28.2 解直角三角形(2)
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AB的长
太阳光线
A
30°
60°
B 10 C
地面
D
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
铅
视线
垂 线 仰角
水平线
俯角
视线
合作与探究
【例1】如图，直升飞机在彩虹桥AB的上方P点 处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、 O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别 为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
P
C
30° A
45°
200米
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
30° A
45°
200米
O
B
C
合作与探究
变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB
左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得
合作与探究
变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥 AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线 上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30° 和45 °，求飞机的高度PO .
P
答案: (200 3 200 ) 米
O
45°
30°
B 400米 A
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
PAO 30,PBO 45
PO tan 30, PO tan 45 P
OA
OB
α β
OA 450 450 3, tan 30
450米
OB 450 450 tan 45
AB OA OB (450 3 450)(m)O
B
A
答：大桥的长AB为 (450 3 450)m.
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
温故而知新
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3
（2）若∠B=60°，AC=3，则BC= 3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3tan
m
（4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan
B
┌
A
C
例题
F
求:AB,CD的高.
cos a OQ 6400 0.9481 OF 6400 350
a 18.54
∴ PQ的长为
F
P Q
α O·
18.54 6400 2071.
180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
1. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那
2. 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在 折断之前高多少？
解 利用勾股定理可以求
出折断倒下部分的长度为:
102 242 26
26＋10＝36（米）. 答:大树在折断之前高为36 米.
3. 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树 AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长 为10m,请你求出大树的高.
么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
AB 140°
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
C
E
cos BDE DE
50°
BD
DE cosBDE BD
D
cos50 520 0.64520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
分析：从飞船上能最远直接 看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船 的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是
从飞船观测地球时的最远 PQ
点． PQ 的长就是地面上P、Q 两点间的距离，为计算 PQ 的长需 先求出∠POQ（即a）
F
P Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
§28.2 解直角三角形（2）
九年级数学备课组
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
Ｂ
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
a
(3)边角之间的关系:
例4： 2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到 0.1km）
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
例4、如图，两建筑物的水平距离BC为24米,从点A测得 点D 的俯角a＝300,测得点C 的俯角β＝60°,求AB 和 CD 两座建筑物的高.（结果保留根号）
分析:
过D作DE∥BC,
问题可化归为解Rt△ABC 和Rt△AED.
A αD
β E
C B
已知:BC＝24m, ∠α＝300, ∠β＝600.
P
答案: (100 3 300 ) 米
O
30° A
45°
200米
B
L
U
D
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
C
30° A
45°
200米
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水
百度文库平距离.
A
答案: (300 100 3) 米
P 45°
30°
O
200米 D
B
P α β
归纳与提高
P
450
O P
O
45°
B
30°
A C
30°
B
450
45°
O
A
30°60° A
45° 22000米 45°
B
P 45°°
3300°°
202000米
D
O
B
例3:热气球的探测器 显示,从热气球看阳光 宾馆顶部的仰角为 30°,看它的底部的俯 角为60°,热气球与阳 光宾馆的水平距离为 120m,阳光宾馆有多 高?
太阳光线
A
30°
60°
B 10 C
地面
D
在进行观察或测量时，
仰角和俯角
从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角； 从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角.
铅
视线
垂 线 仰角
水平线
俯角
视线
合作与探究
【例1】如图，直升飞机在彩虹桥AB的上方P点 处，此时飞机离地面的高度PO=450米，且A、B、 O三点在一条直线上，测得大桥两端的俯角分别 为α=30°，β=45°，求大桥的长AB .
P
C
30° A
45°
200米
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
30° A
45°
200米
O
B
C
合作与探究
变题2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB
左侧P点处，测得大楼的顶部仰角为45°,测得
合作与探究
变题1：如图，直升飞机在长400米的跨江大桥 AB的上方P点处，且A、B、O三点在一条直线 上，在大桥的两端测得飞机的仰角分别为30° 和45 °，求飞机的高度PO .
