物理建模系列(八) 天体运行中的“两种常见模型”

物理建模系列(八) 天体运行中的“两种常见模型”
1．双星模型 (1)模型构建
在天体运动中，将两颗彼此相距较近，且在相互之间万有引力作用下绕两者连线上的某点做周期相同的匀速圆周运动的行星称为双星．
(2)模型条件
①两颗星彼此相距较近．
②两颗星靠相互之间的万有引力做匀速圆周运动． ③两颗星绕同一圆心做圆周运动． (3)模型特点
①“向心力等大反向”——两颗星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，故F 1＝F 2，且方向相反，分别作用在两颗行星上，是一对作用力和反作用力．
②“周期、角速度相同”——两颗行星做匀速圆周运动的周期、角速度相等． ③“半径反比”——圆心在两颗行星的连线上，且r 1＋r 2＝L ，两颗行星做匀速圆周运动的半径与行星的质量成反比．
2．三星模型
例 (2018·河北定州中学摸底)双星系统中两个星球A 、B 的质量都是m ，相距L ，它们正围绕两者连线上某一点做匀速圆周运动．实际观测该系统的周期T 要小于按照力学理论计算出的周期理论值T 0，且T
T 0＝k (k <1)，于是有人猜测这可能是受到了一颗未发现的星球C
的影响，并认为C 位于A 、B 的连线正中间，相对A 、B 静止，则A 、B 组成的双星系统周期理论值T 0及C 的质量分别为( )
A ．2π L 2
2Gm ，1＋k 2
4k
m B ．2π L 3
2Gm ，1－k 24k m C ．2π
2Gm L 3，1＋k
24k
m D ．2π
L 3
2Gm ，1－k 24k
2m 【解析】 由题意知，A 、B 的运动周期相同，设轨道半径分别为r 1、r 2，对A 有，Gm 2
L
2
＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 02r 1，对B 有，Gm 2
L
2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 02r 2，且r 1＋r 2＝L ，解得T 0＝2π L 3
2Gm
；有C 存在时，设C 的质量为M ，A 、B 与C 之间的距离r ′1＝r ′2＝L 2，则Gm 2L 2＋GMm r ′21＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，Gm 2L 2＋
GMm r ′22
＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2r 2，解得T ＝2π
L 32G (m ＋4M )，T
T 0
＝
m
m ＋4M
＝k 得M ＝1－k 24k 2m .
【答案】 D
解答双星问题应注意“两等”“两不等”
(1)“两等”
①它们的角速度相等．
②双星做匀速圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，即它们受到的向心力大小总是相等的．
(2)“两不等”
①双星做匀速圆周运动的圆心是它们连线上的一点，所以双星做匀速圆周运动的半径与双星间的距离是不相等的，它们的轨道半径之和才等于它们间的距离．
②由m 1ω2r 1＝m 2ω2r 2知由于m 1与m 2一般不相等，故r 1与r 2一般也不相等.
[高考真题]
1．(2016·课标卷Ⅲ，14)关于行星运动的规律，下列说法符合史实的是( ) A ．开普勒在牛顿定律的基础上，导出了行星运动的规律 B ．开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了行星运动的规律
C ．开普勒总结出了行星运动的规律，找出了行星按照这些规律运动的原因
D ．开普勒总结出了行星运动的规律，发现了万有引力定律
【解析】 开普勒在天文观测数据的基础上，总结出了开普勒天体运动三定律，找出了行星运动的规律，而牛顿发现了万有引力定律，A 、C 、D 错误，B 正确．
【答案】 B
2．(2014·课标卷Ⅱ，18)假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g 0；在赤道的大小为g ；地球自转的周期为T ；引力常量为G .地球的密度为( )
A.3πGT 2g 0－g
g 0 B ．3πGT 2g 0g 0－g
C.3πGT
2 D ．3πGT 2g 0
g
【解析】 由万有引力定律可知：在两极处G Mm R 2＝mg 0，在赤道上：G Mm R 2＝mg ＋m (2π
