数学建模及典型案例分析

模型假设
1. 设环境的温度为常数TE, 人体正常温度为TP. 2. t时刻尸体的温度为T(t). 3. t1时刻测量时尸体温度为T1, t2测量温度为T2.
模型建立
根据热传导定律： 1. 热量总是由高温的物体传向低温物体. 2. 单位时间的热传导量与温差成正比. 有
Qtt Qt k[T (t t) TE ]t
根据以上假设，有
V
(c(t

t)

c(t))

[z T
rc(t)]t,
0t
T,
V (c(t t) c(t)) rc(t)t, T t.
令Δt→0得
dc

dt dc
dt

1 [ z rc(t)], 0 VT r c(t), T t.
t t
t t
p(t t)V (t t) p(t)V (t) t
p1( )r1( )d t
p2 ( )r2 ( )d
由积分中值定理，存在ξ∈(t, t+Δt), 使得
p(t t)V (t t) p(t)V (t)
[ p1(t t)r1(t t) p2 (t t)r2 (t t)]t
c(T )
z
rT
(1- e V )
rT
为求何时能达到安全水平, 当t>T时令c(t)<k, 解得
t
T

V r
ln

crT
rT
z(1 e V
)

例3
池水有一定体积的盐水，从池的一端注入一定浓度的 盐水。混合的盐水从另一端流出。试建立数学模型来 描述池中盐水浓度的动态过程。
T1 Cekt1 TE
其中
C TP TE ,
k

ln
TE TE
T2 TP

t1 1
t1


ln 2 ln(3 / 4)

2.4094
t1

ln ln
TE TE
TE TE
T1 TP
T2 T1

TE=21, TP=37, T1=29, T2=27
1. 湖水何时到达污染高峰;
2. 何时污染程序可降至安全水平(<0.05%)
入水口 出水口
假设
1. 湖水中Z的浓度是均匀的, t时刻为c(t). 2. 湖水总容量为常量V. 3. 物质Z以均速泻入湖中, 总量为z, 所用时长为T. 4. 入口与出口的水流速度均为r. 5. 安全水平为Z的浓度小于k.
T (t t) Tt k[T (t t) TE ]t
T (t t) Tt t
k[T (t t) TE ]
令 t 0 得到
dT dt

k[T (t) TE ]
微分方程模型
模型求解
这是一个比较简单的微分方程方程模型, 可以求得其通 解为
T (t) Cekt TE
两边除以Δt, 并令Δt→0, 得
d dt [ p(t)V (t)] p1(t)r1(t) p2 (t)r2 (t)
下面讨论池中盐水体积的变化。
t t
t t
V (t t) V (t) t
r1( )d t
r2 ( )d
由积分中值定理，存在η∈(t, t+Δt), 使得
进一步讨论
如果只测量一次尸体的温度, 你ຫໍສະໝຸດ Baidu估计出死亡的时间吗?
例2 湖水污染浓度
有一个小湖, 水容量为2000m3, 分别有一 入水口和出水口, 水流量都为0.1m3/s. 在 上午11:05时, 因交通事故一个盛有毒性 化学物质Z的容器倾翻, 在入口处注入湖 中. 于11:35时事故得到控制, 但已有数量 不详的化学物质泻入湖中, 初步估计为 5~20m3. 建立一个模型, 估计湖水污染程 度随时间的变化规律, 并估计
其中C, k ’为参数, 可通过测量数据确定其值.
由假设1, 3有T(0)=Tp, T(t2)=T2, 即
TE C TP ,
TE
Cekt2
T2
解得
C TP TE ,

k

ln
TE T2 TE TP
t2

又由t2=t1+1, 有
V

t

T,
求解得到
rt
c(t
)

C1e
V
z rT
,
0t T,
rt
C2e V , T t.
利用初始条件c(0)=0和c(t)的连续性有
C1

z rT
0,
C1e
rT V
z rT
rT
C2e V .
C1


z rT
,
C2

z rT
rT
(e V
1).
这样就可以得到物质Z在时刻t的浓度为
c(t)

z

rT
z
rT
rt
(1- e V ), 0 t
rT
rt
(e V -1)e V , T
T, t.
c(t)在[0,T]内是增函数,在[T,∞)内是减函数, 且c(t)是连续
的, 所以c(t)的最大值为
3 微分方程建模方法
当事物的某些特性随时间或空间而演变时，我们通常 建立微分方程模型来描述它的变化过程，以分析它的 变化规律、预测它的未来性态。
微分方程建模思想和方法
净变 化率
输入 率
输出 率
守恒原理
例1 死亡时间的确定
在凌晨1时警察发现一具尸体，测得尸体温度是29oC, 当时环境的温度是21oC. 1小时后尸体温度下降到27oC, 试估计死者的死亡时间.
模型假设
注入池中的盐水迅速与池中盐水均匀地混合，从而改 变了池中的盐水浓度。
盐水注入的速度为r1(t), 浓度为p1(t). 盐水流出的速度为 r2(t), 浓度为p2(t). 池中盐水总体积为V(t), 浓度为p(t). 其 中t为时间.
V0=V(0) ，p0=p(0).
模型建立
考虑在一段较短时间Δt内, 池中盐量的变化，有
V (t t) V (t) [r1(t t) r2 (t t)]t
于是有
d dt
V
(t
)

r1
(t
)

r2
(t
)
t
V (t) V0 0 [r1( ) r2 ( )]d
d dt
[
p(t)V
(t)]

p1 (t )r1 (t )