数据包络分析解读

变成原来的t倍，其产出也会相应变成原来的t倍。即：假设被评价的
DMUk的投入和产出都变成原来的t倍，在规模收益不变的假设下，
其技术效率应保q 持不变。 q
q
å å å urtyrk t ur yrk
ur yrk
max r=1 m
= r=1 m
= r=1 m
å å å vitxik t vi xik
vi xik
s
ur yrj0
max h j0
r 1 m
vi xij0
i 1
s
ur yrj
s.t.
r 1 m
1
vi xij
i 1
j 1,2,, n
v v1, v2 ,, vm T 0
u u1,u2 ,,us T 0
规模收益不变？
• 规模收益不变：技术效率保持不变的条件下，如果一个DMU的投入
对有效性。
基于规模收益不变的CCR模型
• 每个决策单元DMUj都有相应的效率评价指数，我们可以适当的取权
系数v和u，使得 h j ≤1。
s
h j
uT vT
yj xj
ur yrjr 1 mBiblioteka vi xiji 1
j 1,2,, n
基于规模收益不变的CCR模型
• 现在，对第j0个决策单元进行效率评价。一般来说,hj0 越大，
的数量指标。据此将各决策单元定级排队，确定有效的决策单元， 并可给出其它决策单元非有效的原因和程度。即它不仅可对同一类 型各决策单元的相对有效性做出评价与排序，而且还可以进一步分 析各决策单元非DEA有效的原因及其改进方向，从而为决策者提供 重要的管理决策信息。
基于规模收益不变的CCR模型
• 在社会、经济和管理领域中，常常需要对具有相同类型的部门、企
j yrj (r 1, 2,...s)
j 1
基于规模收益不变的CCR模型
• 如 低果于这j0的个各假项想投的入决(当策单 元<1的时各)，项即产有出均不低于j0决策单元的各项产出，它的各项投入均
• 这说明j0决策单元不在生产前沿面上。
基于规模收益不变的CCR模型
• 基于上述，可以写出如下数学模型，该式也是C2R 的对偶形式：
min
当求解结果有 <1，则决策 单元j0非DEA有效，否则，j0 决策单元DEA有效。
• 应用线性规划对偶理论，我们可以通过对偶规划来判断 的有效
性。为了讨论及应用方便，进一步引入松弛变量s+和剩余变量s-，将 上面的不等式约束变为等式约束：
min
n
s.t.
j 1
j
x
j
s
x0
D
n
j yj
学家A.Charnes和W.W.Copper等学者以“相对效率”概念为基础，根 据多指标投入和多指标产出对相同类型的单位进行相对有效性或效 益评价的一种新的系统分析方法。它是处理多目标决策问题的好方 法。决策单元相对有效称为DEA有效。
数据包络分析简介
• 通过输入和输出数据的综合分析，DEA可以得出每个DMU综合效率
s y0
j 1
j
0
j 1,, n
无约束 s 0, s 0
• 下面给出几条定理与定义：
• 定理1： 线性规划P和其对偶规划D均存在可行解，所以都存在最优
值。假设它们的最优值分别为h*j0
与*
，则
h
* j0
＝
*
≤1。
•
定义1：
若线性规划P的最优值
h* j0
＝1，则称决策单元为弱DEA有效。
标赋予一定的权重。
• 技术效率=加权产出/加权投入 • 假设有m种投入和q种产出： • 加权投入： v=v1x1+v2x2+…+vmxm • 加权产出： u=u1y1+u2y2+…+uqyq
如何确定权重？
• 1.采用固定的权重 • 2.通过数据本身获得权重（数据包络分析方法）
基本概念
• 决策单元（DMU）：可以是一个大学，也可以是一个企业，也可以
是一个国家。在许多情况下，我们对多个同类型的DMU更感兴趣。
• 同类型的DMU:是指具有以下特征的DMU集合：具有相同的目标和任
务；具有相同的外部环境；具有相同的输入和输出指标。同一个 DMU的不同时段也可视为同类型DMU。
数据包络分析简介
• 数据包络分析（Data Envelopment Analysis，简称DEA）是著名运筹
业或者同一单位不同时期的相对效率进行评价，这些部门、企业或 时期称为决策单元。
• 评价的依据：决策单元的一组投入指标数据和一组产出指标数据。
投入指标是决策单元在社会、经济和管理活动中需要耗费的经济量； 产出指标表明经济活动产出成效的经济量。
• 根据投入指标数据和产出指标数据评价部门、企业或时期之间的相
数据包络分析
王嘉伟
技术效率
• 技术效率指一个生产单元的生产过程达到该行业技术水平的程度。 • 可以从投入和产出两个角度来衡量 • 1.投入既定时，技术效率由产出最大化的程度来衡量 • 2.产出既定时，技术效率由投入最小化的程度来衡量
• 技术效率=产出/投入 （单产出、单投入的情况）
技术效率
• 实际生产过程中涉及的投入、产出不止一项，要对各投入和产出指
一个小例子
基于规模收益不变的CCR模型
• 现在，我们考虑的C2R另外一种形式：如果要衡量某一决策单元j0是
否DEA有效，即是否处在由包络线组成的生产前沿面上，为此先构 造一个有n个决策单元线性组合成的假想决策单元。这个假想决策单
n
元的第i项投入为 j xij (i 1, 2,..., m) 该假想决策单元的第r项产出为 j 1 n
i=1
i=1
i=1
上式是一个分式规划问题，使用Charnes-Cooper变化，即令：
1 t
vt x0
tv
tu
• 则可得到C2R的的线性规划模型：
Ps.t. T x j
max h j0 T T yj 0
T x0 1
y0 j
1,2,n
0 0
一个小例子
• 例：四个人的输入输出见下表，试用DEA方法分析其有效性。
表明 DMUj0 能够用相对较少的输入而得到相对较多的输出。 如果我们要对DMUj0进行评价，看DMUj0在这n个DMU中相 对来说是不是最优的。我们可以考察当尽可能地变化权重 时， hj0 的最大值究竟是多少。以第j0个决策单元的效率指 数为目标，以所有决策单元（含第j0个决策单元）的效率指 数为约束，就构造如下的CCR 模型：
• 产出导向的CCR模型：
• 其对偶模型为：
m
å min vi xik i=1
s
m
å å s.t. ur yrj - vi xij £ 0