显时，就需要对通项公式进行化简、变形。

方法五：错位相减法
若所给数列的通项公式是由一个等差数列和一个等比数列对应项的积组成的这一特征，其数列求和的方法就采用错位相减法。

例17.求n n n S 21
2854321-++++= 。

【解析】设n n n n n a )21
()12(2
12⋅-=-=，所以：
n
n n n a a a a S 2
1
2854321321-++++=++++= ① 1212165834121+-++++=n n n S ② 由①-②可得：
112
122181412121)211(+---+++++=-n n n n S
即：11
212211)]21(1[212121+-----+=n n n n S 111232232122123++-+-=---=n n n n n
所以：n n n S 23
23+-=
例18.求数列132)12(,,7,5,3,1-⋅+n a n a a a （0≠a ）的前n 项和。

【解析】（1）当1=a 时，所给数列为1，3，5，7，…，12-n ，其前n 项和为：
)12(7531-+++++=n S n 22
)]
12(1[n n n =-+=
. （2）当1≠a 且0≠a 时，
132)12(7531--+++++=n n a n a a a S ①
n n a n a a a a aS )12(753432-+++++= ② 由①-②可得：
n n n a n a a a a S a )12(22221)1(132--+++++=-- )(2)12(11
3
2
-+++++--=n n
a
a a a a n a
a a a n n n
--+
--=1)
(2)12(1
第11页（共11页） 又因为01≠-a ，所以
2)
1()(21)12(1a a a a a n Sn n n --+---= 综上所述，所求数列的前n 项和为
⎪⎩
⎪⎨⎧≠≠--+---==)01)1()(21)12(1122a a a a a a a n a n S n n n 且（）（
【小结】（1）一般的，如果数列{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求数列{}n n b a ⋅的前n 项和时，可采用这一思路和方法。

（2）在写出n S 与n qS 的表达式时，应该特别注意将两式“错项对齐”，以便在下一步准确写出n n qS S -的表达式。

（3）应用等比数列求和公式必须注意公比1≠q 这一前提条件，如果不能确定公比q 是否为1，应分为两种情况进行讨论。

由以上所介绍的几中常见的数列求和的思维和方法，从中可以知道要想能顺利地对数列求和，关键是从数列的通项公式入手，分析其固有特性，采取有效的方式方法进行求和。

以上对数列的两个特征性问题数列的通项公式的求法以及对数列前n 项和的求法进行了论述，希望能够给您的学习带来一点帮助。

另外，由于笔者的知识和水平有限，在以上论述中可能存在这许多不足之处，希望读者和同行们能够给予您宝贵的意见和建议，使数列乃至数学更好的造福于我们的生活。

（笔者邮箱：cxtczyh@ ）
参考文献
【1】全日制普通高级中学教科书 数学 第一册 人民教育出版社
【2】高中同步测控优化设计数学高一上册(2006)任志鸿 南方出版社
【3】十年高考分类解析与应试技巧 数学(2000—2009) 任志鸿
南方出版社
【4】三维设计数学新编高考总复习 马艳、贾香华 光明日报出版社。