T )2R ，
地球的质量：M ＝43πR 3ρ，联立三式可得：ρ＝3πGT 2g 0
g 0－g
，选项B 正确．
【答案】 B
3．(2015·课标卷Ⅱ，16)由于卫星的发射场不在赤道上，同步卫星发射后需要从转移轨道经过调整再进入地球同步轨道．当卫星在转移轨道上飞经赤道上空时，发动机点火，给卫星一附加速度，使卫星沿同步轨道运行．已知同步卫星的环绕速度约为3.1×103 m/s ，某次发射卫星飞经赤道上空时的速度为1.55×103 m/s ，此时卫星的高度与同步轨道的高度相同，转移轨道和同步轨道的夹角为30°，如图所示，发动机给卫星的附加速度的方向和大小约为( )
A ．西偏北方向，1.9×103 m/s
B ．东偏南方向，1.9×103 m/s
C ．西偏北方向，2.7×103 m/s
D ．东偏南方向，2.7×103 m/s
【解析】 附加速度Δv 与卫星飞经赤道上空时速度v 2及同步卫星的环绕速度v 1的矢
量关系如图所示．由余弦定理可知，Δv ＝v 21＋v 2
2－2v 1v 2cos 30°
≈1.9×103 m/s ，方向东偏南方向，故B 正确，A 、C 、D 错误．
【答案】 B
[名校模拟]
4．(2018·山东临沂高三上学期期中)据报道，2020年前我国将发射8颗海洋系列卫星，包括2颗海洋动力环境卫星和2颗海陆雷达卫星(这4颗卫星均绕地球做匀速圆周运动)，以加强对黄岩岛、钓鱼岛及西沙群岛全部岛屿附近海域的监测．设海陆雷达卫星的轨道半径是海洋动力环境卫星的n 倍，下列说法正确的是( )
A ．在相同时间内，海陆雷达卫星到地心的连线扫过的面积与海洋动力环境卫星到地心的连线扫过的面积相等
B ．海陆雷达卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比等于海洋动力环境卫星做匀速圆周运动的半径的三次方与周期的平方之比
C ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星角速度之比为n 3
2∶1
D ．海陆雷达卫星与海洋动力环境卫星周期之比为1∶n 3
2
【解析】 由于轨道半径不同，相同时间内扫过的面积不相等，A 错；由开普勒第三定律r 3
T
2＝k 可知，B 项正确；由ω＝GM r 3∝r －32得，ω1∶ω2＝n －3
2
∶1，由T ＝2πr 3
GM
得，T 1∶T 2＝1∶n －3
2
，C 、D 均错．
【答案】 B
5．(2018·山东济南一中上学期期中)在未来的“星际穿越”中，某航天员降落在一颗不知名的行星表面上．该航天员从高h ＝L 处以初速度v 0水平抛出一个小球，小球落到星球表面时，与抛出点的距离是5L ，已知该星球的半径为R ，引力常量为G ，则下列说法正确的是( )
A ．该星球的质量M ＝v 20R
2
2GL
B ．该星球的质量M ＝2v 20R
25GL
C ．该星球的第一宇宙速度v ＝v 0 R 2L
D ．该星球的第一宇宙速度v ＝v 0
R L
【解析】 在该星球表面处：mg ＝GMm R 2，g ＝GM R 2，x ＝v 0t ，y ＝1
2
gt 2＝L ，t ＝
2L
g
，由5L ＝x 2
＋y 2
，得g ＝v 202L ，M ＝v 20R
2
2GL
，该星球的第一宇宙速度v ＝gR ＝v 0
R
2L
，故A 、C 正确．
【答案】 AC
6.(2018·山东潍坊高三上学期期中)2017年8月16日凌晨，中国量子卫星“墨子”在酒泉卫星发射中心成功发射，目前“墨子”已进入离地面高度为h 的极地预定轨道(轨道可视为圆轨道)，如图所示．若“墨子”从北纬30°的正上方按图示方向第一次运行至南纬60°正上方，所用时间为t ，已知地球半径为R ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，忽略地球自转，由以上条件可知( )
A ．地球的质量为gR
G
B ．卫星运行的角速度为π
2t
C ．卫星运行的线速度为πR
2t
D ．卫星运行的线速度为π(R ＋h )
2t
【解析】 在地球表面Mg ＝GMm R 2，M ＝gR 2G ，A 错；第一次运行至南纬60°历时t ＝T
4，
而T ＝2πω，所以ω＝π
2t ，B 对；v ＝ω(R ＋h )＝π(R ＋h )2t
，C 错，D 对．
【答案】 BD
课时作业(十三) [基础小题练]
1．(2018·华中师大第一附中高三上学期期中)已知甲、乙两行星的半径之比为2∶1，环绕甲、乙两行星表面运行的两卫星周期之比为4∶1，则下列结论中正确的是( )