P
答案: (200 3 200 ) 米
O
45°
30°
B 400米 A
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
解：由题意得，在Rt△PAO与Rt△PBO中
PAO 30,PBO 45
PO tan 30, PO tan 45 P
OA
OB
α β
OA 450 450 3, tan 30
450米
OB 450 450 tan 45
AB OA OB (450 3 450)(m)O
B
A
答：大桥的长AB为 (450 3 450)m.
sinA＝
a c
cosA＝
b c
tanA＝
a b
Ａ
bＣ
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，
温故而知新
（1）若∠A=30°，BC=3，则AC= 3 3
（2）若∠B=60°，AC=3，则BC= 3
（3）若∠A=α°，AC=3，则BC= 3tan
m
（4）若∠A=α°，BC=m，则AC= tan
B
┌
A
C
例题
F
求:AB,CD的高.
cos a OQ 6400 0.9481 OF 6400 350
a 18.54
∴ PQ的长为
F
P Q
α O·
18.54 6400 2071.
180
当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约 2009.6km
1. 如图，沿AC方向开山修路．为了加快施工进度，要在小山的另一边同 时施工，从AC上的一点B取∠ABD = 140°，BD = 520m，∠D=50°，那
2. 如图所示，一棵大树在一次强烈的地震中于离 地面10米处折断倒下，树顶落在离树根24米处.大树在 折断之前高多少？
解 利用勾股定理可以求
出折断倒下部分的长度为:
102 242 26
26＋10＝36（米）. 答:大树在折断之前高为36 米.
3. 如图,太阳光与地面成60度角,一棵倾斜的大树 AB与地面成30度角,这时测得大树在地面上的影长 为10m,请你求出大树的高.
么开挖点E离D多远正好能使A，C，E成一直线（精确到0.1m）
解：要使A、C、E在同一直线上， 则 ∠ABD是 △BDE 的一个外角
AB 140°
∴∠BED=∠ABD－∠D=90°
C
E
cos BDE DE
50°
BD
DE cosBDE BD
D
cos50 520 0.64520 332.8
答：开挖点E离点D 332.8m正好能使A，C，E成一直线.
分析：从飞船上能最远直接 看到的地球上的点，应是视 线与地球相切时的切点．
如图，⊙O表示地球，点F是飞船 的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是
从飞船观测地球时的最远 PQ
点． PQ 的长就是地面上P、Q 两点间的距离，为计算 PQ 的长需 先求出∠POQ（即a）
F
P Q
α O·
解：在图中，FQ是⊙O的切线，△FOQ是直角三角形．
§28.2 解直角三角形（2）
九年级数学备课组
1.解直角三角形
在直角三角形中,除直角外,由已知两元素 (必有一边)
求其余未知元素的过程叫解直角三角形.
2.解直角三角形的依据
Ｂ
(1)三边之间的关系:
a2＋b2＝c2（勾股定理）； c
(2)两锐角之间的关系: ∠ A＋ ∠ B＝ 90º；
a
(3)边角之间的关系:
例4： 2008年10月15日“神舟”7号载人航天飞船发射成功．当飞船完成变 轨后，就在离地球表面350km的圆形轨道上运行．如图，当飞船运行到地 球表面上P点的正上方时，从飞船上最远能直接看到地球上的点在什么位置？ 这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6 400km，结果精确到 0.1km）
B
α=30°
A 120 D
β=60°
C
例4、如图，两建筑物的水平距离BC为24米,从点A测得 点D 的俯角a＝300,测得点C 的俯角β＝60°,求AB 和 CD 两座建筑物的高.（结果保留根号）
分析:
过D作DE∥BC,
问题可化归为解Rt△ABC 和Rt△AED.
A αD
β E
C B
已知:BC＝24m, ∠α＝300, ∠β＝600.
P
答案: (100 3 300 ) 米
O
30° A
45°
200米
B
L
U
D
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
P
C
30° A
45°
200米
O
B
合作与探究
例2：如图，直升飞机在高为200米的大楼AB上 方P点处，从大楼的顶部和底部测得飞机的仰 角为30°和45°，求飞机的高度PO .
大楼底部俯角为30°，求飞机与大楼之间的水
百度文库平距离.
A
答案: (300 100 3) 米
P 45°
30°
O
200米 D
B
P α β
归纳与提高
P
450
O P
O
45°
B
30°
A C
30°
B
450
45°
O
A
30°60° A
45° 22000米 45°
B
P 45°°
3300°°
202000米
D
O
B
例3:热气球的探测器 显示,从热气球看阳光 宾馆顶部的仰角为 30°,看它的底部的俯 角为60°,热气球与阳 光宾馆的水平距离为 120m,阳光宾馆有多 高?