第8章因子分析讲解

4、随机向量 X 的相关矩阵
R (rij ) p p , rij
Cov( X i , X j ) D(Xi ) D(X j )
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性质：设 X、Y 是随机向量，A、B 是常数矩阵，则
（1）D ( X ) = Cov ( X, X ) （2）E (AX) = AE(X) （3）E(AXB)=AE(X)B （4）D(AX)=AD(X)AT （5）Cov (AX, BY) = ACov (X,Y)BT
p2
1m F1 1
2m
F2
2
pm
Fm
p
或X AF
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称 F1, F2,, Fm为公共因子，是不可观测的变量，
他们的系数称为因子载荷。 是特i 殊因子，是不能
被前m个公共因子包含的部分。并且满足：
cov(F, ) 0 ， F, 不相关；
1
D(F)
享这六个因子，但是每个变量又有自己的个性，不被包含的
部分i ，称为xi 的特殊因子。
因子分析(factor analysis)是一种数据简化技术。 它通过研究众多变量之间的内部依赖关系，探求观测数据中 的基本结构，并用少数几个假想变量来表示其基本的数据结 构。这几个假想变量能够反映原来众多变量的主要信息。原 始的变量是可观测的显在变量，而假想变量是不可观测的潜 在变量，称为因子。
我们将每个方面称为一个公共因子，每个学生的成绩 均由这六个因子确定，即第i个学生的考试分数Xi能用这
六个公共因子Y1、Y2、Y3、Y4、Y5、Y6的线性组合表示出
来，即可以表示为：
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xi i i1F1 i2F2 i6F6 i i 1,, n
称 F1，F2，，F6 是不可观测的潜在因子。n个变量Xi共
Cov( X i ,Yj )
aij
上两式表明，aij 既是第i个变量Xi与第j个公共因子Yj的 协方差，又是Xi与Yj的相关系数，aij反映了第i个变量Xi与 第j个公共因子Yj的相关程度，即Xi在Yj上的相对重要性。
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2、变量共同度的统计意义
定义：称因子载荷矩阵A中第i行元素的平方和（行方和）
1
I
1
即 F1, F2,, Fm 互不相关，方差为1。
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2 1
D( )
2 2
2 p
即互不相关，方差不一定相等，i
~
N
(0,
2 i
)
。
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二、随机向量的均值、协方差阵、相关阵
1、设随机向量 X (X1, X2,, X p )T， 则 X 的均值为
E(X ) E(X1, X 2,, X p )T (E(X1), E(X 2 ),, E(X p ))T
试利用因子分析法对全国31个地区的竞争力水平进行综 合评价。
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第二节 因子分析的数学模型
一、因子分析数学模型（按列）
设 X i (i 1,2,, p) p 个随机变量，如果表示为
Xi ai1F1 aimFm i (m p)
X1 11 12
或
X
2
21
22
X
p
p1
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三、因子分析中的几个统计特征
1、因子载荷矩阵A的统计意义。 由于
m
Cov( X i ,Yj ) Cov( aijYj i ,Yj )
j 1
m
Cov( aijYj ,Yj ) Cov(i ,Yj ) aij
j 1
又
ij
Cov( X i ,Yj ) D( X i ) D(Yj )
第八章 因子分析
第一节 什么是因子分析 第二节 因子分析的数学模型 第三节 因子载荷矩阵的估计方法 第四节 因子旋转（正交变换） 第五节 因子得分
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第一节 什么是因子分析
因子分析是将具有复杂关系的一组变量综合为数学较 少的几个因子，并找出原变量和因子之间的相互关系。
例如，为了解学生的学习能力，对学生进行抽样命题 考试，考试题包括的面很广，但总的来讲可归结为学生 的数学推导、语文水平、记忆能力、逻辑推理能力、艺 术修养、历史知识六个方面
为变量 X i 的共同度 hi2 jm1ai2j。
统计意义：
X i ai1F1 aimFm i 两边求方差
D(
X
i
)
a
2i1D(F1
)
a
2 im
D(Fm
)
D(
i
)
1
a m
2 ij
2 i
j 1
所常靠有近的1公，共 i2因非子常和小特，殊则因因子子对分变析量的效X i果的好贡，献从为原1。变如量果空间jm到1a公i2j 共非
D( X p )
其中， Cov( Xi , X j ) E[( Xi E(Xi ))( X j ห้องสมุดไป่ตู้E(X j ))]
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3、随机向量 X 与 Y 的协方差矩阵
Cov( X ,Y ) E[( X E( X ))(Y E(Y ))T ]
若Cov ( X, Y ) = 0， 则称 X 与 Y 不相关。
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例：为了客观评价全国各地区的竞争能力水平，现选择了8 项竞争力评价指标。它们是 X1：城镇居民人均全年家庭可支配收入（元） X2：财政收入（万元） X3：地区生产总值（亿元） X4：城市用水普及率（%） X5：城市燃气普及率（%） X6：每万人拥有公共汽车车辆（标台） X7：人均城市道路面积（平方米） X8：人均公园绿地面积（平方米）。
算出来，使得
S1 S2 Sm
据此，可以找出最重要的公共因子，并依次递减，因此， 问题归结为因子载荷矩阵A的估计
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四、因子分析模型的性质
1、原始变量X的协方差矩阵的分解
因子空间的转化性质好。
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3、公共因子Fj 方差贡献的统计意义
因子载荷矩阵A中各列元素的平方和（列方和）
Sj
a p
i 1
2 ij
p
r
i 1
2
(
xi
,
Fj
)
称为 Fj ( j 1,, m) 对X的全部分量X1，X2，…,Xp的总贡
献。Sj是衡量第j个公共因子相对重要性的一个指标，Sj越大，
表明Yj对变量X的贡献也越大。若把矩阵A的各列平方和都计
2、随机向量X 的协方差矩阵为
D( X ) E[( X E( X ))( X E( X ))T ]
D( X1)
Cov(
X
2
,
X
1
)
Cov( X1, X 2 )
D(X 2)
Cov( X1, X p ) Cov( X 2, X p )
Cov( X p , X1) Cov( X p , X 2 )