A ．甲、乙两行星表面卫星的动能之比为1∶4
B ．甲、乙两行星表面卫星的角速度之比为1∶4
C ．甲、乙两行星的质量之比为1∶2
D ．甲、乙两行星的第一宇宙速度之比为2∶1
【解析】 由GMm r 2＝mrω2＝m v 2
r
得 ω＝
GM
r 3，v ＝ GM r ，E k ＝1
2
m v 2， T ＝2π
ω
＝2π
r 3
GM
，代入数据得M 甲∶M 乙＝1∶2，ω甲∶ω乙＝1∶4，v 甲∶v 乙＝1∶2，卫星质量关系不知，不能比较动能大小．
【答案】 BC
2．天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为T ，引力常量为G ，则该行星的平均密
度为( )
A.4πGb 2T 2a 2 B ．4πa GT 2b
C.3πb GT 2a
D ．
4πb
GT 2a
【解析】 对于近地卫星，设其质量为m ，地球的质量为M ，半径为R ，则根据万有引力提供向心力有，G Mm R 2＝m ⎝⎛⎭⎫2πT 2R ，得地球的质量M ＝4π2R 3GT 2，地球的密度为ρ＝M 43πR 3＝3πGT
2；已知行星的体积是地球的a 倍，质量是地球的b 倍，结合密度公式ρ＝m
V ，得该行星的平均
密度是地球的b a 倍，所以该行星的平均密度为3πb
GT 2a
，故C 正确．
【答案】 C
3．双星运动是产生引力波的来源之一，假设宇宙中有一双星系统由a 、b 两颗星体组成，这两颗星体绕它们连线的某一点在万有引力作用下做匀速圆周运动，测得两星体的轨道半径之和为l 1，轨道半径之差为l 2，a 星体轨道半径大于b 星体轨道半径，a 星体的质量为m 1，引力常量为G ，则b 星体的周期为( )
A.2π2l 21(l 1－l 2)
Gm 1
B ．2π2l 21(l 1＋l 2)
Gm 1
C.
2π2l 21(l 1－l 2)
Gm 1(l 1＋l 2)
D ．
2π2l 21(l 1＋l 2)
Gm 1(l 1－l 2)
【解析】 设a 星体运动的轨道半径为r 1，b 星体运动的轨道半径为r 2，则r 1＋r 2＝l 1，r 1－r 2＝l 2，解得r 1＝l 1＋l 22，r 2＝l 1－l 22，双星系统根据Gm 1m 2l 21＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，Gm 1m 2l 21＝m 2
⎝⎛⎭⎫2πT 2r 2，得m 1m 2＝r 2r 1，即双星系统中星体质量与轨道半径成反比，得b 星体的质量m 2＝r 1m 1r 2＝(l 1＋l 2)m 1
l 1－l 2，a 、b 两星体运动周期相同，对a 星体有Gm 1m 2
l 21＝m 1⎝⎛⎭⎫2πT 2r 1，解得T ＝2π2l 21(l 1－l 2)
Gm 1
，A 选
项正确．
【答案】 A
4．(2018·江苏泰州高三上学期期中)2016年10月19日3时31分，神舟十一号载人飞船与天宫二号空间实验室成功实现自动交会对接，此时天宫二号绕地飞行一圈时间为92.5 min ，而地球同步卫星绕地球一圈时间为24 h ，根据此两组数据我们能求出的是( )
A ．天宫二号与地球同步卫星受到的地球引力之比
B ．天宫二号与地球同步卫星的离地高度之比
C ．天宫二号与地球同步卫星的线速度之比
D ．天宫二号与地球同步卫星的加速度之比
【解析】 由F ＝GMm r 2及GMm r 2＝mrω2
＝m v 2r ＝ma 可知，ω＝
GM
r 3
，T ＝2π r 3
GM
，a ＝GM
r
2，v ＝GM
r
，已知周期关系可确定半径关系，进而确定线速度关系，加速度关系，但由于不知天宫二号和同步卫星的质量关系，故所受地球引力关系不确定，地球半径未知，所以离地高度关系不确定，C 、D 正确．
【答案】 CD
5．(2018·安徽师大附中高三上学期期中)登上火星是人类的梦想，“嫦娥之父”欧阳自远透露：中国计划于2020年登陆火星．地球和火星的公转视为匀速圆周运动．忽略行星自转影响，火星和地球相比( )
A.B ．火星的“第一宇宙速度”约为地球的第一宇宙速度的1.4倍 C ．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.43倍 D ．火星公转的向心加速度约为地球公转的向心加速度的0.28倍 【解析】 根据第一宇宙速度公式v ＝ GM
R (M 指中心天体太阳的质量)，v 火v 地
＝R 地
R 火
＝
6.4×1063.4×10
6＝1.4 ，故A 错误，B 正确．根据向心加速度公式a ＝GM
r 2(M 指中心天体太阳的质量)，a 火a 地＝r 2地
r 2火＝(1.5×10112.3×1011
)2＝0.43，故C 正确，D 错误．
【答案】 BC
6.(2018·山东泰安高三上学期期中)发射地球同步卫星时，先将卫星发射至近地圆轨道1，然后经点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步椭圆轨道3.轨道1、2相切于Q 点，轨道2、3相切于P 点．轨道3到地面的高度为h ，地球的半径为R ，地球表面的重力加速度为g .以下说法正确的是( )
A ．卫星在轨道3上的机械能大于在轨道1上的机械能
B ．卫星在轨道3上的周期小于在轨道2上的周期
C ．卫星在轨道2上经过Q 点时的速度小于它在轨道3上经过P 时的速度
D ．卫星在轨道3上的线速度为v ＝R
g R ＋h
【解析】 卫星经历两次点火加速才转移至同步轨道3，在轨道3上的机械能肯定大于轨道1上的机械能，A 对；由T ＝2π
r 3
GM
可知，B 错；由于v ＝GM
r
，所以v 1>v 3，又轨道2上Q 点离心运动，由v Q >v 1可知v Q >v 3，所以v Q >v P ，C 错；将r ＝R ＋h ，GM ＝gR 2，代入v ＝
GM
r
得v ＝R g
R ＋h
，D 对． 【答案】 AD
[创新导向练]
7．巧思妙想——以“苹果”为话题考查天体运行规律
已知地球的半径为6.4×106 m ，地球自转的角速度为7.27×10－
5rad/s ，地球表面的重力
加速度为9.8 m/s 2，在地球表面发射卫星的第一宇宙速度为7.9×103 m/s ，第三宇宙速度为16.7×103 m/s ，月地中心间距离为3.84×108 m ．假设地球上有一颗苹果树长到月球那么高，则当苹果脱离苹果树后，请根据此时苹果线速度的计算，判断苹果将不会( )
A ．落回地面
B ．成为地球的“苹果月亮”
C ．成为地球的同步“苹果卫星”
D ．飞向茫茫宇宙
【解析】 地球自转的角速度为7.27×10－
5rad/s ，月球到地球中心的距离为3.84×108 m ，
地球上有一棵苹果树长到了接近月球那么高，根据v ＝rω得：苹果的线速度为v ＝2.8×104 m/s ，第三宇宙速度为16.7×103 m/s ，由于苹果的线速度大于第三宇宙速度，所以苹果脱离苹果树后，将脱离太阳系的束缚，飞向茫茫宇宙，故A 、B 、C 正确．
【答案】 ABC
8．科学探索——以“一箭20星”为背景考查卫星运行参数
月球和地球的质量之比为a ∶1，半径之比为b ∶1，将一单摆由地球带到月球，将摆球从与地球表面相同高度处由静止释放(释放点高度低于悬点高度)，释放时摆线与竖直方向的夹角相同，当摆球运动到最低点时，在月球上和地球上摆线对摆球的拉力之比为( )
A.b 2a B ．a b 2
C.a 2b
D ．b a
2
【解析】 设重力加速度大小为g ，摆球释放的高度为h ，摆球运动到最低点有mgh ＝12m v 2，摆球在最低点有F －mg ＝m v 2l ，得F ＝mg ＋2mgh
l
，F 与g 成正比．在星球表面上有
GMm R 2＝mg ，得g ＝GM R 2，故摆球在月球和地球上受到的拉力之比为a
b
2，B 选项正确． 【答案】 B
9．军事科技——以导弹拦截为背景考查万有引力定律知识
2016年1月27日，我国在境内再次成功地进行了陆基中段反导拦截技术试验，中段是指弹道导弹在大气层外空间依靠惯性飞行的一段．如图所示，一枚蓝军弹道导弹从地面上A 点发射升空，目标是攻击红军基地B 点，导弹升空后，红军反导预警系统立刻发现目标，从C 点发射拦截导弹，并在弹道导弹飞行中段的最高点D 将其击毁．下列说法中正确的是( )
A ．图中E 到D 过程，弹道导弹机械能不断增大
B ．图中E 到D 过程，弹道导弹的加速度不断减小
C ．弹道导弹在大气层外运动轨迹是以地心为焦点的椭圆
D ．弹道导弹飞行至D 点时速度大于7.9 km/s
【解析】 图中E 到D 过程， 导弹在大气层外空间依靠惯性飞行，没有空气阻力，机械能不变，远离地球，轨道变大，速度减小，万有引力减小，所以加速度减小，在万有引力作用下，运动轨迹是以地心为焦点的椭圆，A 错误，B 、C 正确；第一宇宙速度是近地卫星的环绕速度，而D 点在大气层外部，所以轨道要大于近地卫星轨道，运行速度要小于第一宇宙速度，D 错误；故选B 、C.
【答案】 BC
10．探测火星——以火星探测为背景考查星体运行规律
随着人类航天事业的进步，太空探测越来越向深空发展，火星正在成为全球航天界的“宠儿”．我国计划于2020年发射火星探测器，一步实现绕、落、巡工程目标．假设某宇航员登上了火星，在其表面以初速度v 竖直上抛一小球(小球仅受火星的引力作用)，小球上升的最大高度为h ，火星的直径为d ，引力常量为G ，则( )
A ．火星的第一宇宙速度为v d h
B ．火星的密度为3v 2
4πGhd
C ．火星的质量为v 2d 22Gh
D ．火星的“近火卫星”运行周期为2π
v
d h
【解析】 在火星表面竖直上抛的小球做匀减速直线运动，设火星表面的重力加速度为g ，第一宇宙速度为v 0，火星的自转周期为T ，则2gh ＝v 2
，得g ＝v 2
2h
，在火星表面的物体的
重力等于万有引力，也是在火星表面附近做圆周运动的向心力，mg ＝G Mm r 2＝m (2π
T )2r ，又r
＝d 2，M ＝4
3
πr 3·ρ，得：v 0＝v d 4h ，M ＝v 2d 28Gh ，ρ＝3v 24πGhd
，T ＝2πv dh
2
，故选B. 【答案】 B
[综合提升练]
11.(2018·山东淄博一中高三上学期期中)如图所示，火箭载着宇宙探测器飞向某行星，火箭内平台上还放有测试仪器．火箭从地面起飞时，以加速度g 0
2竖直向上做匀加速直线运动
(g 0为地面附近的重力加速度)，已知地球半径为R 0.
(1)到某一高度时，测试仪器对平台的压力是起飞前的17
18，求此时火箭离地面的高度h ；
(2)探测器与箭体分离后，进入行星表面附近的预定轨道，进行一系列科学实验和测量，若测得探测器环绕该行星运动的周期为T 0，试问：该行星的平均密度为多少？(假定行星为球体，且已知万有引力恒量为G )
【解析】 (1)火箭起飞前有：N 1＝mg 0 火箭起飞后有：N 2－mg ＝mg 02 且有N 1N 2＝17
18
GMm
R 2
＝mg 0 GMm
(R ＋h )2
＝mg
联立以上各式解得h ＝R
2
.
(2)设行星半径为r ，质量为M ，密度为ρ，则 GM 1m r 2＝mr ⎝⎛⎭⎫2πT 02由ρ＝M 1V ，V ＝43πr 3得ρ＝3πGT 20. 【答案】 (1)R 2 (2)3πGT 20
12．中国计划在2017年实现返回式月球软着陆器对月球进行科学探测，宇航员在月球上着陆后，自高h 处以初速度v 0水平抛出一小球，测出水平射程为L (这时月球表面可以看成是平坦的)，已知月球半径为R ，万有引力常量为G .求：
(1)月球表面处的重力加速度及月球的质量M 月；
(2)如果要在月球上发射一颗绕月球运行的卫星，所需的最小发射速度为多大？
(3)当着陆器绕距月球表面高H 的轨道上运动时，着陆器环绕月球运动的周期是多少？
【解析】 (1)设月球表面的重力加速度为g ，由平抛运动规律有h ＝12
gt 2① L ＝v 0·t ②得g ＝2h v 20L 2③ 着陆器在月球表面所受的万有引力等于重力，GM 月m R 2＝mg ④得M 月＝2h v 20R 2GL 2
⑤ (2)卫星绕月球表面运行，有GM 月m ′R 2＝m ′v 2R ⑥联立⑤⑥得v ＝v 0L
2hR ⑦ (3)由牛顿第二定律有G M 月m (R ＋H )2
＝m (R ＋H )4π2
T 2⑧联立⑤⑧得T ＝2π2L 2(R ＋H )3hR 2v 20. 【答案】 (1)2h v 20L 2 2h v 20R 2GL 2 (2)v 0L 2hR (3)2π2L 2(R ＋H )3hR 2v 20。